Analisis Regresi
Tingkat Lanjut
Section 2 — Regresi Nonlinier: Model, Estimasi, dan Aplikasi
44 slide • definisi • formulasi • algoritme iteratif • contoh aplikasi
Benang merah section
I Gede Nyoman Mindra Jaya
S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
Peta Pembelajaran Section 2
SECTION 2
02
• Membedakan linearitas terhadap prediktor dan linearitas terhadap parameter.�• Membangun model nonlinear dari mekanisme substantif, bukan sekadar bentuk kurva cantik.�• Menurunkan NLS, likelihood normal, Jacobian, Gauss–Newton, dan Levenberg–Marquardt.�• Mengevaluasi inferensi, diagnostics, goodness-of-fit, serta pelaporan analisis.
Alur besar
Contoh aplikasi
Contoh alur: pilih model logistik untuk pertumbuhan, estimasi parameter, cek residual, lalu interpretasi kapasitas maksimum.
Model
Estimasi
Algoritme
Aplikasi
Nonlinear regression itu bukan “linear regression yang lagi mood swing”; struktur parameternya memang berbeda.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
02
Capaian Pembelajaran
SECTION 2
03
• Menjelaskan model nonlinear dan perbedaannya dari transformasi linear.�• Menentukan starting values berdasarkan konteks data dan grafik awal.�• Menulis fungsi objektif, likelihood, Jacobian, serta update parameter.�• Melaporkan estimasi, interval, diagnostics, dan keterbatasan model secara akademik.
Kompetensi
Contoh aplikasi
Mahasiswa tidak hanya menjalankan nls(), tetapi memahami mengapa algoritme bisa gagal atau konvergen ke solusi lokal.
Output software boleh cepat; pemahaman tidak boleh “loading” terlalu lama.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
03
Linear terhadap X vs Linear terhadap Parameter
SECTION 2
04
• Model polynomial dapat nonlinear terhadap x tetapi tetap linear terhadap parameter β.�• Model nonlinear memiliki parameter yang masuk secara nonlinear, misalnya di eksponen atau penyebut.�• Perbedaan ini menentukan ada atau tidaknya solusi tertutup OLS.�• Nonlinearitas parameter biasanya memerlukan optimisasi numerik.
Perbedaan inti
Contoh aplikasi
Polinomial kuadratik masih bisa diestimasi dengan lm(); model eksponensial biasanya memakai nls() atau optimisasi likelihood.
Linear β
Nonlinear θ
Optimisasi
Kuncinya: lihat parameter masuk bagaimana, bukan hanya bentuk grafiknya.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
04
Motivasi: Fenomena Tidak Selalu Linear
SECTION 2
05
• Pertumbuhan organisme sering melambat mendekati kapasitas maksimum.�• Respons obat dapat mengalami saturasi saat dosis bertambah.�• Produksi ekonomi sering menunjukkan diminishing returns.�• Model nonlinear memberi parameter yang langsung merepresentasikan mekanisme ilmiah.
Motivasi
Contoh aplikasi
Epidemiologi: laju kenaikan kasus dapat cepat di awal lalu melandai karena intervensi atau batas populasi rentan.
Jika fenomenanya melengkung karena mekanisme, jangan dipaksa lurus hanya supaya nyaman.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
05
Definisi Model Regresi Nonlinear
SECTION 2
06
• Respons dinyatakan sebagai fungsi nonlinear dari prediktor dan parameter.�• Error aditif sering diasumsikan normal untuk NLS/MLE standar.�• Parameter θ biasanya mempunyai makna biologis, fisik, ekonomi, atau epidemiologis.�• Estimasi mencari kombinasi θ yang membuat fitted curve paling dekat dengan data.
Model umum
Contoh aplikasi
Dalam model Michaelis–Menten, Vmax adalah respons maksimum dan Km adalah konsentrasi saat respons mencapai setengah Vmax.
