Обʼєкти, що мають однакову форму , але різні розміри - ПОДІБНІ

ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ, ЩО МАЮТЬ ОДНАКОВУ ФОРМУ ПОДІБНІ

ЗАВЖДИ

လ

∠А=∠А₁ →ВС і В₁С₁ - відповідні

∠В=∠В₁ →АС і А₁С₁ - відповідні

∠С=∠С₁ →АВ і А₁В₁ - відповідні

Означення: Трикутники називаються подібними, якщо їх відповідні кути рівні, а відповідні сторони пропорційні

ΔАВС လ ΔА₁В₁С₁

=k

Лема про Подібні трикутники: Пряма, яка паралельна стороні трикутника та перетинає дві інші його сторони, відтинає від даного трикутника його подібний.

Відношення всіх відповідних лінійних елементів (сторін, периметрів, медіан, висот, бісектрис) подібних трикутників знаходяться в одному відношенні

Розвʼязання

∠A і ∠M, ∠K і ∠C , ∠B і ∠N ; AB i MN, BC i NK, AC i MK - відповідні

∠A = ∠M= 40° ;

∠K =58° ; ∠C =180° -(∠A+∠B) = 180° - (40°+ 82° )= 58° ; Отже, ∠K =∠C ;

∠B =82°; ∠N =180° -(∠M+∠K) = 180° - (40°+ 58° )= 82° ; Отже, ∠B =∠N .

​

​

​

Означення: Трикутники називаються подібними, якщо їх відповідні кути рівні, а відповідні сторони пропорційні

Отже, ΔABC လ ΔMNK за означення

ВІДПОВІДЬ: Так

Розвʼязання

Нехай ΔDEFလ ΔMCP - задані. За умовою k=0,3, DE відповідає MC, тоді EF i CP, DF i MP - відповідні теж. MC=12 см, MP=8 см , EF=4,5 см.

12 см

8 см

4,5 см

Із означення подібних трикутників

ВІДПОВІДЬ: 4 см, 15 см, 2,4 см

1,5 м

39 м

3 м

1,8 м

Розвʼязання

Розглянемо ΔАВС і ΔАВ₁С₁ . Оскільки ВС 丄АС₁ і В₁С₁ 丄АС₁ → ВС ‖В₁С₁ за властивістю паралельних прямих.

Отже ΔАВС လ ΔАВ₁С₁ за лемою про Подібні трикутники.

Звідси, і . АВ₁ = 39 м, АВ = 1,5 м, ВС=3 м - 1,8м = 1,2 м

DC₁ = DB₁ + B₁ C₁ - за основною властивістю довжини відрізка. DC₁ = 31,2 +1,8 =33 (м)

ВІДПОВІДЬ: 33 м

Лема про Подібні трикутники: Пряма, яка паралельна стороні трикутника та перетинає дві інші його сторони, відтинає від даного трикутника його подібний.

Розвʼязання

Нехай ΔABC і ΔMNK -задані. За умовою ΔABC လ ΔMNK і АВ:ВС:АС=5:4:7. Тоді MN:NK:MK=5:4:7.

1. Нехай х - коефіцієнт пропорційності, тоді MN= 5х см, NK= 4х см, MK = 7х см. Так, як Р = MN+NK+MK і Р=64 см, маємо рівняння:

5х+4х+7х=64;

16х=64;

х=4

Отже, MN= 5х=5· 4=20 (см), NK= 4х=4· 4=16( см), MK = 7х=7· 4=28 (см)

2) NK= 4х см і NK=24 см, тоді 4х=24; х= 6 (см). MN= 5х=5· 6=30 ( см), MK = 7х =7· 6=42 (см)

ВІДПОВІДЬ: 1) 20 см, 16 см, 28 см;

2) 30 см, 42 см

Розвʼязання

https://www.geogebra.org/geometry/fjpredqm

​

Нехай ΔАВС - заданий. =48 см. AB=BC, BD- висота, т.E- середина BD, FG॥BC.

Розглянемо ΔBDC: EG॥BC, тоді ΔEDGလ ΔBDC за лемою про подібні трикутники. Маємо

Оскільки точка E - середина BD, то BD=2ED, і

​

Нехай DG = х см, тоді DC = 2х см, AD=DC, оскільки висота BD є і медіаною в рівнобедреному трикутнику. Тоді AG=AD+DG, AC=AD+DC за основною властивістю довжини відрізка, тож AG=2х+х=3х (см), AC=2х=2х=4х(см)

У ΔABC FG॥BC , то ΔABC လ ΔAFG за лемою про подібні трикутники → як відомо

ВІДПОВІДЬ: 36 см

Якщо один трикутник подібний другому, а другий - третьому, то перший трикутник подібний третьому

Відношення всіх лінійних елементів та величин подібних трикутників рівні

Лема про Подібні трикутники: Пряма, яка паралельна стороні трикутника та перетинає дві інші його сторони, відтинає від даного трикутника його подібний.