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PF60/30 - Didattica della fisica moderna

SECONDA PARTE

Andrea Mari

Università di Camerino – PF30/60 - Didattica della fisica moderna – Seconda Parte

1 CFU (2+3 ore)

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Programma

Università di Camerino – PF30/60 - Didattica della fisica moderna – Seconda Parte

2. Applicazione didattica “Spins package”: simulatore esperimento di Stern-Gerlach

3. I postulati della meccanica quantistica

​

​

4. Applicazione didattica online: simulatore interattivo di un computer quantistico

​

  • Introduzione teorica e storica all’esperimento di Stern-Gerlach

II parte

(3 ore)

I parte

(2 ore)

OGGI

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Programma

Università di Camerino – PF30/60 - Didattica della fisica moderna – Seconda Parte

2. Applicazione didattica “Spins package”: simulatore esperimento di Stern-Gerlach

3. I postulati della meccanica quantistica

​

​

4. Applicazione didattica online: simulatore interattivo di un computer quantistico

​

  • Introduzione teorica e storica all’esperimento di Stern-Gerlach

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Strumenti matematici (definiti in modo informale e non rigoroso)

Università di Camerino – PF30/60 - Didattica della fisica moderna – Seconda Parte

Spazio di Hilbert d-dimensionale:

​

  • Spazio vettoriale formato da tutti i vettori costituiti da d elementi complessi:

�

Nota: concetto molto simile allo spazio euclideo in d dimensioni ma con coordinate complesse.

​

  • Il prodotto scalare fra due vettori e è definito in questo modo:

Nota: come nel caso di vettori reali nello spazio euclideo, il prodotto scalare è grande se i vettori “puntano in direzioni simili” mentre è piccolo se “puntano in direzioni diverse”.

complesso coniugato

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Strumenti matematici (definiti in modo informale e non rigoroso)

Università di Camerino – PF30/60 - Didattica della fisica moderna – Seconda Parte

Norma (modulo) di un vettore:

La norma di un vettore è data dalla radice del prodotto scalare con se stesso:�

​

​

Vettori normalizzati:

Un vettore si dicono normalizzato se

​

​

Vettori ortogonali:

Due vettori e si dicono ortogonali se = 0.

​

​

Operatore lineare nello spazio di Hilbert:

Operazione che corrisponde alla moltiplicazione di un vettore per una matrice

A (con elementi complessi):

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Strumenti matematici (definiti in modo informale e non rigoroso)

Università di Camerino – PF30/60 - Didattica della fisica moderna – Seconda Parte

Operatore lineare hermitiano :

(cioè )

​

​

Teorema spettrale (definizione informale):

Per ogni operatore lineare hermitiano A, esistono:

​

  • d autovettori normalizzati e ortogonali fra loro

​

  • d autovalori reali

​

tali che:

​

​

​

​

Nota: gli autovettori non sono ruotati da A ma solo riscalati per un fattore .

Base dello spazio di Hilbert privilegiata rispetto ad A

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Strumenti matematici (definiti in modo informale e non rigoroso)

Università di Camerino – PF30/60 - Didattica della fisica moderna – Seconda Parte

A è una matrice hermitiana

Esempio

Autovettori

Autovalori

  • Rispetto agli assi cartesiani

​

A agisce in modo non banale (riflessione rispetto alla bisettrice).

​

  • Nel sistema di riferimento privilegiato degli autovettori, A agisce come una semplice inversione della coordinata lungo l’asse

Esistono 2 autovalori reali

2 autovettori ortogonali tali che:

Interpretazione geometrica

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Postulato 1�Lo stato di un sistema fisico a d livelli, è completamente caratterizzato da un vettore normalizzato ( ) nello spazio di Hilbert di dimensione d.

​

​

I versori corrispondono a stati (ortogonali) perfettamente distinguibili tra loro.

​

​

(tramite un’opportuna misura del sistema)

​

​

​

  • Uno stato generico rappresenta quindi una sovrapposizione quantistica di stati distinguibili.

​

  • Gli elementi complessi del vettore si dicono ampiezze.

​

  • Implicazione fisica importante (principio di sovrapposizione): �

Se e sono due stati possibili di un sistema fisico, allora lo è anche

Nota: lo stesso principio vale per il concetto di “onda” in fisica classica.