Model nonlinear yang baik adalah model yang parameternya bisa dijelaskan, bukan hanya diplot cantik.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
06
Notasi Vektor dan Residual
SECTION 2
07
• Gunakan vektor residual untuk menulis fungsi objektif secara ringkas.�• Fitted vector bergantung nonlinear pada θ.�• Tidak ada matrix hat linear tetap seperti OLS karena fitted value berubah nonlinear.�• Ruang solusi dapat mempunyai plateau atau beberapa local minima.
Residual vector
Fitted nonlinear vector
SSE
Residual tetap sederhana; permukaan SSE-nya yang bisa menjadi drama.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
07
Error Aditif vs Multiplikatif
SECTION 2
08
• Error aditif cocok bila variabilitas respons relatif konstan pada skala asli.�• Error multiplikatif cocok bila variasi bertambah seiring level respons.�• Transformasi log dapat mengubah error multiplikatif menjadi aditif pada skala log.�• Namun transformasi juga mengubah target estimasi dan interpretasi parameter.
Struktur error
Contoh aplikasi
Contoh produksi: error persentase sering lebih masuk akal daripada error absolut pada skala output besar.
Skala model bukan kosmetik; ia menentukan makna error dan prediksi.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
08
Nonlinear Least Squares (NLS)
SECTION 2
09
• NLS memilih θ yang meminimalkan jumlah kuadrat residual.�• Tidak ada rumus eksplisit umum seperti OLS.�• Solusi diperoleh melalui iterasi: mulai dari θ awal, hitung update, ulangi sampai konvergen.�• Hasil sangat dipengaruhi starting values dan conditioning Jacobian.
Fungsi objektif
Contoh aplikasi
Aplikasi farmasi: mencari Vmax dan Km yang meminimalkan selisih kuadrat antara respons teramati dan kurva saturasi.
Di NLS, starting value itu bukan formalitas; ia bisa menentukan nasib akhir estimasi.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
09
Likelihood Normal dan Relasi dengan NLS
SECTION 2
10
• Jika error iid normal dengan varians konstan, NLS ekuivalen dengan MLE untuk θ.�• Likelihood menggabungkan mean nonlinear dan varians error.�• Log-likelihood membantu membangun AIC, likelihood ratio, dan profile likelihood.�• Ketika error tidak normal atau heteroskedastik, estimasi dan inferensi perlu disesuaikan.
Log-likelihood
Contoh aplikasi
Jika asumsi normal masuk akal, meminimalkan SSE sama dengan memaksimalkan likelihood terhadap θ.
SSE dan likelihood itu sering satu jalan; bedanya likelihood membawa tiket inferensi lebih lengkap.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
10
Starting Values: Titik Awal Menentukan Jalan
SECTION 2
11
• Gunakan plot awal untuk membaca asimtot, slope awal, atau titik saturasi.�• Gunakan transformasi kasar untuk memperoleh tebakan parameter.�• Coba beberapa starting values untuk mengurangi risiko local minimum.�• Laporkan strategi starting values jika model sulit atau sensitif.
Iterasi
Contoh aplikasi
Pada model eksponensial y=β0 exp(β1x), log(y)≈logβ0+β1x dapat memberi starting β0 dan β1.
Starting values yang buruk sering membuat algoritme terlihat “bodoh”, padahal kita yang memberi alamat salah.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
11
Identifiability Parameter
SECTION 2
12
• Parameter identifiable bila kombinasi parameter berbeda menghasilkan fungsi mean yang berbeda.�• Jika parameter saling menggantikan, estimasi menjadi tidak stabil atau tidak unik.�• Identifiability buruk sering terlihat dari standard error besar dan korelasi parameter tinggi.�• Desain data harus mencakup rentang x yang cukup untuk mengenali bentuk kurva.
Identifiability
Contoh aplikasi
Michaelis–Menten sulit mengestimasi Vmax jika data hanya tersedia pada dosis rendah dan belum mendekati plateau.
