Materi Untuk

HIMPUNAN

Tujuan Instruksional Khusus

Mahasiswa dapat memahami mengenai operasi himpunan dan sifatnya, perkalian himpunan, fuzzy set, multi set, dan operasi himpunan fuzzy

​

Materi Himpunan

1. Himpunan
2. Operasi himpunan
3. Sifat-sifat operasi himpunan
4. Perkalian himpunan
5. Fuzzy set dan multi set
6. Operasi himpunan fuzzy

​

​

0. Pendahuluan

Pendahuluan

• Himpunan (set) = sekumpulan objek diskrit
• Himpunan = struktur diskrit fundamental yang mendasari struktur diskrit lainnya seperti relasi, kombinasi, dan graf.

​

1. Definisi Himpunan

Definisi Himpunan

• Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.
• Objek yang terdapat dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

​

2. Penyajian Himpunan

Penyajian Himpunan

4 cara umum untuk menyajikan himpunan:

• Enumerasi
• Simbol-simbol Baku
• Notasi Pembentuk Himpunan
• Diagram Venn

​

Enumerasi

• Himpunan alfabet ditulis sebagai

{ a, b, c, …, x, y, z }

• Himpunan 100 buah bilangan asli pertama ditulis sebagai { 1, 2, …, 100 }
• Untuk menulis himpunan dengan jumlah anggota yang besar dan telah memiliki pola tertentu bisa digunakan tanda ‘…’ (ellipsis)
• Himpunan 100 buah bilangan ganjil pertama = { 1, 3, 5, …, 199} (meskipun naik-naik dua, tetap boleh gunakan ellipsis karena memiliki pola tertentu)

Enumerasi

• Jika sebuah himpunan terbatas dan tidak terlalu besar, gunakan cara enumerasi.
• Enumerasi = menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan di antara dua buah tanda kurung kurawal.
• Contoh: Himpunan A yang berisi 4 anggota 1, 2, 3, dan 4 bisa dituliskan secara enumerasi sehingga menjadi A = {1, 2, 3, 4}.
• Urutan dalam himpunan tidak diwajibkan.

Simbol-simbol Baku

P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }

N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }

Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }

Q = himpunan bilangan rasional

R = himpunan bilangan riil

C = himpunan bilangan kompleks

Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.

Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

Notasi Pembentuk Himpunan

Notasi: { x ⎥ syarat yang harus dipenuhi oleh x }

Contoh

(i) A adalah himpunan bilangan bulat positif kecil dari 5

A = { x | x bilangan bulat positif lebih kecil dari 5}

atau A = { x | x P, x < 5 }

yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}

(ii) M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151}

Diagram Venn

Contoh

Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8},

A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

​

Diagram Venn:

3. Kardinalitas

Kardinalitas

• Misalkan A merupakan himpunan berhingga, maka jumlah elemen berbeda di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.
• n(A) atau |A| adalah notasi untuk menyatakan kardinalitas himpunan.
• Contoh:
• B = { x | x merupakan bilangan prima lebih kecil dari 20 }, atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka ⏐B⏐ = 8
• T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka ⏐T⏐ = 5

4. Himpunan Kosong

Himpunan Kosong

Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).

Notasi : ∅ atau {}

Contoh 7.

(i) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0

(ii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0

(iii) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x² + 1 = 0 }, n(A) = 0

himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {∅}

himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {∅, {∅}}

{∅} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong.

5. Himpunan Bagian

Himpunan Bagian

Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B.

Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

Notasi: A ⊆ B

Diagram Venn:

Himpunan Bagian

(i) { 1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4, 5}

(ii) {1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3}

(iii) N ⊆ Z ⊆ R ⊆ C

(iv) Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x ≥, y ≥ 0 } dan

B = { (x, y) | 2x + y < 4, x ≥ 0 dan y ≥ 0 }, maka B ⊆ A.

Himpunan Bagian

Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:

(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A ⊆ A).

(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A

(Ø ⊆ A).

