Перетворення графіків функцій

Алгебра, 9 клас

Пряма

Парабола

Гіпербола

Графіки елементарних функцій

у =kх+b, k<0

Вітка параболи

у =

k<0

У =

,

У =

,

k >0

У презентації розглянемо:

1. Графік функції у = f(x) + n, де n ˃ 0.
2. Графік функції у = f(x + m), де m ˃ 0.
3. Графік функції у = f(x + m) + n, де m ˃ 0, n ˃ 0.
4. Графік функції у = ⎯f(x).
5. Графік функції у = аf(x), де а ˃ 0.
6. Графік функції у = f(-x).
7. Графік функції у = |f(x)|.
8. Графік функції у = f(|x|).

​

​

​

1. Побудуємо графіки функцій у= , у= + 2, у= ⎯ 4 � за допомогою таблиці їхніх значень та порівняємо їх.

Якщо змістити кожну точку графіка функції у= на 2 одиниці вгору (на 4 одиниці вниз) в напрямі осі у, то одержимо відповідну точку графіка функції у= +2 (у = ⎯ 4).

y

x

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

у =

-1

-2

​

-3

​

-4

​

​

​

у = ⎯ 4

​

​

54

321

у = +2

1. Побудова графіка функції у = f(x) + n, де n ˃ 0.��Графік функції y=f(x)+n, де n>0, можна одержати із графіка функції y=f(x) за допомогою паралельного перенесення вздовж осі у на n одиниць угору.� �Графік функції y=f(x)⎯n, де n>0, можна одержати із графіка функції y=f(x) за допомогою паралельного перенесення вздовж осі у на n одиниць униз.

у = х² ⎯ 3

y

x

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-2

​

-3

​

-4

​

​

​

​

​

54

321

• Побудуємо графіки функцій у = х² + 1, у = х² ⎯ 3.

І спосіб. Використаємо шаблон графіка функції у = х².

у = х²

у = х² + 1

ІІ спосіб. Для побудови графіка функції у = х² + 1 піднімемо

вісь Ох вгору на 1 одиницю, для побудови графіка функції

у = х² ⎯ 3 опустимо вісь Ох вниз на 3 одиниці і побудуємо

графік функції у = х².

​

​

у = х² ⎯ 5

y

x

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-2

​

-3

​

-4

-5

​

​

​

​

54

321

• Побудуйте графіки функцій у= х²⎯ 1, у= х²+ 2, у= х² ⎯ 5.

у = х²⎯ 1

у = х² + 2

2. Побудуємо графіки функцій у= , у= , у= � за допомогою таблиці їхніх значень та порівняємо їх.

Якщо змістити кожну точку графіка функції у=

на 3 одиниці вправо (на 2 одиниці вліво) в напрямі

осі х, то одержимо відповідну точку графіка функції

у= (у = ).

y

x

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

у =

-1

-2

​

-3

​

​

​

​

​

у =

​

​

54

321

У =

2. Побудова графіка функції у= f(x + m), де m ˃ 0.��Графік функції y = f(x⎯m), де m > 0, можна одержати із графіка функції y= f(x) за допомогою паралельного перенесення вздовж осі x на m одиниць праворуч.� �Графік функції y = f(x+m), де m > 0, можна одержати із графіка функції y= f(x) за допомогою паралельного перенесення вздовж осі x на m одиниць ліворуч.

y

x

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-2

​

​

​

​

​

​

​

​

​

54

321

• Побудуємо графіки функцій у = (х + 1)², у = (х ⎯ 3)².

І спосіб. Використаємо шаблон графіка функції у = х².

у = х²

у = (х + 1)²

ІІ спосіб. Для побудови графіка функції у = (х + 1)²

перенесемо вісь Оу вліво на 1 одиницю; для побудови

графіка функції у = (х⎯3)² перенесемо вісь Оу вправо

на 3 одиниці і побудуємо графік функції у = х².

​

​

у = (х ⎯ 3)²

y

x

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-2

​

-3

​

-4

-5

​

​

​

​

54

321

• Побудуйте графіки функцій у=(х⎯ 1)², у=(х+ 2)², у=(х⎯5)².

у = (х⎯ 1)²

у = (х + 2)²

у = (х ⎯ 5)²

3. Побудова графіка функції y= f(x ± m) ± n, де m > 0 і n > 0. �� Графік функції y= f(x ± m) ± n, де m > 0 і n > 0, можна одержати із графіка функції y= f(x) за допомогою паралельного перенесення вздовж осі x на m одиниць ліворуч (праворуч), а потім уздовж осі у на n одиниць вгору (вниз).