Tidak semua parameter yang bisa ditulis di rumus bisa dikenali oleh data.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
12
Jacobian: Sensitivitas Model terhadap Parameter
SECTION 2
13
• Jacobian berisi turunan fitted value terhadap setiap parameter.�• Kolom Jacobian menunjukkan arah perubahan fitted curve saat satu parameter digeser.�• Jacobian menjadi pengganti matriks desain lokal pada model nonlinear.�• Kondisi JᵀJ memengaruhi stabilitas update dan standard error.
Jacobian
Contoh aplikasi
Jika dua kolom Jacobian hampir sama, dua parameter memberi efek serupa sehingga estimasi menjadi tidak presisi.
Jacobian adalah “X lokal” untuk dunia nonlinear.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
13
Linearisasi Lokal
SECTION 2
14
• Fungsi nonlinear dapat didekati secara linear di sekitar θ saat ini.�• Pendekatan Taylor orde pertama menghasilkan masalah least-squares lokal.�• Akurasi linearisasi baik jika langkah update tidak terlalu jauh.�• Gauss–Newton dibangun langsung dari ide linearisasi ini.
Taylor orde pertama
Contoh aplikasi
Pada iterasi awal yang jauh dari solusi, linearisasi bisa buruk; di sinilah damping LM membantu.
Setiap iterasi bertanya: “kalau kurva ini diluruskan sebentar, saya harus geser ke mana?”
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
14
Gauss–Newton: Turunan dari Linearisasi
SECTION 2
15
• Residual baru didekati oleh residual lama dikurangi JΔ.�• Masalah lokal menjadi least-squares terhadap Δ.�• Normal equation lokal menghasilkan update Gauss–Newton.�• Update berhasil baik jika residual kecil dan linearisasi memadai.
Residual terlinearisasi
Least-squares lokal
Update Gauss–Newton
Gauss–Newton mengubah masalah nonlinear menjadi rangkaian masalah linear lokal.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
15
Update Parameter Gauss–Newton
SECTION 2
16
• Hitung residual dan Jacobian pada θ saat ini.�• Selesaikan sistem normal lokal untuk memperoleh Δ.�• Perbarui parameter dengan menambahkan Δ.�• Ulangi sampai perubahan parameter, SSE, atau gradien cukup kecil.
Iterasi GN
Contoh aplikasi
Aplikasi: model pertumbuhan eksponensial diperbarui berulang sampai β0 dan β1 stabil.
residual
Jacobian
update
konvergen
GN cepat dekat optimum, tetapi agak sensitif saat titik awal terlalu jauh.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
16
Kriteria Konvergensi
SECTION 2
17
• Konvergensi dapat dinilai dari perubahan parameter yang sangat kecil.�• Alternatif lain adalah perubahan SSE yang hampir nol.�• Gradien kecil menunjukkan posisi dekat titik stasioner.�• Selalu cek apakah solusi masuk akal secara substantif, bukan hanya status converged.
Stopping rule
Contoh aplikasi
Software bisa menyatakan konvergen meskipun parameter berada pada nilai tidak realistis; grafik dan konteks tetap wajib.
Converged bukan berarti benar; kadang hanya berarti algoritme sudah lelah.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
17
Levenberg–Marquardt: Damped Gauss–Newton
SECTION 2
18
• LM menambahkan redaman untuk menstabilkan update.�• Saat λ kecil, LM mendekati Gauss–Newton.�• Saat λ besar, update lebih konservatif seperti gradient descent.�• LM lebih tahan ketika JᵀJ buruk atau starting value jauh.
Damped update
Contoh aplikasi
Pada model saturasi, LM sering lebih stabil ketika parameter awal menghasilkan kurva terlalu jauh dari data.
LM itu seperti GN pakai rem ABS: tetap ngebut, tapi tidak gampang selip.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
18
Adaptasi λ pada LM
SECTION 2
19
• Jika update menurunkan SSE, λ biasanya diperkecil agar langkah lebih agresif.�• Jika update gagal menurunkan SSE, λ diperbesar agar langkah lebih hati-hati.�• Dapat menggunakan D=I atau D=diag(JᵀJ).�• Aturan adaptif membuat LM praktis untuk banyak model nonlinear.
