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Autor: Anibal Tavares de Azevedo

CÁLCULO I + Python

SEMANA 04 - AULA 02

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DERIVADAS FUNÇÕES LOGARÍTMICAS

Para esta aula será importante o conceito de logaritmo. Observe que:

log _bx = y ⇔ b ^y = x

Base

Expoente

Ou seja, o logaritmo de x na base b é igual a y e isto equivale a dizer que o valor y é o expoente da base b que resulta no valor x.

Valor

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DERIVADAS FUNÇÕES LOGARÍTMICAS

O logaritmo natural ou neperiano é o logaritmo na base e, isto é, na base e = 2,71. Assim:

log _ex = y ⇔ ln x = y

Base e

Expoente

Ou seja, o logaritmo de x na base e é igual a y e isto equivale a dizer que o logaritmo natural de x é y.

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DERIVADAS FUNÇÕES LOGARÍTMICAS

Pode ser provado, usando-se derivação implícita, que:

d(ln(x))/dx = 1/x

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Exemplo 1: Derive y = ln(x³ + 1):

Seja u = x³ + 1, então, y = ln(u).

d(y)/dx = (dy/du)*(du/dx) =

(d(ln(u))/du)*(d(u)/dx) =

se u = x³ + 1:

(1/u)*(d(x³ + 1)/dx) =

(1/(x³ + 1))*(3x²) =

(3x²)/(x³ + 1)

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Os cálculos de funções complicadas envolvendo produtos, quocientes ou potências podem ser simplificados usando-se logaritmos em um método denominado de derivação logarítmica e segue os seguintes passos:

DERIVADAS FUNÇÕES LOGARÍTMICAS

Passo 1: Aplicar o logaritmo natural (ln) em ambos os lados da equação y = f(x) e usar as propriedades dos logaritmos.

Passo 2: Derive implicitamente em relação a x.

Passo 3: Isole y’ na equação resultante.

OBSERVAÇÃO: Se f(x) < 0 para algum x, então, ln(f(x)) não está definida e deve-se usar que |y| = |f(x)|. Pode ser provado que: d(ln(x))/dx = 1/x.

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Exemplo 2: Derive y = x^x:

Usando derivação logarítmica:

Passo 1: ln y = ln x^x → ln y = x * ln x

Passo 2:Aplicando derivação implícita em ambos os lados da eq.: d(ln y)/dx = d(x * lnx)/dx

d(ln y)/dx = usando a regra da cadeia

= (1/y)*(y’) = y’/y

d(x * lnx)/dx = usando regra do produto

= 1*(lnx) + x*(1/x) = lnx + 1

Logo: y’/y = lnx + 1

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Passo 3:

y’/y = lnx + 1

y’ = y * (lnx + 1)

Se y = x^x, então:

y’ = x^x(lnx + 1)

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Exemplo 3: Derive y = x^√x:

Usando derivação logarítmica:

Passo 1: ln y = ln x√^x → ln y = x^1/2 * ln x

Passo 2:Aplicando derivação implícita em ambos os lados da eq.: d(ln y)/dx = d(x^1/2 * lnx)/dx

d(ln y)/dx = usando a regra da cadeia

= (1/y)*(y’) = y’/y

d(x^1/2 * lnx)/dx = usando regra do produto

= (1/2*x^-1/2)*(lnx) + x^1/2*(1/x) = (x^-1/2/2)*(ln x)+(1/x^1/2)

= lnx/2x^1/2 + 1/x^1/2 = (lnx + 2)/2x^1/2

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Passo 3:

y’/y = (lnx + 2)/2x^1/2

y’ = y * ((lnx + 2)/2x^1/2)

Se y = x^√x, então:

y’ = x^√x * ((lnx + 2)/2x^1/2)

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Exemplo 4: Derive y = (√x)^x:

Usando derivação logarítmica:

Passo 1: ln y = ln √x^x → ln y = x * ln x^1/2

Passo 2:Aplicando derivação implícita em ambos os lados da eq.: d(ln y)/dx = d(x * lnx^1/2)/dx

d(ln y)/dx = usando a regra da cadeia

= (1/y)*(y’) = y’/y

d(x * lnx^1/2)/dx = usando regra do produto e da cadeia:

= (1)*(lnx^1/2) + x*((1/x^1/2)*((1/2)*x^-1/2))

= lnx^1/2 + x*(1/(2*x)) = lnx^1/2 + 1/2

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Passo 3:

y’/y = (lnx^1/2 + 1/2)

y’ = y * (lnx^1/2 + 1/2)

Se y = (√x)^x, então:

y’ = (√x)^x* (lnx^1/2 + 1/2)

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Em problemas de taxas relacionadas a ideia é calcular a taxa de variação de uma grandeza em termos da taxa de variação da outra (que pode ser medida mais facilmente). O procedimento é:

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Passo 1: Ache uma equação que relacione as duas

grandezas.

Passo 2: Aplique a Regra da Cadeia para derivar ambos os lados em relação ao tempo.

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TAXAS DE VARIAÇÃO

Exemplo 5: Um balão de ar está sendo bombeado e

seu volume cresce a uma taxa de 100 cm³/s. Quão

rápido o raio do balão cresce quando o diâmetro

for 50 cm?

r

Seja V o volume e

r o seu raio. Pode

ser escrito que:

dV/dt = 100 cm³/s

e se d=50cm(r=25):

dr/dt = ? cm³/s

V

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Para relacionar dV/dt e dr/dt usa-se a esfera e a equação do volume da esfera:

V = 4/3 πr³

Aplicando a Regra da Cadeia (V e r são funções de t):

d(V)/dt = (dV/dr)*(dr/dt) = (3*4/3*π*r²)*(dr/dt)

Isolando dr/dt:

(dr/dt) = (1/(4*π*r²))*(d(V)/dt)

Se r = 25cm e dV/dt = 100cm³/s:

dr/dt = (1/(4*π*(25)²))*(100) = 1/(25*π) = 0,0127 cm/s

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TAXAS DE VARIAÇÃO

Exemplo 6: Uma escada com 5m de comprimento

está apoiada em uma parede vertical. Se a base da

Escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa

de 1m/s, quão rápido o topo da escada escorrega p/

baixo quando a base da escada está à 3m da

parede?

y

x

parede

solo

5 m

dy/dt = ?

dx/dt = 1

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Sejam x e y funções do tempo, e foi dado que dx/dt=1m/s e dy/dt deve ser encontrado para x = 3m. Neste problema, a relação entre x e y é dada pelo Teorema de Pitágoras:

X² + y² = 5²

Derivando em relação à t e usando a Regra da Cadeia:

2x(dx/dt) + 2y(dy/dt) = 0

Isolando dy/dt:

(dy/dt) = -x/y*(dx/dt)

Quando x = 3, dx/dt = 1 e y = 4 (Teorema de Pitágoras):

Logo: dy/dt = (-3/4)*(1) = -3/4 m/s

O sinal - indica que o topo da escada desliza p/ baixo.

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OBRIGADO !!!

FIM !!!

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