CHAPITRE 1:
THEOREMES GENERAUX
ET
ANALYSE DES CIRCUITS
Courant continu
Par définition, l’intensité du courant à travers une surface S est égale à la charge électrique qui traverse la section S pendant un instant (Ʈ) :
Où:
Q : représente la quantité de charges ( en coulanb C) traversant S pendant Ʈ( en seconde (S)).
I : représente le courant continu en ampère (A).
Donc le courant continu est un courant électrique dont la tension est indépendante du temps. Il est totalement constant en direction (voir fig. ci-dessous) et en amplitude.
Remarques:
- les électrons se déplacent toujours dans le même sens.
- Le courant continu, peut être considérer, comme un courant périodique dont la composante continue constitue l’essentielle de la puissance, ou plus globalement un courant électrique qui circule continuellement (ou très majoritairement) dans le même sens.
Les principales sources de courant continu sont :
- certains générateurs comme des piles, des batteries d’accumulateurs, des panneaux solaires (photo voltaïque).
- Les machines à courant continu ;
- La tension alternative issue du secteur est transformée en courant continu après redressement et filtrage.
Rappels sur les dipôles
Le dipôle électrique est un composant électrique possédant deux bornes.
Par exemple, les lampes, les interrupteurs, les générateurs, les piles, les diodes, les résistances et les moteurs sont des dipôles. On distingue en général deux sortes de dipôles selon l’énergie mise en jeu :
Les générateurs ou dipôles actifs qui peuvent produire du courant électrique pour alimenter les circuits.
Les récepteurs ou les dipôles passifs qui reçoivent le courant électrique et ils le transforment en une autre forme d’énergie (thermique, mécanique……).
Générateur
Un générateur électrique est un système transformant une énergie quelconque en énergie électrique.
Exemples des Symboles d'un générateur de tension:
Un générateur de tension idéal :
Un générateur de tension idéal délivre une tension indépendante du courant débité c-à-d:
Cette tension représente la force électromotrice (f.e.m.) du générateur.
Générateur de tension réel
Un générateur réel est modélisé par un générateur idéal en série avec sa résistance interne. En convention générateur, la caractéristique statique tension-courant du générateur de tension réel devient: V = vA - vB = e - r i. La résistance interne induit une chute de tension.
Générateur de courant réel
Cette relation représente la loi des nœuds au point A et B, d’où le schéma équivalent du générateur de courant réel.
Le générateur de courant est, donc, équivalent à une source de courant interne I0 et d’une résistance interne r’.
Générateur de courant idéal
Un générateur de courant idéal délivre un courant I de la tension au borne du générateur, cela impose une résistance interne de valeur très grande d’où:
I = I0 (vA-vB).
Association des générateurs de tensions en série
La tension aux bornes du circuit est donnée par l’expression suivante :
V = vA - vB
= (E1 – r1I) + (E2 – r2I) +(E3 – r3I) +….+(En – rnI)
= ( E1 + E2 + E3+….+En ) – ( r1 + r2 + r3+…..+rn ) I
=Eeq – ReqI
Association des générateurs de tensions en parallèle
V = vA - vB = (E1 – r1I1) = (E2 – r2I2) = (E3 – r3I3) = ….= (En– rnI)= Eeq - ReqI
avec I = I1 + I2 + I3…..In
D’où I = [E1- (vA - vB)] / r1+ [E2- (vA - vB)] / r2+
[E3-(vA-vB)] / r3 + ….[En- (vA - vB)] / rn.
= (E1/r1 + E2/r2 + E3/r3…. + En/rn) – (vA - vB)( 1/ r1
+ 1/ r2 + 1/ r3 +…..+1/ rn)
=I0eq - (vA - vB)] / Req
Avec 1/ Req = 1/ r1 + 1/ r2 + 1/ r3+…+1/ rn
et I0eq = E1/r1 + E2/r2 + E3/r3+….+ En/rn.
D’où I = I0eq – (vA-vB)/Req
Théorèmes généraux
1-Loi d’Ohm généralisée: Par hypothèse, soit (AB) une portion d’un circuit, où le courant I circule de A vers B.
