ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y
ELECTRÓNICA
SERIES DE FOURIER
FUNCIONES ORTONORMALES
GRUPO 12 GR4
INTEGRANTES: DIEGO ORTIZ
CARLOS POGO
Producto Escalar o Interior
El producto interior de dos funciones f1 y f2 en un
intervalo [a, b] es el número:
Norma
El producto escalar produce la norma de una función f definida en el intervalo [a,b], y es el número:
Funciones Ortogonales
Dos funciones f1 y f2 son ortogonales en un
intervalo [a, b] si
ejemplo
Conjunto Ortogonal
Se dice que un conjunto de funciones de valores reales {f0(x), f1(x), f2(x), …} es ortogonal en un intervalo [a, b] si;
Conjunto Ortonormal
Un conjunto ortogonal de funciones go, g1,g2,.........
en el intervalo a<t<b, tal que cuyas funciones tiene norma 1 satisface las relaciones:
un conjunto de este tipo recibe el nombre de conjunto “ortonormal” de funciones en el intervalo a<t<b.
Ejemplo
Es conocido que, dada una base ortogonal en un espacio vectorial de dimensión finita, cualquier elemento de dicho espacio vectorial puede representarse como combinación lineal de los elementos de esa base. Nuestro objetivo es extender esta propiedad a un espacio de dimensión infinita.
Sea {ϕn} para todo n entre (0,∞) un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a, b] y sea f una función definida en ese intervalo. Los coeficientes cm, m = 0, 1, 2, . . . , para los que
se calculan multiplicando esta expresión por ϕm e integrando en el intervalo [a, b]
Por ortogonalidad, cada término del lado derecho de la última ecuación es cero, excepto cuando n = m. En este caso, se tiene
donde los coeficientes cn vienen dados por:
En otras palabras,
entonces:
Este desarrollo se llama desarrollo en serie ortogonal de f (o también, serie de Fourier generalizada).
Bibliografía
•Analisis Matematico IV,Eduardo Espinoza Ramos, pag 711-712
•http://www.dma.uvigo.es/~aurea/Transparencias_tema2.pdf
•http://ocw.unican.es/ensenanzas-tecnicas/ampliacion-de-matematicas/materiales/tema7.pdf
FIN