• Structure de l’atome

Les couleurs de ces fleurs, la lumière du soleil aide à leur croissance, peuvent être expliqués par l’interaction de la lumière et de la matière.

• I- Modèle de Rutherford.
• L’électron en mouvement circulaire uniforme autour du noyau immobile.

• L’électron subit 2 forces :
• l’attraction Coulombienne du noyau :
• F₁ = -e²/4πε₀r²
• la force centrifuge : F₂ = mv²/r, v est la vitesse de l’électron.

• A l’équilibre, les 2 forces sont opposées et égales, le système est stable : e²/4πε₀r² = mv²/r ⇔ v² = e²/4πε₀mr
• L’énergie totale du système est égale à celle de l’électron (c’est la seule particule en mouvement) : E = E_c+E_p.
• E_c = mv²/2 = e²/8πε₀r: énergie cinétique.
• E_p = -e²/4πε₀r: énergie potentielle.
• E = -e²/4πε₀r + e²/8πε₀r = -e²/8πε₀r.

• Un électron en mouvement dans le champ électrique du noyau rayonne de l’énergie (théorie classique de l’électromagnétisme).
• Ceci entraîne deux conséquences incompatibles avec les observations expérimentales :
• L’atome rayonne, perd de l’énergie, l’électron se rapprochera de plus en plus du noyau et finira par le heurter (mouvement spiral): l’atome sera donc instable.

Le spectre d’émission de l’atome d’hydrogène:

• - Le rayonnement de l’atome serait continu, alors que le spectre d’émission de l’atome d’hydrogène est un spectre de raies (spectre discontinu).

• Le spectre est interprété par la relation empirique de Ritz :
• ν= 1/λ = R_H(1/n₁²-1/n₂²): nombre d’onde, exprimé en cm^-1.
• n₁ et n₂ sont des entiers : n₁ = 1,2 …et
• n₂ = (n₁ + 1), (n₁ + 2), …
• R_H = 109677 cm^-1 : constante de Rydberg.

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• II- Modèle de Bohr, basé sur des postulats :
• - l'énergie d’un atome ne varie pas de façon continue, prend des valeurs discrètes E₁, E₂, …dits niveaux énergétiques,
• - l'électron définit des orbites stationnaires et ne rayonne pas d'énergie (l’atome ne peut ni émettre ni absorber d'énergie tant qu’il reste sur le même niveau),

• - le passage de l’électron d’un niveau énergétique E_i vers un autre plus élevé E_j, nécessite une énergie sous forme de radiation électromagnétique de fréquence ν, tel que :
• E_j - E_i = hν (h = 6,626.10^-34Js, constante de Planck),
• c’est une absorption (E_j>E_i).
• Si E_j<E_i on parle d’émission.

• Bohr ajoute la quantification du moment cinétique orbital (mvr) au modèle de Rutherford.
• le moment cinétique orbital doit contenir un nombre entier de fois la constante de Planck, h/2π : mvr = nh/2π

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• mvr = nh/2π
• v = nh/2πmr ⇔ v² = n²h²/4π²m²r²
• Or on avait obtenu : v² = e²/4πε₀mr donc :
• n²h²/4π²m²r² = e²/4πε₀mr ⇔ r = n²(h²ε₀/πme²).
• r (rayon de Bohr) est quantifié: r_n = n²(h²ε₀/πme²).
• Pour l’état fondamental (n = 1): r₀ = h²ε₀/πme²= 0,529.10^-10m (souvent noté par a₀ = 0,53Å).
• E = -e²/8πε₀r = -e²/8πε₀n²(h²ε₀/πme²).
• L’énergie est quantifiée: E_n = (-me⁴/8h²ε₀²)(1/n²). n entier naturel représente les niveaux énergétiques de l’atome.

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• Pour l’atome d’hydrogène, le niveau n = 1 correspond à l’état fondamental et les autres niveaux sont dits excités.
• E₁ = (-0,911.10^-30Kg)(1,602.10^-19C)⁴/[8(6,626.10^-34J.s)²(8,854.10^-12C²J^-1m^-1)²] = -2,18.10^-18J.
• E₁ = -2,18.10^-18J/1,602.10^-19J/eV = -13,6 eV.
• E_n = (-13,6/n²) eV.

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• II- 1- Le spectre d’émission
• Le passage d’un électron d'un niveau energétique E_n1vers un autre E_n2 est appelé transition électronique.
• Pour E_n2 → E_n1 (n2>n1) il y'a émission d’un rayonnement électromagnétique de fréquence ν tel que :
• E_n2 - E_n1 = ΔE or ΔE= hν = hc/λ = νhc
• (-me⁴/8h²ε₀²)(1/n₂²) - (-me⁴/8h²ε₀²)(1/n₁²)=νhc
• ν= (me⁴/8h³cε₀²)(1/n₁² - 1/n₂²).

• Bohr a pu retrouver la formule de Ritz, en posant
• R_H = me⁴/8ch³ε₀²=109628cm^-1.
• L’écart observé par rapport à la valeur expérimentale est dû à l'hypothèse inexacte: l’immobilité du noyau.
• C’est le centre de gravité du système noyau–électron qui est fixe.
• Il suffit de remplacer la masse de l’électron dans R_H par la masse réduite, μ, du système. Ainsi, on trouve R_H = 109678cm^-1. (1/μ = 1/M+1/m, avec M la masse du noyau).

• Le spectre d’émission de l’atome d’hydrogène.

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• La modèle de Bohr (notion d’orbite planétaire) ne parvient pas à interpréter les spectres des atomes lourds.

• II- 2- Hydrogènoïde
• Toute particule monoatomique ayant un seul électron est appelée hydrogènoïde : He⁺, Li²⁺, Be³⁺, ….
• L’énergie d’un état n d’un ion hydrogènoïde, de noyau de charge +Ze, est donnée par la relation suivante :
• E_n = (-me⁴/8h²ε₀²)(z²/n²) = (-13,6 z²/n²)eV.
• Le rayon de Bohr est : r_n = (h²ε₀/πme²)(n²/z) = 0,53(n²/z)Å.
• La formule de Ritz est : ν = (R_Hz²)(1/n₁² - 1/n₂²).

• III- Double nature de la lumière
• III- 1- Nature ondulatoire
• Un rayonnement lumineux est une onde électromagnétique caractérisée par une vitesse de propagation c, une fréquence ν et une longueur d’onde λ unies par la relation : ν= c/λ.
• L’onde électromagnétique peut être considérée comme de l’énergie en mouvement.
• La lumière est quantifiée: E=hν. Εlle est constituée d’un faisceau de particules indivisibles, d’énergie hν, dites grains ou quanta d’énergie: ce sont les photons.

• Le spectre complet des ondes électromagnétiques.

• III- 2- Nature corpusculaire
• En 1897, Hertz a découvert l’émission d’électrons à partir de certaines surfaces métalliques éclairées par une lumière de fréquence,ν, bien déterminée : c’est l’ effet photoélectrique.
• Pour observer cette émission, ν doit être supérieure à une valeur ν₀ appelée seuil photoélectrique.
• C’est à dire, qu’il faut fournir une énergie, w₀=hν₀, capable d’extraire l’électron de la surface métallique : c’est le travail d’extraction.

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• Ce phénomène est interprété par Einstein en considérant la lumière comme un flux de particules sans masse et d’énergie cinétique hν, les photons.
• L’effet photoélectrique est un choc individuel entre le photon et l’électron.
• Aucours de cette collision, le photon absorbé cède son énergie hν à l’électron.
• Celle-ci permet de vaincre w et communique le reste à l’électron sous forme d’énergie cinétique E_c= hν-w.

• Illustration de l’effet photoélectrique

• IV- aspect ondulatoire de la matière
• En 1924, Louis de Broglie associa à toutes particules microscopiques (é, proton, neutron, …) de masse m, en mouvement de vitesse v, une onde monochromatique de longueur d’onde λ=h/mv.
• V- Principe fondamental d’incertitude de Heisenberg
• Il est impossible de connaître exactement et simultanément la position (x) et la quantité de mouvement (p) d’une particule microscopique avec une précision infinie: ΔxΔp≥h/2π.

• VI- La théorie quantique de l’atome
• La mécanique quantique est basée sur des grandeurs observables à l’échelle microscopique.
• Si, en mécanique classique, on doit associer une trajectoire à l’électron, alors en mécanique quantique l’électron est décrit par une fonction d’onde Ψ(x,y,z), avec (x,y,z) représente les coordonnées cartésiennes d’un point d’espace position de l’électron.

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• Le carré de cette fonction, en un point, représente la probabilité dP de trouver l’électron dans l’élément de volume dV : dP= ⏐Ψ⏐²dV.
• ⏐Ψ⏐² est donc la densité de probabilité de présence de l’électron.
• La fonction d’onde Ψ est normalisée, c’est à dire qu’on est sûr et certain de trouver l’électron dans l’espace , ∫_espdP=1.
• Ψ doit donc vérifier la condition de normalisation:
• ∫_esp⏐Ψ⏐²dV=1.

• VI-1- Equation de Schrödinger
• La fonction d’onde Ψ obéit à une équation fondamentale en mécanique quantique ĤΨ=EΨ: équation de Schrödinger.
• Ĥ: opérateur Hamiltonien et E: énergie de l’électron.
• Pour l’atome d’hydrogène Ĥ=-(h²/8mπ²)Δ+V(r),
• m: masse de l’électron soumis au potentiel V(r)=-e²/4πε₀r
• Δ=d²/dx²+d²/dy²+d²/dz² : Laplacien.
• L’équation de Schrödinger s’écrit donc:
• [-(h²/8mπ²)Δ - (e²/4πε₀r)]Ψ=EΨ.