Aturan damping
Contoh aplikasi
Ketika model bergerak ke arah salah, LM memperbesar damping dan mencoba langkah yang lebih aman.
λ adalah pedal rem; bukan tujuan utama, tapi membuat perjalanan sampai.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
19
Skala Parameter dan Conditioning
SECTION 2
20
• Parameter dengan skala sangat berbeda dapat membuat sistem normal tidak stabil.�• Rescaling prediktor atau parameter sering memperbaiki konvergensi.�• Centering x dapat mengurangi korelasi parameter pada model eksponensial.�• Condition number tinggi mengindikasikan masalah numerik atau identifiability lemah.
Condition number
Contoh aplikasi
Jika x bernilai ribuan, model exp(β1x) dapat overflow; gunakan rescaling x/1000 atau centering.
Sebelum menyalahkan software, cek skala data dulu. Sering pelakunya cuma satuan yang kelewat percaya diri.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
20
Model Eksponensial: Contoh Kerja
SECTION 2
21
• Model eksponensial cocok untuk proses pertumbuhan atau peluruhan relatif.�• β0 adalah level awal saat x=0 jika x tidak dicenter.�• β1 mengatur laju pertumbuhan relatif.�• Error aditif berarti deviasi diukur pada skala y asli.
Model
Contoh aplikasi
Aplikasi: pertumbuhan bakteri fase awal, kenaikan biaya kumulatif, atau decay konsentrasi dengan β1 negatif.
Parameter eksponensial mudah ditafsirkan jika skala x didefinisikan jelas.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
21
Jacobian Model Eksponensial
SECTION 2
22
• Turunan terhadap β0 adalah fungsi eksponensial itu sendiri tanpa β0.�• Turunan terhadap β1 memuat β0, xᵢ, dan eksponensial.�• Jacobian dihitung pada parameter iterasi saat ini.�• Kolom Jacobian menentukan update GN dan LM.
Jacobian eksponensial
Contoh aplikasi
Jika xᵢ=0, observasi tersebut memberi informasi kuat pada β0 tetapi tidak langsung pada β1 melalui Jᵢ2.
Jacobian menunjukkan observasi mana yang informatif untuk parameter tertentu.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
22
Satu Langkah Manual Gauss–Newton
SECTION 2
23
• Mulai dari θ(k), hitung residual dan Jacobian.�• Bentuk JᵀJ dan Jᵀr.�• Selesaikan sistem linear untuk Δ.�• Tambahkan Δ ke parameter lama.
Residual iterasi k
Sistem normal lokal
Parameter baru
Manual calculation penting untuk memahami apa yang dilakukan nls().
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
23
Gradien dan Hessian Aproksimasi
SECTION 2
24
• Gradien SSE menunjukkan arah kenaikan tercepat fungsi objektif.�• GN memakai aproksimasi Hessian 2JᵀJ.�• Hessian eksak memiliki tambahan term yang melibatkan residual dan Hessian fᵢ.�• Aproksimasi GN baik ketika residual kecil di dekat solusi.
Gradien dan Hessian
Contoh aplikasi
Jika residual besar atau model jauh dari solusi, tambahan Hessian eksak bisa penting; LM membantu stabilitas praktis.
JᵀJ adalah kompas lokal; tidak sempurna, tapi sering cukup kuat.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
24
Estimasi Varians Error
SECTION 2
25
• Setelah konvergen, SSE pada θ̂ digunakan untuk menaksir σ².�• Derajat bebas dikurangi jumlah parameter p.�• Estimasi ini bergantung pada asumsi error aditif dan varians konstan.�• Jika heteroskedastik, gunakan pendekatan robust, weighted NLS, atau model varians eksplisit.
Residual variance
Contoh aplikasi
Pada data biologis, varians sering meningkat bersama mean; cek residual versus fitted sebelum percaya SE.
σ̂² adalah ringkasan sisa variasi setelah kurva nonlinear dipasang.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
25
Kovarians Parameter Nonlinear
SECTION 2
26
• Inferensi Wald memakai pendekatan asimtotik di sekitar optimum.�• Kovarians parameter diperoleh dari inverse kurvatur lokal.�• Jika JᵀJ hampir singular, standard error membesar.�• Korelasi parameter tinggi menandakan interpretasi individual perlu hati-hati.