Si (AB) contient une résistance, on vA-vB = RI,
Si (AB) contient un générateur, on a vA-vB = rI – E,
Si (AB) contient un récepteur, on a vA-vB = E’ + r’I,
Si (AB) contient une résistance, un générateur et un récepteur, on a vA-vB = RI + rI - E + E’ + r’I = (R + r + r’)I + (E’ – E). D’une manière générale on a:
Cette loi est appelée: loi d’ohm généralisée
2-Loi de Pouillet : Cette loi représente la loi d’ohm généralisée pour un circuit fermé contenant des conducteurs sans dérivation.
Donc la loi de Pouillet est donnée par:
3-Lois de Kirchhoff; Les lois de Kirchhoff sont des propriétés physiques qui s'appliquent sur les circuits électriques. Elles sont représentées par deux lois:
La loi des Nœuds et La loi des mailles
Loi des Nœuds :
La somme des courants qui entrent au nœud est égale à la somme des courant qui sortent du nœud : i2 + i3 = i1 + i4
Cette formule peut aussi être présentée comme ceci:
i2 + i3 -i1 - i4 =0 c’est la loi des Noeuds
Loi des mailles :
Si on suit le sens de la maille, on aura la relation suivante:
+V1 +( -V2 )+( -V3 )+( -V4 )= 0
Cette formule peut aussi être présentée comme ceci:
V1 - V2 - V3 - V4 = 0 c’est la loi des mailles
4-Pont diviseur
1-Pont diviseur de tension: Il permet de déterminer une tension proportionnellement à une autre tension:
Exemple sur un montage composé de deux résistance en série:
Vcc = (R1 + R2 ) I et Va = R2I d’où
Représente l’équation du P.D.T.
Pont diviseur de courant
Un diviseur de courant, c'est un montage électronique qui permet d'obtenir un courant d'une valeur proportionnelle à un autre courant.
Vcc = R1I1 = R2I2 et I = I1 + I2
I = I1 + ( R1/R2)I1 et I = I2 + (R2/R1)I2
I = [( R1+R2)I1]/R2 = [( R1+R2)I2]/R1
I1 = (R2/ R1+R2)I et I2 = (R1/ R1+R2)I. Représente le pont diviseur de courant.
5-Théorème de Thévenin
Le théorème de Thévenin sert à modéliser des circuits électriques complexes et à les réduire en circuits électriques très simples.
Calculer ETh : ETh = VA-VB lorsque le courant qui circule dans le dipôle AB est nul.
Calculer RTh : RTh représente la résistance équivalente de toutes les résistances qui se trouvent entre les bornes AB du dipôle à modéliser lorsque toutes les tensions du réseau sont nulles.
6-Théorème de Norton
Tout sous réseau d'un réseau peut être remplacé par un générateur de courant et une résistance en parallèle avec ce générateur (IN,RN).
Comment modéliser le générateur de Norton ?
1- Pour déterminer la résistance, on annule toutes les sources du réseau 1 et on détermine la résistance équivalente vu des deux bornes du réseau.
2- Pour calculer le générateur de courant équivalent il suffit de calculer le courant de court-circuit circulant entre les deux bornes du réseau.
Remarque:
Le théorème de Norton représente la transformation duale de celle de Thévenin. La source de tension est remplacée par une source de courant .
l
7- THEOREME DE KENNELY :
Le théorème de Kennely permet de passer d'un schéma électrique sous forme triangulaire à un schéma en étoile et inversement.
Avec la transformation suivante:
Ra = (Rab * Rac)/ (Rab + Rbc + Rac)
Rb = (Rab * Rbc)/ (Rab + Rbc + Rac)
Rc = (Rac * Rbc)/ (Rab + Rbc + Rac)
Formule réciproque :
à partir d'un schéma en étoile on peut également trouver le schéma en triangle correspondant avec les formules suivantes:
Rac = (Ra * Rb + Ra * Rc + Rb * Rc)/ (Ra + Rb + Rc).
Rab = (Ra * Rb + Ra * Rc + Rb * Rc)/ (Ra + Rb + Rc).