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Esempio: �Un atomo di argento dell’esperimento di Stern-Gerlach può avere solo due

magnetizzazioni lungo l’asse z corrispondenti a due valori distinti dello spin:

​

(SPIN UP) e (SPIN DOWN)

z

ampiezza spin up

​

​

ampiezza spin down

Stato quantistico generico (postulato 1):

2 stati perfettamente distinguibili tramite l’apparato di Stern-Gerlach

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Postulato 2�A ogni quantità fisica “A” misurabile sperimentalmente (osservabile), corrisponde una matrice Hermitiana A.

​

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​

​

Esempio: �Si può dimostrare che, per un atomo di Stern-Gerlach, alle quantità osservabili corrispondono le

seguenti matrici:

​

​

​

Osservabile =

spin lungo l’asse z

Osservabile =

spin lungo l’asse y

Osservabile =

spin lungo l’asse x

  • Due matrici, a differenza di due scalari (“numeri”), in generale non commutano. Per esempio:

​

Implicazione fisica importante: le misure quantistiche non commutano!

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Postulato 3�In una singola misura di una quantità osservabile A, i soli risultati possibili sono gli autovalori di A.

​

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​

​

Corrispondono ai due picchi osservati nell’esperimento di Stern-Gerlach!

z

x

y

Implicazione fisica importante:

​

Per un sistema fisico il cui spazio di Hilbert ha dimensione finita (d=2 per particelle con spin ½ ),

tutte le grandezze fisiche osservabili sono quantizzate (solo d autovalori)

​

Quindi non solo l’energia (come previsto da Planck) o il momento angolare (come previsto da Bohr).

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Esempio: �Si può dimostrare che gli autovalori delle matrici di spin

​

​

​

sono i seguenti:

Corrispondono ai due picchi osservati nell’esperimento di Stern-Gerlach!

z

x

y

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Postulato 4�In una misura dell’osservabile A, la probabilità di ottenere come risultato l’autovalore è data dal modulo quadro del prodotto scalare fra l’autovettore corrispondente e lo stato del sistema :

​

​

​

​

​

​

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​

​

Esempio: �Si può dimostrare che gli autovettori delle matrici di spin

​

​

sono i seguenti:

[per semplicità assumiamo autovalori distinti]

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Postulato 5�In una misura dell’osservabile A, qualsiasi sia lo stato iniziale, lo stato finale cambia (“collassa”) nell’autovettore associato al risultato :

​

​

​

​

​

​

​

​

​

Postulato più paradossale e filosoficamente controverso di tutta la teoria quantistica

​

  • E’ impossibile osservare un sistema fisico senza perturbare il suo stato.

​

  • Il processo di misura è irreversibile: lo stato iniziale è distrutto. L’informazione iniziale è cancellata per sempre dall’universo*! [*Potrebbe persistere in universi paralleli secondo l’interpretazione “many worlds”]

​

  • Chi è l’autore di una misura quantistica? Essere umano / apparato sperimentale / detector / fotone ?

​

Il problema della misura riguarda la cosiddetta interpretazione (filosofica) della meccanica quantistica.

​

Non c’è nessun problema, invece, se la teoria è usata come una mera “ricetta matematica” utile per calcolare i risultati di esperimenti. (Interpretazione di Copenhagen)

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Esempio: Misure consecutive dello spin lungo gli assi Z, X, e Z.

x

z

z

?

?

Stato di input

ignoto e random

  • Probabilità di misurare nella prima misura è 50% perchè lo stato di input è random.

​

  • Probabilità di misurare nella seconda misura è 50% perchè lo stato iniziale è e

​

​

  • Probabilità di misurare nella terza misura è 50% perchè lo stato iniziale è e

​

collasso dello stato

collasso dello stato

collasso dello stato

collasso dello stato

Incertezza statistica Dovuta all’ignoranza dell’osservatore

Incertezza quantistica!�

Nonostante lo stato

iniziale sia

perfettamente noto all’osservatore

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Postulato 6�Sia H, l’operatore hermitiano associato all’energia del sistema fisico. L’evoluzione temporale dello stato quantistico

soddisfa la seguente equazione differenziale, nota come equazione di Schrödinger :

​

​

​

​

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​

​

  • L’equazione di Schrödinger preserva la normalizzazione dello stato, cioè
  • L’equazione di Schrödinger è lineare e reversibile. Può essere utilizzata per descrivere l’evoluzione di un sistema isolato (mentre non è osservato).

