CICLE

Jordi Deulofeu

Carme Vicens

EL SENTIT ALGEBRAIC

a l’educació secundària

PERSPECTIVES MATEMÀTIQUES

Un treball d’equip

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

Estructura de la sessió

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

1. El sentit algebraic

Sentit Algebraic

• Cal diferenciar sentit algebraic i llenguatge algebraic.
• L’objectiu de l'àlgebra no és només resoldre equacions i comença molt abans de l’aparició de les “x” (connexió amb primària).
• Busquem identificar patrons; generalitzar (expressar de diverses maneres) propietats generals. També modelitzar (representació algebraica de funcions).
• Connexió forta amb la majoria de sentits, especialment el sentit numèric a l’inici i també el sentit espacial (visualització).

​

El sentit algebraic més enllà d’un llenguatge

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

Les orientacions curriculars de matemàtiques a l’ESO

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

2. Els blocs de sabers

Sentit Algebraic

Sentit Algebraic

2. Els blocs de sabers

Patrons

Model matemàtic

Variable

Igualtat i Desigualtat

Relacions i Funcions

Pensament computacional

9 d’abril

Observar regularitats en diferents contextos matemàtics que permetin extreure conclusions o descobrir propietats.

2. Els blocs de sabers

Patrons

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

Patrons

Regla de formació d’un patró numèric o geomètric…

Regularitats en diferents contextos matemàtics que permetin extreure conclusions o descobrir propietats

…i càlcul del terme general

Successions

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

Representar situacions reals mitjançant eines i llenguatge matemàtics per analitzar-les, interpretar-les i prendre decisions fonamentades.

​

2. Els blocs de sabers

Model matemàtic

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

Model matemàtic

Prop. numèrica

Prop. geomètrica

Representació abstracta de la realitat

Equacions i sistemes

Equacions, sistemes i inequacions

Funcions

Funcions

Funcions

Ús de recursos digitals o interactius per buscar la funció que millor modelitza un context

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

2. Els blocs de sabers

Variable

Les variables representen nombres desconeguts o valors que poden canviar.

«On the Meaning of Variable» (Schoenfeld & Arcavi, 1988)

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

2. Els blocs de sabers

Variable

Les variables representen nombres desconeguts o valors que poden canviar.

f(x) = x² - 1

x² - 1 = 0

a_n = n² + 1

p(x) = x² - 1

X = Edat dels alumnes

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

2. Els blocs de sabers

Variable

Les variables representen nombres desconeguts o valors que poden canviar.

f(x) = x² - 1

x² - 1 = 0

a_n = n² + 1

p(x) = x² - 1

X = Edat dels alumnes

INCÒGNITA!

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

Variable

Variables computacionals

Incògnites vs variables funcionals

Paràmetres

Variables en successions

Situacions en context

Evolució històrica

Quantitats indeterminades

Incògnites en equacions

Variables estadístiques

Variables en funcions

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

2. Els blocs de sabers

Igualtat i desigualtat

Procés de trobar els valors que fan certa una igualtat mitjançant transformacions algebraiques equivalents, de manera comprensiva.

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

Igualtat i desigualtat

Concepte d’equació

Resolució equacions senzilles i problemes de 1r grau

Significats signe =

Identitats notables i factorització

Polinomi, factorització, arrels

Expressions amb quantitats indeterminades i transformació d’expressions

Resolució equacions senzilles i traducció d’enunciats

Transformació d’expressions

Sistemes d’equacions. Classificació

Desigualtats, intervals i semirectes, inequacions i sistemes d’inequacions

Igualtats per expressar funcions

Equacions quadràtiques, sistemes i problemes

Igualtats per expressar funcions,

solucions i zeros de funcions

Equacions racionals, irracionals, exp, trigonomètriques i problemes

Ús de paràmetres

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

2. Els blocs de sabers

Relacions i funcions

Fenòmens de canvi i relacions entre variables.

Funcions a partir de rectangles isoperimètrics i equivalents. Anton Aubanell

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

Relacions i funcions

funció constant, lineal, afí

Proporcionalitat inversa

Polinòmiques i prop. inversa

Ús de paràmetres

Quadràtica

Exponencial

Extracció d'informació d'una funció

Relació 2 variables

Formes de representació

Propietats de les funcions a partir de les seves representacions

Ús de recursos digitals i interactius per representar taules i gràfics

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

2. Els blocs de sabers

Pensament computacional

Analitzar i resoldre problemes descomponent-los, identificant patrons, abstraient la informació rellevant i dissenyant algoritmes precisos que puguin ser executats per una persona o una màquina.

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

2. Els blocs de sabers

Pensament computacional

Analitzar i resoldre problemes descomponent-los, identificant patrons, abstraient la informació rellevant i dissenyant algoritmes precisos que puguin ser executats per una persona o una màquina.

MOLT AVIAT A LES VOSTRES PANTALLES!

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

2. Els blocs de sabers

La distribució quantitativa dels sabers entre els quatre cursos ens dóna una idea de la seva evolució.

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

3. Sabers essencials i d’ampliació i connexions

Sentit Algebraic

3.1. Sabers essencials (I)

PRIMER CURS

​

• Concepte d’incògnita en una equació (VA)
• Traducció d’enunciats de problemes a una equació senzilla, resolució i comprovació de la solució en el context del problema (ID)
• Anàlisi de les solucions d’un problema, presa de decisions en conseqüència i formulació de prediccions (MM)

​

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

3.1. Sabers essencials (II)

SEGON CURS

​

• Observació i determinació de la regla de formació d'un patró numèric o geomètric (PA)
• Concepte de variable en l'expressió de relacions funcionals (VA)
• Resolució d'equacions senzilles aplicant, amb sentit, les operacions inverses (ID)
• Resolució de problemes d'equacions de primer grau contextualitzats (ID)
• Estudi i aplicació en contextos de les funcions constant, lineal i afí (RF)
• Extracció d'informació d'una funció donada gràficament, mitjançant una taula, una expressió algebraica i verbalment (RF)

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

3.1. Sabers essencials (III)

TERCER CURS

​

• Estudi de diferents successions: aritmètiques, geomètriques,... Terme general (PA)
• Anàlisi de les solucions d'un problema, presa de decisions i formulació de prediccions (MM)
• Resolució de problemes senzills contextualitzats d'equacions quadràtiques
• Resolució de problemes contextualitzats a través de sistemes de dues equacions lineals (ID)
• Identificació d'una funció com a relació entre dues variables i estudi de la dependència entre elles (RF)
• Estudi i aplicació en contextos de la funció quadràtica (RF)

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

3.1. Sabers essencials (IV)

QUART CURS

​

• Cerca de la funció que modelitza una situació que segueixi un model lineal, quadràtic, exponencial, de proporcionalitat inversa (MM)
• Anàlisi de les solucions d'un problema, presa de decisions en conseqüència i formulació de prediccions, si escau (MM)
• Resolució de problemes d'equacions en situacions contextualitzades (ID)

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

3.2. Sabers d’ampliació (I)

PRIMER CURS

​

• Variables en el context del pensament computacional (VA)

​

SEGON CURS

​

• Expressió amb paraules de condicions de desigualtat i traducció a llenguatge matemàtic. Introducció a la idea d'inequació (ID)

​

TERCER CURS

​

• Nombre de solucions reals d’una equació de segon grau segons el discriminant (ID)
• Expressió de les solucions d'inequacions senzilles amb una incògnita a través d'intervals i semirectes (ID)

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

3.2. Sabers d’ampliació (II)

QUART CURS

• Paràmetres en l'expressió algebraica de funcions (VA)
• Evolució històrica del concepte de variable i de l'àlgebra simbòlica com a llenguatge de la ciència (VA)
• Factorització i arrels de polinomis (ID)
• Resolució d'equacions racionals, irracionals, exponencials i trigonomètriques senzilles. Comprovació i discussió, si escau, de les solucions (ID)
• Solució geomètrica d'un sistema d'inequacions lineals amb dues incògnites. Regió solució (ID)
• Igualtats per expressar funcions dependents d'un paràmetre (RF)
• Estudi i aplicació en contextos de les funcions definides a trossos i les seves característiques (RF)

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

O

3.3. Connexions internes

Les connexions entre sabers, dins d’un mateix sentit o amb altres sentits, son un punt clau de la proposta, per tal de possibilitar la relació entre sabers i ajudar a prendre decisions sobre la seqüenciació. El següent exemple (sabers del bloc de relacions i funcions -RF- de 4t curs) mostra fins a 13 connexions:

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

Sentit Algebraic

4. Els TORs:

Textos d’orientacions i recursos

Patrons: El triangle aritmètic

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

Patrons: El triangle aritmètic

11²

11³

11¹

11⁰

11⁴

11⁵ = 161.051

​

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

Patrons: El triangle aritmètic

11²

11³

11¹

11⁰

11⁴

11⁵ = 161.051

​

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

Patrons: El triangle aritmètic (II)

Mathigon

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

Patrons: El triangle aritmètic (III)

Mathigon

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

Patrons: El triangle aritmètic (IV)

Mathigon

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

Patrons: El triangle aritmètic (V)

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

En aquesta activitat treballem aspectes relacionats amb:

• Reconeixement del sistema posicional (numèric, quantitat)
• Diferents successions numèriques (algebraic, patrons)
• Patrons geomètrics i fractals (algebraic, patrons)
• Desenvolupament d’un binomi (algebraic, igualtat i desigualtat)
• Combinatòria (numèric, relacions)

Però també i sobre tot:

• Les connexions entre blocs de sabers i entre sentits
• Les conjectures i la generalització (raonament i prova)
• Les destreses socioemocionals

​

Patrons: El triangle aritmètic (VI)

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

L'anàlisi dels diferents models matemàtics elementals ens serveix per determinar quan es pertinent aplicar un model o un altre i relacionar-los amb nombroses situacions contextualitzades. Algunes vegades, aquestes situacions són properes i fàcils d’identificar. Altres, no tant.

​

Sembla prou evident que el model de funció lineal correspon a moltes situacions contextualitzades, però, per l’alumnat potser no és tant clara l’aplicació d’altres models, com per exemple, les funcions quadràtiques.

​

Fem-nos la pregunta: Quin sentit té estudiar el model de funció y = ½ k x², i de manera més general la funció y = k x²?

Model matemàtic (I)

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

Observeu les quatre igualtats següents, que expressen la dependència entre dues variables concretes:

​

​

Extret de: Alexandrov, Kolmogorov i Laurentiev. (1976). La matemática su contenido, métodos y significado. Madrid: Alianza

Model matemàtic (II)

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

Quan treballem la relació entre igualtats que expressen la dependència entre variables concretes i variables abstractes, estem:

​

• Entenent els models de funcions com abstracció de lleis de les ciències
• Treballant l’abstracció a partir del concret així com la generalització, per donar sentit a les variables abstractes
• Aplicant les propietats dels models de funcions a les lleis que modelitzen
• Desenvolupant les competències de representació i de comunicació

Model matemàtic (III)

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

En lloc d’ensenyar de manera explícita a resoldre sistemes d’equacions, proposem problemes amb llenguatge icònic que els alumnes resolen de diferents maneres. Posteriorment, traduïm tant l’enunciat com les resolucions a llenguatge algebraic.

Un exemple extret de: de la Fuente, A. (2022). Aprender a usar el álgebra en secundaria mediante la resolución de problemas. SUMA 99, 49-60.