Kovarians Wald
Contoh aplikasi
Pada Michaelis–Menten, Vmax dan Km sering berkorelasi kuat bila data belum menyentuh plateau.
Kovarians kecil bukan hadiah otomatis; ia harus didukung desain data yang informatif.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
26
Standard Error dan Statistik z
SECTION 2
27
• SE parameter adalah akar diagonal matriks kovarians.�• Statistik z membandingkan estimasi dengan nilai hipotesis.�• Pendekatan ini bersifat lokal dan asimtotik.�• Pada sampel kecil atau parameter dekat batas, gunakan profile likelihood atau bootstrap.
Inferensi Wald
Contoh aplikasi
Uji H0: β1=0 pada model eksponensial menilai ada tidaknya laju perubahan relatif.
Wald test cepat, tetapi jangan terlalu percaya diri saat likelihood tidak simetris.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
27
Interval Kepercayaan Wald
SECTION 2
28
• CI Wald menggunakan estimasi ± kuantil kali SE.�• Untuk sampel besar biasanya memakai kuantil normal.�• Untuk sampel kecil dapat memakai t dengan derajat bebas n−p.�• CI Wald dapat buruk bila parameter nonlinear sangat asimetris.
CI Wald
Contoh aplikasi
CI β0 pada model eksponensial harus dibaca pada skala parameter asli, bukan skala log kecuali model memang ditransformasi.
CI yang rapi belum tentu jujur jika bentuk likelihood-nya miring.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
28
Profile Likelihood
SECTION 2
29
• Profile likelihood mengevaluasi likelihood untuk satu parameter sambil mengoptimalkan parameter lain.�• Metode ini menangkap asimetri ketidakpastian lebih baik daripada Wald.�• Sangat berguna pada model nonlinear dengan sampel kecil.�• Biayanya lebih mahal secara komputasi.
Profile
Contoh aplikasi
Jika interval profile untuk Km tidak simetris, itu informasi penting tentang identifiability dan rentang dosis.
Profile likelihood lebih cerewet, tetapi sering lebih jujur.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
29
Bootstrap untuk Inferensi
SECTION 2
30
• Bootstrap membangun distribusi empiris estimasi dari resampling.�• Residual bootstrap cocok bila mean model benar dan error iid.�• Case bootstrap lebih fleksibel tetapi mengubah pasangan observasi.�• Bootstrap membantu ketika SE Wald diragukan.
Bootstrap
Contoh aplikasi
Untuk data respons obat, bootstrap dapat memberi interval Vmax dan Km tanpa terlalu bergantung pada normalitas lokal.
Bootstrap itu bertanya berkali-kali: “kalau data sedikit berbeda, estimasinya seberapa goyang?”
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
30
Prediksi Mean dengan Delta Method
SECTION 2
31
• Prediksi mean di titik baru diperoleh dari fungsi fitted pada θ̂.�• Ketidakpastian mean berasal dari ketidakpastian parameter.�• Delta method memakai gradien fungsi prediksi terhadap parameter.�• Semakin jauh x* dari rentang data, semakin berisiko ekstrapolasi.
Delta method
Contoh aplikasi
Pada model eksponensial, prediksi jauh di luar rentang x dapat meledak cepat meski CI terlihat numerik.
Prediksi nonlinear paling menggoda justru saat ekstrapolasi—dan paling berbahaya.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
31
Mean Interval vs Prediction Interval
SECTION 2
32
• Mean interval menggambarkan ketidakpastian rata-rata kondisional.�• Prediction interval menambahkan variansi error observasi baru.�• Prediction interval selalu lebih lebar daripada mean interval.�• Keduanya harus dibedakan dalam laporan.
Interval prediksi
Contoh aplikasi
Untuk memprediksi respon pasien baru, gunakan prediction interval; untuk mean respon populasi pada dosis tertentu, gunakan mean interval.
