1 of 43

��Геометрическая задача повышенной сложности на ОГЭ

Воронкова И.В.,

учитель математики

МОУ «СОШ №65 им.Б.П.Агапитова УИПМЭЦ»

2 of 43

Задание ОГЭ 25

Задача 25 ОГЭ – это задача повышенного уровня сложности, представляет собой планиметрическую задачу на нахождение неизвестного, связанную со свойствами треугольников, четырёхугольников, окружностей. Задача 25 требует свободного владения материалом и достаточно высокого уровня математического развития. Требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным и полным, из него должен быть понятен ход рассуждений. Оформление решения должно обеспечивать выполнение указанных выше требований, а в остальном может быть произвольным.

3 of 43

Демоверсия ОГЭ 2024

4 of 43

Для решения геометрических задач применяются три основных метода: геометрический, алгебраический,

комбинированный

Геометрический метод

Основная идея геометрического метода состоит в том, что задача решается чисто геометрическим способом, т. е.

все рассуждения строятся на применении известных аксиом, утверждений, теорем.

​

Алгебраический метод

Данный метод основан на применении основных алгебраических структур, таких как, уравнения, системы уравнений. При решении задач таким методом геометрические элементы находят с помощью составления взаимосвязей

между ними и решения уравнений.

​

​

Комбинированный метод

В данном методе сочетаются геометрический

и алгебраический способы решения геометрических задач. С помощью логических рассуждений, использующих основные геометрические теоремы и утверждения, решается часть задачи, доказываются необходимые моменты для

дальнейшего решения задачи алгебраическим методом.

​

5 of 43

Для решения задач формата №25:

  • Нужно знать:
  • признаки, свойства и теоремы, связанные со всеми геометрическими фигурами;
  • свойства элементов геометрических фигур;
  • Нужно уметь:
  • правильно доказывать свойства геометрических фигур
  • проводить дополнительные построения. Такие дополнительные построения, вводящие новые углы и новые отрезки, иногда приводят к появлению геометрических фигур, облегчающих решение данной задачи.

6 of 43

Основные типы заданий формата № 25 (ОГЭ):

  • задачи, связанные с треугольниками;
  • задачи, связанные с четырехугольниками;
  • задачи на применение умений работать с окружностями;
  • задачи на комбинацию многоугольников и окружностей.

​

7 of 43

1. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 12. Найдите стороны треугольника ABC.

8 of 43

1. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 12. Найдите стороны треугольника ABC.��Решение (1 способ)

9 of 43

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ

  1. признаки равнобедренного треугольника;
  2. свойство биссектрисы треугольника;
  3. признаки параллелограмма;
  4. признаки подобия треугольников;
  5. теорема Пифагора.

​

​

10 of 43

1. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 12. Найдите стороны треугольника ABC.��Решение (2 способ)

11 of 43

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ

  1. признаки равенства прямоугольных треугольников;
  2. свойство биссектрисы треугольника;
  3. свойства площадей треугольника;
  4. теорема Пифагора.

​

​

​

​

12 of 43

2. Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 8, тангенс угла BAC равен 4/3. Найдите радиус вписанной в треугольник ABC окружности.

13 of 43

2. Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 8, тангенс угла BAC равен 4/3. Найдите радиус вписанной в треугольник ABC окружности.�Решение (1 способ)�

14 of 43

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ

  1. соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника;
  2. теорема Пифагора;
  3. признаки подобия треугольник;
  4. свойства подобных фигур.

​

​

​

​

15 of 43

2. Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 8, тангенс угла BAC равен 4/3. Найдите радиус вписанной в треугольник ABC окружности.�Решение (2 способ)�

16 of 43

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ

  1. формула для нахождения радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности;
  2. соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника;
  3. свойства прямоугольного треугольника;
  4. теорема Пифагора.

​

​

​

​

17 of 43

2. Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 8, тангенс угла BAC равен 4/3. Найдите радиус вписанной в треугольник ABC окружности.�Решение (3 способ)�

18 of 43

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ

  1. соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника;
  2. признаки подобия треугольников;
  3. свойства подобных фигур.

​

​

​

​

19 of 43

3. Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 25 и CD = 16 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠ AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.�

20 of 43

3. Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 25 и CD = 16 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠ AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.��Решение (1 способ)�

21 of 43

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ

  1. свойство вписанных углов;
  2. подобие треугольников;
  3. табличные значения тригонометрических функций;
  4. теорема косинусов;
  5. теорема синусов.

​

​

​

​

22 of 43

3. Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 25 и CD = 16 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠ AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.��Решение (2 способ)�

23 of 43

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ

  1. свойство трапеции, вписанной в окружность;
  2. свойства углов при параллельных прямых;
  3. свойство углов вписанного четырёхугольника;
  4. табличные значения тригонометрических функций;
  5. теорема косинусов;
  6. теорема синусов.

​

​

​

​

24 of 43

3. Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 25 и CD = 16 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠ AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.��Решение (3 способ)�

25 of 43

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ

  1. свойство вписанных углов;
  2. подобие треугольников;
  3. табличные значения тригонометрических функций;
  4. теорема косинусов;
  5. теорема синусов;
  6. формулы для вычисления площади треугольника.

​

​

​

​

​

26 of 43

4. В треугольнике ABC угол С равен 90°, радиус вписанной окружности равен 3. �Найдите площадь треугольника ABC, если AB=15.

27 of 43

4. В треугольнике ABC угол С равен 90°, радиус вписанной окружности равен 3. �Найдите площадь треугольника ABC, если AB=15.��Решение (1 способ)��

28 of 43

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ

  1. формула для вычисления площади треугольника через радиус вписанной окружности;
  2. свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки;
  3. признаки прямоугольника и квадрата;
  4. периметр треугольника.

​

​

​

​

29 of 43

4. В треугольнике ABC угол С равен 90°, радиус вписанной окружности равен 3. �Найдите площадь треугольника ABC, если AB=15.��Решение (2 способ)�

30 of 43

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ

  1. формула для вычисления площади прямоугольного треугольника;
  2. свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки;
  3. признаки прямоугольника и квадрата;
  4. теорема Пифагора.

​

​

​

​

31 of 43

4. В треугольнике ABC угол С равен 90°, радиус вписанной окружности равен 3. �Найдите площадь треугольника ABC, если AB=15.��Решение (3 способ)�

32 of 43

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ

  1. формула для вычисления площади прямоугольного треугольника;
  2. формула вычисления радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник;
  3. теорема Пифагора.

​

​

​

​

33 of 43

5. На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD = 9, MD = 6, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

34 of 43

5. На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD = 9, MD = 6, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.��Решение (1 способ)�

35 of 43

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ

  1. свойство вписанных углов, опирающихся на диаметр;
  2. свойство хорд, перпендикулярных диаметру;
  3. свойство отрезков секущих, проведённых к окружности из одной точки;
  4. признаки подобия треугольников.

​

​

​

​

​

36 of 43

5. На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD = 9, MD = 6, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.��Решение (2 способ)�

37 of 43

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ

  1. свойство вписанных углов, опирающихся на диаметр;
  2. свойство высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла;
  3. признаки подобия треугольников.

​

​

​

​

​

38 of 43

6. Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC=10, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 112° и 113°.�

39 of 43

6. Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC=10, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 112° и 113°.�Решение (1 способ)��

40 of 43

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ

​

  1. признаки и свойства четырёхугольников, вписанных в окружность;
  2. свойство равнобедренных треугольников;
  3. сумма углов треугольника;
  4. теорема синусов;
  5. табличные значения тригонометрических функций.

​

​

​

​

​

​

​

41 of 43

6. Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC=10, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 112° и 113°.�Решение (2 способ)��

42 of 43

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ

  1. признаки четырехугольников, вписанных в окружность;
  2. центральные и вписанные углы;
  3. теорема Пифагора.

​

​

​

​

43 of 43

Спасибо за внимание!