1. Лема про властивість прямої, яка паралельна стороні трикутника

Пряма, паралельна стороні трикутника, відтинає від нього трикутник подібний даному.

1. Лема про властивість прямої, яка паралельна стороні трикутника

2. Ознака подібності трикутників за двома сторонами й кутом між ними

Теорема 1. Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого й кути, утворені цими сторонами, між собою рівні, то трикутники подібні.

Наслідки

Прямокутні трикутники подібні, якщо катети одного з них пропорційні катетам другого

Якщо кут при вершині одного рівнобедреного трикутника дорівнює куту при вершині другого рівнобедреного трикутника, то ці трикутники подібні

3. Ознака подібності трикутників за двома кутами

Теорема 2. Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам другого трикутника, то ці трикутники подібні.

Наслідки

Рівносторонні трикутники подібні

Якщо кут при основі одного рівнобедреного трикутника дорівнює куту при основі другого рівнобедреного трикутника, то ці трикутники подібні

Якщо гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнює гострому куту другого прямокутного трикутника, то ці трикутники подібні

Сторони паралелограма дорівнюють 15 см і 10 см, а висота проведена до більшої сторони, - 8 см. Знайти висоту, проведену до меншої сторони.

Розв’язання

Нехай ABCD – паралелограм. AD = 15 см, AB = 10 см, BM – 8 см – висота паралелограма.

Приклад 1.

3. Ознака подібності трикутників за трьома сторонами

Теорема 3. Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам другого, то ці трикутники подібні.

Сторони одного трикутника 9 см, 15 см і 18 см, а сторони другого трикутника відносяться як 3 : 5 : 6. Чи подібні ці трикутники?

Приклад 2.

13.1.

(Усно.)

За яких умов два трикутники подібні:

1) у трикутників є спільний кут;

2) два кути одного трикутника дорівнюють двом кутам другого;

3) дві сторони одного трикутника дорівнюють двом сторонам другого?

13.2.

3) AB = 3DE, BC = 3EF;

№13.4.

№13.6.

№13.8.

№13.10.

№13.12. На малюнках знайдіть подібні трикутники та доведіть їхню подібність.

№13.15. O – точка перетину діагоналей трапеції ABCD, у якої AB ‖ CD, AB = 10 см, CD = 5 см, OD = 4 см. Знайдіть OB.

№13.17.

№13.19. Кут при основі одного рівнобедреного трикутника дорівнює куту при основі другого рівнобедреного трикутника. Периметр першого трикутника – 36 см. Знайдіть його сторони, якщо в другого трикутника бічна сторона відноситься до основи як 5 : 2.

№13.21. На малюнку зображено колодязь із «журавлем». Коротке плече має довжину 2 м, а довге – 3 м. На скільки метрів опуститься кінець довгого плеча, коли кінець короткого підніметься на 1 м?

№13.22. На малюнках ABCD – паралелограм. Знайдіть на цих малюнках усі пари подібних трикутників і доведіть їхню подібність.

№13.22. На малюнках ABCD – паралелограм. Знайдіть на цих малюнках усі пари подібних трикутників і доведіть їхню подібність.

№13.22. На малюнках ABCD – паралелограм. Знайдіть на цих малюнках усі пари подібних трикутників і доведіть їхню подібність.

№13.24.

№13.28.

O – точка перетину діагоналей трапеції ABCD (AD ‖ BC), BO = 4 см, DO = 7 см. Знайдіть основи трапеції, якщо її середня лінія дорівнює 22 см.

№13.30.

1) Чи подібні трикутники ABC і KPC?

У трикутнику ABC AB = 9 см, BC = 12 см, AC = 18 см. На стороні AC відкладено відрізок CK = 6 см, на стороні BC – відрізок CP = 4 см.

2) Чи паралельні прямі AB і KP?

3) Знайдіть довжину відрізка KP?

№13.31.

Пряма MN паралельна стороні AB трикутника ABC, M ∊ AC, N ∊ BC. AB = 10 см, MN = 4 см, MA = 2 см. Знайдіть довжину сторони AC.

№13.33. Знайдіть відстань від подорожнього B, який стоїть на одному березі річки, до дерева A на іншому березі, якщо BN = 30 м, CD = 20 м, BC = 5 м. На малюнку BN ‖ CD.

№13.34. На малюнку знайдіть подібні трикутники та доведіть їхню подібність.

№13.36. Дано два рівнобедрених трикутники. Кут при вершині одного з них дорівнює куту при вершині другого. Периметр першого трикутника дорівнює 90 см. Знайдіть його сторони, якщо сторони другого трикутника відносяться як 4 : 7. Скільки випадків слід розглянути?

Відповідь: 20 см, 35 см, 35 см; 24 см, 24 см, 42 см.

№13.38.

№13.43. Периметр паралелограма дорівнює 24 см, а його висоти відносяться як 5 : 3. Знайдіть сторони паралелограма.

№13.45.

У трикутник ABC вписано ромб AKFP так, що кут A в них спільний, P ∊ AB, F ∊ BC, K ∊ AC. Знайдіть сторону ромба, якщо CK = 4 см, PB = 9 см.

№13.46.

У рівнобедрений трикутник, основа якого дорівнює 6 см, а бічна сторона – 10 см, вписаного коло. Знайдіть відстань між точками дотику кола до бічних сторін.

Відповідь: 4,2 см.

1

2

3

4

5

6

Ваш настрій після уроку...