Jangan menjual mean interval sebagai prediction interval; itu diskon ketidakpastian yang berbahaya.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
32
Goodness-of-Fit: SSE, RMSE, dan R² Nonlinear
SECTION 2
33
• SSE dan RMSE mengukur error pada skala respons.�• R² nonlinear dapat dihitung tetapi interpretasinya tidak selalu sama seperti OLS.�• Bandingkan model dengan diagnostics dan validasi, bukan hanya satu angka fit.�• Model lebih fleksibel hampir selalu menurunkan SSE training.
Ukuran fit
Contoh aplikasi
Dua model saturasi bisa punya RMSE mirip, tetapi hanya satu yang parameternya masuk akal secara farmakologi.
Goodness-of-fit yang baik tanpa interpretasi bisa jadi cuma kosmetik statistik.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
33
AIC dan BIC
SECTION 2
34
• AIC membandingkan keseimbangan likelihood dan kompleksitas model.�• BIC memberi penalti kompleksitas lebih kuat ketika n besar.�• Perbandingan valid bila model diestimasi pada data respons yang sama.�• AIC/BIC tidak menggantikan diagnostics dan validasi substantif.
Model selection
Contoh aplikasi
Membandingkan model logistik dan Gompertz untuk pertumbuhan bisa dilakukan dengan AIC, lalu cek residual dan interpretasi parameter.
AIC memilih model relatif terbaik di antara kandidat; bukan stempel “benar”.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
34
Diagnostik Residual Nonlinear
SECTION 2
35
• Residual versus fitted mengecek pola mean dan heteroskedastisitas.�• Residual versus prediktor mengecek area x yang underfit.�• QQ-plot membantu menilai ekor distribusi residual.�• Influence perlu diperhatikan karena satu titik dapat mengubah kurva secara besar.
Residual
Contoh aplikasi
Pada pertumbuhan logistik, observasi awal dan akhir sering sangat menentukan estimasi laju dan carrying capacity.
Di nonlinear regression, satu titik ekstrem bisa bukan hanya menarik garis—ia bisa membengkokkan kurva.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
35
Model Logistik Pertumbuhan
SECTION 2
36
• Model logistik memiliki batas atas atau carrying capacity K.�• Parameter α dan β mengatur lokasi dan kecepatan transisi.�• Kurva berbentuk S: lambat di awal, cepat di tengah, melambat di akhir.�• Cocok untuk pertumbuhan populasi, adopsi teknologi, atau perkembangan epidemi tertentu.
Logistic curve
Contoh aplikasi
Aplikasi: memodelkan jumlah kumulatif pengguna aplikasi hingga mendekati pasar maksimum.
K adalah plafon; kalau datanya belum mendekati plafon, estimasi K bisa sangat liar.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
36
Model Michaelis–Menten
SECTION 2
37
• Model ini menggambarkan hubungan dosis/konsentrasi dengan respons yang jenuh.�• Vmax adalah respons maksimum teoritis.�• Km adalah nilai X saat respons mencapai setengah Vmax.�• Cocok untuk enzim, farmakokinetik, dan dose-response sederhana.
Michaelis–Menten
Contoh aplikasi
Aplikasi: estimasi dosis efektif ketika peningkatan dosis tambahan tidak lagi memberi respons besar.
Model ini mengajarkan prinsip penting: lebih banyak X tidak selalu berarti respons naik linear.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
37
Diminishing Returns: Model Pangkat
SECTION 2
38
• Model pangkat menggambarkan kenaikan output yang makin melambat.�• A mengatur skala produktivitas dasar.�• α antara 0 dan 1 menghasilkan kurva konkaf.�• Interpretasi elastisitas muncul natural pada model log-log.
Power model
Contoh aplikasi
Ekonomi regional: tambahan investasi meningkatkan output, tetapi marginal gain menurun setelah kapasitas tertentu.
