数理論理学

第7回

​

論理式の性質とモデル

​

© 加藤，高田，新出

3.2.3項(p. 65)

述語論理の論理

式の性質

演習課題6 member 削除

リストから要素を取り除く確定節 del を定義せよ。

(3)先頭要素HeadがTgtでなく、かつTailからTgtを除いたもの

　　がWならば、答えはWの先頭にHeadをつけたものである。

​

(2) Listの先頭要素がTgt，残りをTailとする。TailからTgtを除

いたリストがWならば、答えはWである。

(1) List=[ ]　ならばTgtとは無関係に答えは[ ]。

解釈

3.2.3 述語論理の論理式の性質

さくら家における解釈を

とする。ただし

p.63

の用い方

(pp. 63-64)

p.62 5.

⊃

p.63

論理式の性質

• 恒真　　　　どのような解釈 I の下でも　T
• 充足可能　ある解釈 I の下で　T
• 充足不能　どのような解釈 I の下でも　 ⊥

解釈の性質

• モデル　　　　

　　論理式 F に対して I(F) = Tとなるとき、

　　　　　　I は F のモデルである

今回のまとめ

1. 論理式 F が恒真(valid)

3.2.3節

どんな解釈 I の下でも、

つまり値が真になること。

2. 論理式 F が充足可能(satisfiable)

ある解釈の下でFが真となること。

I (F) =T となるような解釈が存在した

3.2.3節

どんな解釈 I の下でも、

つまり値が偽になること。

3. 論理式 E が充足不能(unsatisfiable)

3.2.3節

注意: 「恒真」の否定が「充足不能」では

ない。「任意の～について・・・である」

の否定は、「ある～について・・・でない」

充足不能(unsatisfiable)　でないことは、

充足可能(satisfiable)であること。

3.2.3節

だが、

定義　3.18　モデル

I1 は、論理式 F のモデルである。

論理式の性質

• 恒真　　　　どのような解釈 I の下でも　T
• 充足可能　ある解釈 I の下で　T
• 充足不能　どのような解釈 I の下でも　 ⊥

解釈の性質

• モデル　　　　

　　論理式 F に対して I(F) = Tとなるとき、

　　　　　　I は F のモデルである

今回のまとめ

各ますにはT か ⊥ を入れる

課題 7

この論理式 F のモデルをひとつ作成せよ。 ただし

D={mikeneko, hibari} とし、Aによる割り当てを自分

で作る。

また、なぜそれが F のモデルになるか証明せよ。

(mikenekoに関する式) (a)

(hibari に関する式) (b)

証明:

ここで与えた解釈 I が論理式 F のモデル

となることを示す。

を求め、ひとつでも⊥であれば⊥。

なので(2)式の値は T となる。同様に(3)式の値は T となるので、(1)式の値は T となる。以上より　　　　 が示された。定義3.18より、　　　　　　　　　 となる解釈I は、F のモデルなので、ここで与えた I はF のモデルとなる。

(2)式の値は、p. 62の規則 5. によると

(h)

(i)

ならば⊥、そうでなければ T。

(g)

(g)

(h)

(h)

(i)

(c)

(d)

(c)

(d)

(e)

(f)

1. ……
2. ……
3. ……
4. ……
5. ……
6. ……
7. ……
8. ……
9. ……

解釈を 　　とする。ただし

割当A を下の表で与える。

課題 7

今回の答案の書き方

hibari