​

​

  • L’evoluzione temporale indotta da un processo di misura (cioè il collasso dello stato) è l’unico processo fisico che non obbedisce all’equazione di Schrödinger ma si comporta come descritto dal postulato 5.
  • Qualsiasi operazione fisica (per un sistema isolato) è descritta da una matrice unitaria (cioè tale che )

​

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Esempio: �Si può dimostrare che l’energia di un sistema magnetico soggetto a un campo magnetico B uniforme e diretto lungo l’asse z è:

(Effetto bussola: energia è minima quando il momento magnetico è allineato al campo)

  • Se misuro le probabilità non cambiano.
  • Se misuro le probabilità oscillano alla frequenza di Larmor.

Nota: queste oscillazioni sono alla base del funzionamento

della risonanza magnetica nucleare �(in quel caso lo spin non è degli elettroni ma dei nuclei)

(Lezione precedente: legame fra momento magnetico e spin)

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Verifica dell’equazione di Schrödinger tramite l’apparato di Stern-Gerlach: �Le oscillazioni di Larmor di uno spin ½ soggetto a un campo magnetico sono misurabili con il seguente esperimento.

x

?

x

Campo uniforme

Esperimento disponibile anche nell’applicazione “Spin Package”.�Cliccare su “Spin Precession”.

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Commenti su postulati della meccanica quantistica

  • Da un punto di vista matematico, la teoria quantistica è molto semplice ed elegante.

​

  • A parte la difficoltà di lavorare con numeri complessi, i concetti matematici necessari (vettore, prodotto scalare) sono semplici e già noti agli studenti di un Liceo Scientifico.

​

  • Tutti i fenomeni “strani” e contro-intuitivi tipici della fisica quantistica sono spiegati con successo dalla teoria.

​

MA…

​

  • Nonostante la teoria matematica sia chiara e semplice la sua interpretazione fisica continua a sfidare il senso comune. La nostro “senso comune” abituato alla fisica classica e si trova in difficoltà con:
  • Sistemi in sovrapposizione quantistica
  • Proprietà fisiche non definite prima della misura
  • Principio di indeterminazione
  • Problema della misura
  • Interferenza di una singola particella “con se stessa”
  • Entanglement

“Whatever is worth saying, can be stated in fifty words or less.”� Stanislaw Ulam

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Source:

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Source:

Concezione comune

Realtà

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Programma

Università di Camerino – PF30/60 - Didattica della fisica moderna – Seconda Parte

2. Applicazione didattica “Spins package”: simulatore esperimento di Stern-Gerlach

3. I postulati della meccanica quantistica

​

​

4. Applicazione didattica online: simulatore interattivo di un computer quantistico

​

  • Introduzione teorica e storica all’esperimento di Stern-Gerlach

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Fare operazioni matematiche tramite un modello astratto…

per dedurre il comportamento di un

sistema fisico

Che cos’è la fisica?

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Fare operazioni matematiche tramite un modello astratto…

Che cos’è un computer?

per dedurre il comportamento di un

sistema fisico

Osservare il comportamento di un sistema fisico…

per fare operazioni matematiche�definite su un modello astratto

Che cos’è la fisica?

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0101 + 1001 = 1110

(5) (8) (13)

Esempio: calcolare 5+8

​

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0101 + 1001 = 1110

(5) (8) (13)

Esempio: calcolare 5+8

​

01 10 00 11

Modello astratto

0 1 1 1 0

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0101 + 1001 = 1110

(5) (8) (13)

Esempio: calcolare 5+8

​

01 10 00 11

Modello astratto

0 1 1 1 0

Dispositivo fisico A: chip elettronico

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0101 + 1001 = 1110

(5) (8) (13)

Esempio: calcolare 5+8

​

Steve Mould, I Made A Water Computer And It Actually Works, Youtube 2021

01 10 00 11

Modello astratto

0 1 1 1 0

Dispositivo fisico A: chip elettronico

https://youtu.be/IxXaizglscw?t=666

Dispositivo fisico B: circuito idraulico

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Che cos’è un computer quantistico?

Un computer quantistico è sistema fisico che esegue calcoli sfruttando

intenzionalmente le leggi della meccanica quantistica.