• La résolution de cette équation consiste en l’action de Ĥ sur Ψ qui transforme cette fonction d’onde en le produit d’un scalaire E par la même fonction d’onde de départ.
• Le couple (E,Ψ) représente la solution de l’équation de Schrödinger; E ne peut prendre que des valeurs ayant un sens physique, ces valeurs sont dites valeurs propres de Ĥ et les fonctions d’ondes correspondantes sont ses fonctions propres.
• La fonction d’onde Ψ est associée à la forme géométrique de l’espace où se meut l’électron, cette forme est appelée orbitale atomique.

• VI-2- Coordonnées sphériques
• La résolution de l’équation de Schrödinger est impossible de façon rigoureuse pour un système à plusieurs électrons.

L’atome d’hydrogène est le cas le plus simple.

Pour décrire la position de l’électron et faciliter cette équation, il est préférable d’utiliser les coordonnées sphériques:

• Le proton considéré fixe est pris comme origine.
• r est le module du vecteur OM.
• 0≤θ≤π : est l’angle polaire, compris entre OZ et OM.
• 0≤ϕ≤2π : angle azimutal, compris entre OX et OM’.
• Le passage des coordonnées sphériques aux coordonnées cartésiennes s’effectue à l’aide des relations suivantes :
• x=rsinθcosϕ; y=rsinθsinϕ; z=rcosθ
• L’expression admise pour Ψ, solution de l’équation de Schrödinger s'écrit sous la forme: Ψ(r,θ,ϕ)=R(r)Y(θ,ϕ),avec R(r) partie radiale et Y(θ, ϕ) partie angulaire. 

• VI-3- Nombres quantiques
• Un électron est défini par 4 nombres quantiques : n, l, m, et s.
• VI-3- 1- Le nombre quantique principal, n
• n caractérise l’énergie de l’électron : E_n = (-13,6/n²)eV.
• n prend des valeurs entières 1, 2, 3, …
• chaque valeur est associée à un état ou niveau énergétique correspondant à une couche électronique:
• la couche K(n=1), L(n=2), M(n=3), N(n=4), O(n=5), P(n=6), Q(n=7),….

• VI-4- Les orbitales atomiques OA
• Une orbitale atomique est définie par: n, l et m.
• A chaque valeur de l correspond un type d’OA.
• Le nombre d’OA du même type est égal au nombre de valeurs que peut prendre le nombre quantique magnétique m associées à la valeur de l.

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• Les OA sont indiquées par les fonctions d’ondes: Ψ(n,l,m), Ψ_nlm ou par les notations ns, np, nd, nf.
• Pour l’atome d’hydrogène et les ions hydrogènoïdes:

• VI-4- 1- Les orbitales atomiques s
• L’expression de l’OA s ne dépend que de r,

• l’OA s a une même valeur dans toutes les directions de l’espace à une distance r du noyau (symétrie sphèrique).
• VI-4- 1- 1- La densité radiale
• La probabilité dP de trouver l’électron dans l’élément de volume dV compris entre 2 sphères de rayons r et r+dr est donnée par : dP=Ψ²dV=Ψ²4πr²dr.
• dP/dr=Ψ²4πr² : la densité radiale de probabilité de présence de l’électron.
• Elle donne la probabilité de savoir la position de l’électron à n’importe quel point de la surface d’une sphère de rayon r.

• Les 2 fonctions Ψ² et 4πr² varient en sens inverse en fonction de r,
• 4πr²=0 pour r=0 et Ψ²=0 pour r infinie → Ψ²4πr²=0 à la fois sur le noyau et à l’infinie.
• Elle passe par un maximum pour r=a₀/z.

• VI-4- 1- 2- La probabilité de présence dans une sphère
• La probabilité de trouver l’électron à l’intérieur d’une sphère de rayon r, centrée sur le noyau est d’autant plus grande que le rayon est grand.

• Elle atteint des valeurs très importantes pour des rayons de l’ordre de grandeurs du rayon de Bohr,

• L’OA s est représentée par une sphère pour exprimer une symétrie sphérique, son rayon n’a aucune signification physique absolue.

• VI-4- 2- Les orbitales atomiques p
• La sous-couche p est définie à partir de la 2^ème couche,
• elle comporte 3OA p_x, p_y et p_z.
• La composante angulaire de p_z ne dépend que de θ et les autres dépendent de θ et ϕ.

• (2p_z)²=k’(cosθ)²,
• elle est nulle pour θ=π/2
• maximale pour θ=0 ou π.

• (2p_z)² pour l’atome d’hydrogène:

• VI-4- 3- Représentation des orbitales atomiques s, p et d