(c) Jika A ⊆ B dan B ⊆ C, maka A ⊆ C

6. Himpunan yang Sama

Himpunan yang Sama

Himpunan yang Sama

7. Himpunan yang Ekivalen

Himpunan yang Ekivalen

8. Himpunan Saling Lepas

Himpunan Saling Lepas

9. Himpunan Kuasa

Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri. Notasi : P(A) atau 2^A

​

Jika ⏐A⏐ = m, maka ⏐P(A)⏐ = 2^m.

Contoh

Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { Ø, { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}

Jika B = { a, b, c }, maka P(B) = ???

​

10. Operasi Terhadap Himpunan

Irisan (Intersection)

33

Gabungan (Union)

34

Komplemen (Complement)

35

Operasi terhadap Himpunan

36

37

Selisih (Difference)

Beda Setangkup

38

Operasi pada Himpunan

39

Beda Setangkup

40

TEOREMA. Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:

(a) A ⊕ B = B ⊕ A (hukum komutatif)

(b) (A ⊕ B ) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C ) (hukum asosiatif)

Perkalian Kartesian

41

Perkalian Kartesian

42

Perkalian Kartesian

43

Perkalian Kartesian

44

Operasi pada Himpunan

45

11. Perampatan Operasi Himpunan

Perampatan Operasi Himpunan

47

Perampatan Operasi Himpunan

48

12. Hukum-hukum Aljabar Himpunan

Hukum-hukum Aljabar Himpunan

• Disebut juga sifat-sifat (properties) himpunan
• Disebut juga hukum aljabar himpunan

​

Hukum-hukum Aljabar Himpunan

13. Prinsip Dualitas

Prinsip Dualitas

• Prinsip dualitas → dua konsep yang berbeda dapat saling dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar.

​

53

54

55

56

57

58

14. Prinsip Inklusi-Eksklusi

Prinsip Inklusi-Eksklusi

60

61

62

Latihan:

Di antara bilangan bulat antara 101 – 600 (termasuk 101 dan 600 itu sendiri), berapa banyak bilangan yang tidak habis dibagi oleh 4 atau 5 namun tidak keduanya?

​

63

64

15. Partisi

Partisi

66

Himpunan Ganda (multiset)

67

68

69

16. Pembuktian Proposisi Himpunan

Pembuktian Proposisi Perihal Himpunan

71

72

• Diagram Venn hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak jumlahnya.

​

• Metode ini mengilustrasikan ketimbang membuktikan fakta.

​

• Diagram Venn tidak dianggap sebagai metode yang valid untuk pembuktian secara formal.

​

73

74

75

76

77

• Latihan. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Gunakan hukum-hukum aljabar himpunan dan prinsip dualitas untuk menentukan hasil dari operasi himpunan

(a)

(b)

​

78

79

​

• Latihan. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan dengan hukum-hukum himpunan bahwa

(A – B) ∩ (A – C) = A – (B ∪ C).

80

• Jawaban:

81

82

83

84

85

17. Tipe Set dalam Pascal

Tipe Set dalam Bahasa Pascal

87

88

89

90

FUZZY SET

Fuzzy Set

• Lotfali Askar Zadeh
• 1965
• Ilmuwan Amerika
• Kebangsaan Iran
• Universitas California

Fuzzy Set vs Crisp Set

Crisp Set (Himpunan Tegas):

• Cristiano Ronaldo adalah anggota dari Himpunan Pesepakbola Portugal
• Ayam adalah anggota dari Himpunan Burung (Aves)

Fuzzy Set vs Crisp Set

Fuzzy Set (Himpunan Kabur):

• Air hangat adalah air dengan suhu 70 - 75 derajat Celsius. Air di gelas saya suhunya 69 derajat Celsius. Apakah air saya termasuk air hangat?
• Seorang pria dikatakan tinggi bila tinggi badannya di atas 170 cm. Budi tingginya 169.9 cm, apakah Budi bisa disebut sebagai pria yang tinggi?

Fuzzy Set vs Crisp Set

Fuzzy Set vs Crisp Set

Fuzzy Set

Istilah yang digunakan dalam Fuzzy Set yaitu:

• Derajat keanggotaan
• Fungsi keanggotaan

Fuzzy Set

A B

A ∧ B A ∨ B ¬A

Operasi pada Fuzzy Set