Input:

dati classici

Output:�dati classici

Operazioni

fisiche

Misura dello stato

finale

Sistema fisico quantistico

01 10 00 11

0 1 1 1 0

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Prototipi di computer quantistici esistono oggi

  • Atomi

​

​

​

​

​

  • Circuiti

superconduttori

​

​

​

​

​

  • Fotoni

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In meccanica quantistica (e in computazione quantistica) è molto comune indicare un vettore nello spazio di Hilbert usando la notazione alla Dirac :

Vettore nello spazio di Hilbert:

Prodotto scalare fra due vettori:

Decomposizione del vettore nella base naturale dello spazio di Hilbert:

Versore nello spazio di Hilbert:

Notazione “alla Dirac”

​

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Bit classico

Bit: b = 0 oppure 1

Lettura del risultato�è deterministica

Lo stato di un bit non cambia se viene letto

Operazioni (a singolo bit): �b —> b’

Il modello computazionale di un computer quantistico

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Il modello computazionale di un computer quantistico

Bit classico

Bit: b = 0 oppure 1

[Principio di sovrapposizione]

Lettura del risultato�è deterministica

Lo stato di un bit non cambia se viene letto

[Regola di Born]

[Collasso della � funzione d’onda]

Operazioni (a singolo bit): �b —> b’

[Eq. di Shrödinger]

Principi fisici

Qubit:

Qubit: il bit quantistico

La lettura è binaria e non-deterministica:

0 con probabilità

​

1 con probabilità

​

Lo stato di un qubit collassa in |0> oppure in |1>, se viene letto.

Operazioni (a singolo qubit):

​

tale che è normalizzato

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Esempi di qubit

z

Lo spin di un singolo atomo di argento dell'esperimento di Stern-Gerlach è un qubit!

Ogni sistema fisico che può essere preparato in due stati distinti (ortogonali) e in una loro sovrapposizione è un qubit

atomo con elettrone

nel livello B

atomo con elettrone

nel livello A

Per esempio:

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Confronto fra un qubit e un bit probabilistico.

Bit probabilistico

Vettore probabilità: p = [ p_0, p_1 ]

Qubit:

Qubit: il bit quantistico

La lettura è binaria e non-deterministica:

​

La lettura è binaria e non-deterministica:

0 con probabilità

​

1 con probabilità

​

Lo stato di un qubit collassa in |0> oppure in |1>, se viene letto.

Operazioni (a singolo bit): �p —> p’ tale che p’ è normalizzato

Operazioni (a singolo qubit):

​

p_0 + p_1 = 1

0 con probabilità p_0

​

1 con probabilità p_1

​

Lo stato p di un bit collassa in p_0 = [1, 0] oppure in p_1 = [0, 1], se viene letto.

tale che è normalizzato

probabilità associate a

b=0 e b=1.

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Modello matematico di un computer classico probabilistico con n bit

Stato computazionale = vettore di probabilità

T è una matrice stocastica: elementi positivi e preserva || . ||_1

​

La lettura dello stato finale produce è una stringa di bit z estratta da:

Evoluzione

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Modello matematico di un computer quantistico con n qubit

​

Stato computazionale = vettore di numeri complessi

​

U è una matrice unitaria. U ha elementi complessi e preserva || . ||_2

La lettura dello stato finale produce è una stringa di bit z estratta da:

​

Evoluzione

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Perchè il modello quantistico è “più potente” di quello classico?

Perché le ampiezze interferiscono fra loro, le probabilità no.

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Schema di molti algoritmi quantistici

Preparare una sovrapposizione coerente

di tutti i possibili input

Indurre interferenza

costruttiva del

“risultato giusto”

Misurare lo

stato finale

bad

bad

…

good

bad

|00…0>

​

|00…1>

​

|11…0>

|11…1>

….

Computazione parallela

11…0

|00…0>

|11…0>

Questo passo è impossibile

con un computer classico

​

Perchè il modello quantistico è “più potente” di quello classico?

Perché le ampiezze interferiscono fra loro, le probabilità no.

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Una premessa importante

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I computer quantistici possono risolvere velocemente solo alcuni problemi specifici

I computer classici non saranno mai rimpiazzati da computer quantistici!

​

​

quindi…

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Attenzione alle notizie sensazionalistiche!