�

y

x

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-2

​

-3

​

​

​

​

​

​

​

54

321

• Побудуємо графіки функцій у = (х + 1)²⎯3, у= (х ⎯ 3)²+1.

І спосіб. Використаємо шаблон графіка функції у = х².

у = х²

у = (х + 1)²⎯3

ІІ спосіб. Для побудови графіка функції у = (х + 1)² ⎯ 3

перенесемо вісь Оу на 1 одиницю ліворуч, а вісь Ох ⎯ на

3 одиниці вниз і побудуємо графік функції у = х².

Для побудови графіка функції у = (х⎯3)² + 1

перенесемо вісь Оу на 3 одиниці праворуч, а вісь Ох ⎯

на 1 одиницю вгору і побудуємо графік функції у = х².

​

​

у = (х ⎯ 3)²+1

y

x

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-2

​

-3

​

-4

-5

​

​

​

​

54

321

• Побудуйте графіки функцій у=(х⎯ 1)²+ 2, у=(х+ 2)²⎯ 1,

у=(х⎯4)²⎯ 5, у=(х+5)²⎯ 4.

у = (х⎯ 1)² +2

у = (х + 2)²⎯ 1

у = (х ⎯ 4)²⎯ 5

4. Побудова графіка функції y = ⎯f(x) �� Графік функції y= ⎯f(x) можна одержати із графіка функції y=f(x) за допомогою симетрії відносно осі х.

​

​

y

x

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-2

​

-3

​

-4

-5

​

​

​

​

54

321

• Побудуємо графіки функцій у= ⎯х², у= ⎯(х⎯1)², у=⎯х²+ 1,

у=⎯(х⎯4)²⎯ 3, у=⎯(х+5)²+ 4.

у = (х⎯ 1)²

у = (х ⎯ 4)²

у= х²

у= ⎯х²

у = ⎯(х⎯ 1)²

у=⎯х²+ 1

у = ⎯(х ⎯ 4)²

у = ⎯(х ⎯ 4)²⎯3

у = (х + 5)²

у =⎯ (х + 5)²

у =⎯ (х + 5)²+4

• Побудуємо графіки функцій у=⎯ , у=⎯ , у=⎯ �

y

x

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

у =

-1

-2

​

-3

​

​

​

​

​

у =

​

​

54

321

У =

У = ⎯

У = ⎯

У = ⎯

​

​

y

x

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-2

​

-3

​

-4

-5

​

​

​

​

54

321

• Побудуйте графіки функцій у = ⎯(х+1)², у = ⎯х²+ 5,

у = ⎯(х + 4)² ⎯ 3, у = ⎯(х ⎯ 5)²+ 2.

у = ⎯(х + 1)²

у = ⎯х²+ 5

у = ⎯(х + 4)² ⎯ 3

у = ⎯(х ⎯ 5)² + 2

5. Побудова графіка функції y=а·f(x), де а > 0. ��Графік функції y=а·f(x), де а > 0, можна одержати із графіка функції y=f(x), розтягнувши від осі х в а разів, якщо а > 1, і стиснувши його до осі х в 1/а разів, якщо� 0 < а < 1.

• Побудуємо графіки функцій у= ⎯2х², у= ⎯3х², у= ⎯½х²,

у= ⎯¼х².

y

x

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-2

​

-3

​

-4

-5

-6

​

​

​

54

321

• Побудуємо графіки функцій у=2х², у=3х², у=½х², у=¼х².

у = х²

у = 3х ²

у = ½· х ²

у = 2х²

у=¼· х²

у = ⎯2х²

у = ⎯3х ²

у = ⎯½· х ²

у=⎯¼· х²

6. Побудова графіка функції y = f(⎯x). �� Графік функції y = f(⎯x) можна одержати із графіка функції y = f(x), відобразивши його симетрично відносно осі у.

• Побудуємо графіки функцій у = , у = ⎯ 5, � у=

y

x

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

у =

у =

​

​

654 321

-1

-2

-3

-4 - -5

-6

-7

-8

у = ⎯ 5

у = ⎯ 5

у =

у =

7. Побудова графіка функції у = |f(x)|. �� Графік функції y =|f(x)| можна одержати із графіка функції y = f(x), відобразивши симетрично відносно осі х ту його частину, що розташована нижче від цієї осі х.

​

​

y

x

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-2

​

-3

​

-4

-5

​

​

​

​

54

321

• Побудуємо графіки функцій у = |⎯(х+1)²|, у = |⎯х²+ 5|,

у = |(х + 4)² ⎯ 3|, у = |⎯(х ⎯ 5)²+ 2|.