Diminishing return: tambah effort masih berguna, tapi tidak selamanya “gas pol” menghasilkan lonjakan sama.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
38
Kode R: nls() untuk Model Eksponensial
SECTION 2
39
• Tentukan formula nonlinear dan data.�• Berikan starting values yang masuk akal.�• Cek summary, residual, fitted curve, dan konvergensi.�• Bandingkan dengan alternatif model bila mekanisme belum pasti.
R workflow
Contoh aplikasi
Kode minimal: nls(y ~ b0*exp(b1*x), data=dat, start=list(b0=2,b1=.3)). Setelah itu plot data dan fitted curve.
Jangan berhenti di summary(); plot dan diagnostics wajib ikut naik panggung.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
39
Workflow Analisis Praktis
SECTION 2
40
• Plot data dan pahami mekanisme ilmiah terlebih dahulu.�• Pilih beberapa kandidat f(x,θ) yang masuk akal.�• Tentukan starting values dari grafik, transformasi, atau literatur.�• Estimasi, cek konvergensi, diagnostics, lalu laporkan interpretasi parameter.
Pipeline
Contoh aplikasi
Untuk tugas mahasiswa, gunakan satu studi kasus utama lalu jelaskan alasan pemilihan model secara substantif.
EDA
Fit
Check
Report
Workflow yang rapi mengurangi “trial-and-error berkedok metodologi”.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
40
Pitfalls yang Sering Terjadi
SECTION 2
41
• Memakai model nonlinear hanya karena grafik terlihat melengkung.�• Starting values asal-asalan sehingga algoritme gagal atau menuju local minimum.�• Menafsirkan parameter tanpa mempertimbangkan skala dan identifiability.�• Mengabaikan heteroskedastisitas dan outlier berpengaruh.
Common traps
Contoh aplikasi
Jika model tidak konvergen, cek skala X, plot awal, starting values, dan batas parameter sebelum mengganti software.
Software bukan dukun; ia tidak bisa menyelamatkan model yang secara konsep tidak jelas.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
41
Tugas Section 2
SECTION 2
42
• Pilih satu fenomena dengan alasan nonlinear yang jelas.�• Tuliskan model, asumsi error, fungsi objektif, dan interpretasi parameter.�• Estimasi dengan R, laporkan starting values dan diagnostics.�• Bandingkan minimal dua model kandidat dengan AIC/RMSE dan argumen substantif.
Deliverable
Contoh aplikasi
Format disarankan: R Markdown berisi data, model, kode, plot fitted curve, diagnostics, dan kesimpulan.
Tugas yang baik bukan yang rumusnya paling banyak, tapi yang keputusan analitisnya paling jelas.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
42
Checklist Pelaporan Model Nonlinear
SECTION 2
43
• Definisikan unit observasi, variabel, dan skala pengukuran.�• Jelaskan alasan pemilihan fungsi f(x,θ).�• Laporkan starting values, algoritme, convergence status, dan parameter estimate.�• Sertakan SE/CI, diagnostics, goodness-of-fit, dan batasan model.
Reporting
Contoh aplikasi
Kalimat laporan: “Model logistik dipilih karena respons menunjukkan saturasi mendekati batas maksimum teoritis.”
Pelaporan yang lengkap membuat pembaca percaya proses, bukan hanya percaya tabel.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
43
Kesimpulan Section 2
SECTION 2
44
• Regresi nonlinear memodelkan mean sebagai fungsi nonlinear terhadap parameter.�• Estimasi memerlukan optimisasi iteratif, terutama GN dan LM.�• Inferensi berbasis kurvatur lokal harus dicek dengan profile likelihood atau bootstrap bila perlu.�• Aplikasi kuat ketika bentuk model terkait langsung dengan mekanisme nyata.
Ringkasan
Contoh aplikasi
Benang merah: pahami fenomena, pilih fungsi, estimasi hati-hati, cek residual, lalu interpretasi parameter.
Mekanisme
Estimasi
Inferensi
Diagnostik
Model nonlinear yang baik membuat kurva bicara dalam bahasa fenomena—bukan cuma bahasa software.
Analisis Regresi Tingkat Lanjut • S2 Statistika Terapan FMIPA Unpad
44