(2023)

(2014)

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Esempio: l’algoritmo di Shor

Dato un numero naturale N = p q che è il prodotto di due fattori primi (p e q), trovare p and q.

Il problema della fattorizzazione di un intero

Il migliore algoritmo classico conosciuto richiede poly(N) operazioni.

​

Complessità computazionale

L’algoritmo quantistico di Shor richiede log(N) operazioni!

Vantaggio quantistico esponenziale!

10^14 anni —> 10 secondi*

Esempio:�N = sequenza di 2048 bit

*https://www.quintessencelabs.com/blog/� breaking-rsa-encryption-update-state-art

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Programma

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  • Semplice introduzione alla meccanica quantistica tramite l'approccio computazionale:�THE BASICS OF QUANTUM MECHANICS, Nicolai Lang, 2023.

https://thequantumlaend.de/basic-tutorial/

​

  • Simulatore online interattivo di circuiti quantistici:�QUANTUM CIRCUIT SIMULATOR, The Quantum Länd, University of Stuttgart, Germany.�https://thequantumlaend.de/quantum-circuit-designer/

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Computazione quantistica con un singolo qubit

Stato di generico del qubit:

(primo postulato)

Stato iniziale

sempre lo stesso:

Esempio: atomo nello stato “SPIN UP” lungo asse Z, � oppure elettrone nello stato “ECCITATO”.

  • Applicazione di un certo numero di operazioni elementari (gates/porte logiche)

gates

I gates sono operazioni elementari che il computer può applicare e corrispondono a matrici 2X2 unitarie

​

[che preservano la normalizzazione]

Lo stato finale si ottiene moltiplicando il vettore iniziale per

le matrici 2X2 corrispondenti ad ogni gate.

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Esempi di porte logiche per un singolo qubit

Matrici unitarie 2X2

​

Corrispondono a diverse evoluzioni temporali descritte dall’equazione di Schrödinger

Esempio: per uno spin corrispondono a diversi impulsi magnetici

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Computazione quantistica con un singolo qubit

Stato di generico del qubit:

(primo postulato)

Stato iniziale

sempre lo stesso:

Esempio: atomo nello stato “SPIN UP” lungo asse Z, � oppure elettrone nello stato “ECCITATO”.

  • Applicazione di un certo numero di operazioni elementari (gates/porte logiche)

gates

  • Misura del qubit nella base “Z”. Risultato:

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Esempio fisico di misura nella base Z

Esempio fisico di computazione completa (per un singolo qubit)

…

X H … S

bit 0

bit 1

bit 0

bit 1

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Problema numero 1

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  • Generare numeri intrinsecamente random con un computer quantistico

Soluzione:

Con settaggio del numero di misure uguale a 1 (shots=1)

Risultato delle misure: “0” oppure “1” entrambi con probabilità 50%

Gate Hadamard ruota |z+> in |x+> (cioè |0> in (|0> + |1>)/√2)

Misura

nella base z

(cioè osservabile i cui autovettori sono� {|0> , |1>}

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Problema numero 2

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  • Distinguere una sovrapposizione coerente (incertezza quantistica)

da una incertezza classica

H H

|0> —--> (|0> + |1>)/√2) —--> |0>

Genera incertezza quantistica

(come visto nell’esempio precedente)

Inverte la prima operazione

e quindi rimuove l’incertezza quantistica

  • L’incertezza classica non è invertibile: se non conosco lo stato di una moneta se la ruoto continuo a non conoscerlo.

​

  • Tutte le operazioni quantistiche invece sono unitarie e quindi invertibili (a parte un processo di misura)

Soluzione:

Risultato delle misure: sempre “0”

(poichè lo stato è tornato in un autostato della misura finale)

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Riassunto di tutto il programma svolto

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2. Applicazione didattica “Spins package”: simulatore esperimento di Stern-Gerlach

3. I postulati della meccanica quantistica

​

​

4. Applicazione didattica online: simulatore interattivo di un computer quantistico

​

  • Introduzione teorica e storica all’esperimento di Stern-Gerlach

II parte

(5 Giugno)

I parte

(25 Maggio)

"I think I can safely say that nobody understands quantum mechanics."� Richard Feynman

Link con tutto il materiale didattico: https://sites.google.com/site/andreamari84/teaching-didattica?authuser=0