у = ⎯ (х + 1)²

у = ⎯х²+ 5

у = (х + 4)² ⎯ 3

у = ⎯(х ⎯ 5)² + 2

у =|⎯х²+ 5|

у =|⎯(х + 1)²|

у =|(х + 4)² ⎯3|

у =|⎯(х ⎯ 5)² + 2 |

​

​

y

x

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-2

​

-3

​

-4

-5

​

​

​

​

54

321

• Побудуйте графіки функцій у = |⎯(х+4)²|, у = |х²⎯ 5|,

у = |(х ⎯ 3)² ⎯ 4|, у = |⎯(х ⎯ 7)²⎯ 1|.

у = ⎯ (х + 4)²

у = х²⎯ 5

у = (х⎯ 3)² ⎯ 4

у = ⎯(х ⎯ 7)² ⎯ 1

у =|⎯х²+ 5|

у =|⎯(х + 4)²|

у =|(х ⎯ 3)² ⎯ 4|

у =|⎯(х ⎯ 7)² ⎯ 1 |

8. Побудова графіка функції у = f (|x|). �� Графік функції y = f(|x|) можна одержати із частини графіка функції y = f(x), побудованого для х > 0 та симетричної цій частині графіка відносно осі у.

​

​

y

x

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-2

​

-3

​

-4

-5

​

​

​

​

54

321

• Побудуємо графіки функцій у = (|х|+1)², у = ⎯|х|²+ 5,

у = (|х |⎯ 2)² ⎯ 5, у = ⎯(|х |+ 1)²⎯ 2.

у = (х + 1)²

у = ⎯х²+ 5 = ⎯|х|²+ 5

у = (х ⎯ 2)² ⎯ 5

у = ⎯(х + 1)² ⎯ 2

у = ⎯|х|²+ 5

у = (|х| + 1)²

у = (|х|⎯ 2)² ⎯5

у =⎯(|х |+ 1)² ⎯ 2

​

​

y

x

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-2

​

-3

​

-4

-5

​

​

​

​

54

321

• Побудуємо графік функції у =|(|х|⎯ 2)² ⎯ 4|.

​

​

​

​

​

​

​

​

Побудова.

​

1. у = х²;
2. у = (х⎯ 2)²;
3. у = (х⎯ 2)² ⎯ 4;
4. у = (|х|⎯ 2)² ⎯ 4;
5. у =|(|х|⎯ 2)² ⎯ 4|.

​

​

​

​

​

y

x

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-2

​

-3

​

-4

-5

​

​

​

​

54

321

• Побудуємо графік функції у =||х|⎯ 2 |+ 1.

​

​

​

​

​

​

​

​

Побудова.

​

1. у = х;
2. у = |х|;
3. у = |х|⎯ 2;
4. у = ||х|⎯ 2|;
5. у =||х|⎯ 2 |+ 1.

​

​

​

​

​

y

x

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-2

​

-3

​

-4

-5

​

​

​

​

54

321

• * Побудуємо графік функції у =|⎯2(|х|⎯ 1)² + 3|.

​

​

​

​

Побудова.

​

​

1. у = х²;
2. у = (х⎯ 1)²;
3. у = 2· ( х⎯ 1)²;
4. у = ⎯2· ( х⎯ 1)²;
5. у = ⎯2· ( х⎯ 1)²+3;
6. у = ⎯2· ( |х|⎯ 1)²+3;
7. у = |⎯2· (|х|⎯ 1)²+3|.

​

​

​

​

​

�Самостійна робота�

����� 1. Установіть відповідність між функціями та їхніми графіками.

y

x

5 у = + 1

​

​

​

2 у = ⎯ 1

4 у = ⎯ 1

3 у = ⎯ 1

1 у =

x

y

x

x

y

y

А

Б

В

Г

Функції

����� 2. Установіть відповідність між функціями та їхніми графіками.

y

x

3 у = + 2

​

​

​

4 у = ⎯ 2

5 у = ⎯ + 2 + 1

2 у =

1 у = + 1

x

y

x

x

y

y

А

Б

В

Г

Функції

����� 3. Установіть відповідність між функціями та їхніми графіками.

y

x

3 у = 3(х + 3)²

​

​

​

4 у = ⎯ (х + 2)² + 2

5 у = ⎯ 2(х ⎯ 1)² + 3

2 у =

1 у = ⎯х² + 1

x

y

x

x

y

y

А

Б

В

Г

Функції

х² ⎯ 2

​

​

y

x

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-2

​

-3

​

-4

-5

​

​

​

​

54

321

4. Графіки яких функцій зображено на рисунку?

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

1. у = ⎯ (х⎯ 6)² + 5
2. у = 2 (х⎯ 2)² ⎯ 5
3. у =|(х + 2)² ⎯ 4| або

у= |⎯(х+2)² +4)|

​

​

​