Igualtat i desigualtat (I)

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

Igualtat i desigualtat (II)

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

Igualtat i desigualtat (III)

• Una vegada s’han resolt problemes similars, l’enunciat dels quals ve donat de manera icònica, podem traduir-los a llenguatge algebraic i analitzar quines son les transformacions que fem de les equacions implicades quan fem una determinada resolució del problema.
• A partir d’una seqüència adequada de problemes i una aproximació paulatina al llenguatge algebraic a través de canvis de representació, l’alumnat aprèn a resoldre sistemes d’equacions, comprenent allò que fa.

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

Treballant d’aquesta manera, l’alumnat:

​

• Aprèn a donar significat als símbols i a les expressions algebraiques
• Quan ha trobat el valor d’una variable no oblida de trobar el valor de l’altra
• Tendeix a resoldre els sistemes per l’anomenat mètode de reducció, aprenent a emprar les regles que permeten trobar equacions equivalents

​

I, el que és més important:

​

• A través d’activitats competencialment riques, es treballen conjuntament sabers, en aquest cas del sentit algebraic, amb la majoria de processos, encara que de manera específica, els de resolució de problemes i els de representació i comunicació,

Igualtat i desigualtat (IV)

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

Què tenen igual? Què tenen de diferent?

Funcions (I)

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

• La comparació ajuda a l’alumnat a organitzar i estructurar els coneixements.
• Treballem el raonament a l’hora d’analitzar les imatges i fer conjectures sobre els seus elements comuns i no comuns.
• Treballem la comunicació i l’argumentació, posant el focus en la importància del llenguatge matemàtic implicat.

Què tenen igual? Què tenen de diferent?

Funcions (II)

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

Pintant cubs. Disposem de cubs petits iguals de 1 cm d’aresta i amb ells fem cubs més grans (d’aresta 2 cm, 3 cm i, en general, d’aresta n cm). Quan hem format aquests cubs pintem la seva superfície exterior. Si ara desfem cada cub veurem que alguns cubs petits tenen 3 cares pintades, 2 cares, 1 i altres cap.

- Quants cubs amb 3, 2, 1 i 0 cares pintades hi haurà segons l’aresta del cub?

- Troba expressions algebraiques per a un cub d’aresta n cm

Una activitat de síntesi (I)

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

Podem expressar els resultats en una taula com la següent:

Una activitat de síntesi (II)

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

QUINS SABERS ESTEM TREBALLANT?

• Aquesta és una activitat que treballa nombrosos sabers, de diversos sentits (espacial, numèric, algebraic, principalment).
• Dins del sentit algebraic podem detectar sabers de tots els blocs: patrons, models matemàtics, variable, igualtat i desigualtat, funcions.

I QUINS PROCESSOS DESENVOLUPEM?

• Resolució de problemes
• Raonament (conjectura)
• Connexions (internes, amb sentit numèric, espacial i algebraic)
• Representació

Una activitat de síntesi (III)

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

Sentit Algebraic

5. El sentit algebraic: més enllà d’un llenguatge

• El sentit algebraic és molt més que el llenguatge algebraic.
• Tanmateix, també és aprendre un llenguatge nou.
• Cal donar sentit a cadascun dels símbols d’aquest llenguatge, així com a les transformacions que realitzem quan l’emprem. Quedar-se a nivell sintàctic, aplicant regles sense sentit, no permet aprendre amb significat.
• La relació amb tots els processos i, per tant, amb el desenvolupament de competències, ha de ser present en tot moment.
• L’establiment de connexions, tant internes com externes, són una de les claus del desenvolupament del sentit algebraic.

​

El sentit algebraic: més enllà d’un llenguatge

TALLERS EN CENTRE DE MATEMÀTIQUES A SECUNDÀRIA

Sobre la relació entre sentit algebraic i llenguatge algebraic

La notació matemàtica és meravellosa i poderosa. També és subtil i difícil d’aprendre. Quan ja la dominem, sovint oblidem com va ser de difícil i el que va implicar per al desenvolupament de la nostra comprensió.

A. Schoenfeld & A. Arcavi, 1988

​

Moltes gràcies

​

jordi.deulofeu@uab.cat

mvicens7@xtec.cat