Rbc = (Ra * Rb + Ra * Rc + Rb * Rc)/ (Ra + Rb + Rc).
7- Théorème de superposition:
Principe:
Lorsqu’on a un circuit ne comportant que des dipôles linéaires et plusieurs sources, la tension entre deux points (respectivement le courant dans une branche) est égal à la somme algébrique des tensions (respectivement des courants) que l’on obtient en faisant agir séparément chacune des sources indépendantes du circuit. Les autres sources indépendantes sont alors annulées.
Exemple: calculons le courant I qui circule dans la résistance R3:
1ère étape: effet de V1 sur le circuit (V2=0v)
Calculons le courant I01 qui circule dans la résistance R3
2ème étape: effet de V2 sur le circuit (V1=0v)
Calculons le courant I02 qui circule dans la résistance R3
3èmeétape: superposition des deux circuits précédents
I = I01 + I02
8- Théorème de Millman:
Le théorème de Millman s'applique à un circuit électrique constitué de n branches en parallèle. Chacune de ces branches comprenant un générateur de tension parfait en série avec un élément linéaire (résistance par exp.)
D’après Millman le circuit précédent est remplacé par un seul générateur équivalent parfait EM en série avec un élément équivalent linéaire ZM.
Avec
Courants alternatif et sinusoïdal
1- Définition d’un courant alternatif : Un courant alternatif est un courant électrique périodique qui change de sens 2 fois par période et qui transporte des quantités d’électricité alternativement égales dans les 2 sens.
Exemple:
i(t) =f(t) =f(t+T)
avec f=1/T
2- Définition d‘un courant sinusoïdal : Un courant alternatif est sinusoïdal, lorsque son intensité est une fonction sinusoïdale du temps, c-à-d, c’est un courant qui change régulièrement de sens et de valeur.
D’une manière générale:
Exemple: i(t) = Im sin(wt)
Définition de la valeur efficace d’un courant alternatif:
Dans le cas d’un courant alternatif sinusoïdale sa valeur efficace est donnée par :
Représentation de Fresnel
La construction de Fresnel permet de représenter une grandeur sinusoïdale par un vecteur tournant. A chaque instant la grandeur sera égale à la projection du vecteur qui la représente sur l'axe de référence.
Remarque importante: La méthode de Fresnel permet d’effectuer la somme de deux ou plusieurs grandeurs sinusoïdales de même pulsation w. Exemple:
avec x = x1 + x2 où x représente la projection du vecteur sur l’axe des x.
Notation complexe du courant et de tension
Soit un circuit simple alimenté par une tension variable v(t) = Vm cos(wt) et parcouru par un courant
On notation complexe on a:
Loi d’ohm généralisée en courant alternatif sinusoïdal
1- Pour une résistance R:
2- Pour une bobine d’inductance L:
3- pour un condensateur de capacité C:
Puissance électrique
Définition: La puissance électrique correspond au travail que peut fournir un appareil électrique à chaque seconde, c’est-à-dire, elle indique la quantité d'énergie qu'un appareil peut transformer durant une période de temps.
1- Puissance instantanée:
A chaque instant l’impédance Z consomme l’énergie P(t):
La valeur moyenne de la puissance électrique est donnée par :
Donc la puissance consommée par Z est donnée par:
2- Puissance active : Elle désigne la puissance effective liée à l’énergie électrique qui peut être convertie par le récepteur sous une autre forme d’énergie (mécanique, thermique,……etc). Elle est définie par :
3-Puissance réactive :
Elle est liée à l’énergie emmagasinée durant 1 /4 de période dans la self et le condensateur du récepteur, puis entièrement restituée au réseau au cours d’autre 1 /4 de période. C’est une énergie qui n’est donc pas consommée par la charge, elle est définie par :
4-Puissance apparente : Elle représente la puissance maximale qui peut atteindre la puissance active, c-à-d
: représente le facteur de puissance.
D’où:
Relation entre puissance et énergie en régime permanent:
L'apport d'énergie électrique est proportionnel à la quantité d’électricité: