Graf �(bagian 1)

Matematika Diskrit

Pendahuluan

2

3

Definisi Graf

4

5

6

Jenis-Jenis Graf

7

8

9

10

Contoh Terapan Graf

11

12

13

14

15

Latihan

• Gambarkan graf yang menggambarkan sistem pertandingan ½ kompetisi (round-robin tournaments) yang diikuti oleh 6 tim.

16

Terminologi Graf

17

18

19

20

21

22

23

24

• Akibat dari lemma (corollary):

Teorema: Untuk sembarang graf G, banyaknya simpul berderajat ganjil selau genap.

25

26

Latihan

• Mungkinkah dibuat graf-sederhana 5 simpul dengan derajat masing-masing simpul adalah:

(a) 5, 2, 3, 2, 4

(b) 4, 4, 3, 2, 3

(c) 3, 3, 2, 3, 2

(d) 4, 4, 1, 3, 2

Jika mungkin, berikan satu contohnya, jika tidak mungkin, berikan alasan singkat.

27

Jawaban:

(a) 5, 2, 3, 2, 4: Tidak mungkin, karena ada simpul berderajat 5

(b) 4, 4, 3, 2, 3: Mungkin [contoh banyak]

(c) 3, 3, 2, 3, 2: Tidak mungkin, karena jumlah simpul berderajat ganjil ada 3 buah (alasan lain, karena jumlah derajat ganjil)

(d) 4, 4, 1, 3, 2: Tidak mungkin, karena simpul-1 dan simpul-2 harus bertetangga dengan simpul sisanya, berarti simpul-3 minimal berderajat 2 (kontradiksi dengan simpul-3 berderajat 1)

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

Beberapa Graf Khusus

40

41

42

Latihan

• Berapa jumlah maksimum dan jumlah minimum simpul pada graf sederhana yang mempunyai 16 buah sisi dan tiap simpul berderajat sama dan tiap simpul berderajat ≥ 4 ?

43

• Jawaban: Tiap simpul berderajat sama -> graf teratur.
• Jumlah sisi pada graf teratur berderajat r adalah e = nr/2. Jadi, n = 2e/r = (2)(16)/r = 32/r.
• Untuk r = 4, jumlah simpul yang dapat dibuat adalah maksimum, yaitu n = 32/4 = 8.
• Untuk r yang lain (r > 4 dan r merupakan pembagi bilangan bulat dari 32):

r = 8 -> n = 32/8 = 4 -> tidak mungkin membuat graf sederhana.

r = 16 -> n = 32/16 = 2 -> tidak mungkin membuat graf sederhana.

• Jadi, jumlah simpul yang dapat dibuat adalah 8 buah (maksimum dan minimum).

44

45

46

Representasi Graf

47

48

49

50

51

52

Graf Isomorfik

• Diketahui matriks ketetanggaan (adjacency matrices) dari sebuah graf tidak berarah. Gambarkan dua buah graf yang yang bersesuaian dengan matriks tersebut.

53

• Jawaban:

​

​

​

• Dua buah graf yang sama (hanya penggambaran secara geometri berbeda)

→ isomorfik!

54

Graf Isomorfik

55

56

57

58

59

Latihan

• Apakah pasangan graf di bawah ini isomorfik?

60

Latihan

• Apakah pasangan graf di bawah ini isomorfik?

​

61

Latihan

• Gambarkan 2 buah graf yang isomorfik dengan graf teratur berderajat 3 yang mempunyai 8 buah simpul

62

• Jawaban:

63

Graf Planar (Planar Graph) dan Graf Bidang (Plane Graph)

• Graf yang dapat digambarkan pada bidang datar dengan sisi-sisi tidak saling memotong (bersilangan) disebut graf planar,
• jika tidak, maka ia disebut graf tak-planar.
• K₄ adalah graf planar:

64

• K₅ adalah graf tidak planar:

65

66

Aplikasi Graf Planar

67

Aplikasi Graf Planar

• Perancangan IC (Integrated Circuit)

​

• Tidak boleh ada kawat-kawat di dalam IC-board yang saling bersilangan → dapat menimbulkan interferensi arus listrik → malfunction

​

• Perancangan kawat memenuhi prinsip graf planar

68

Latihan

• Gambarkan graf (kiri) di bawah ini sehingga tidak ada sisi-sisi yang berpotongan (menjadi graf bidang). (Solusi: graf kanan)

69

• Sisi-sisi pada graf bidang membagi bidang datar menjadi beberapa wilayah (region) atau muka (face).

​

• Graf bidang pada gambar di bawah ini terdiri atas 6 wilayah (termasuk wilayah terluar):

70

• Hubungan antara jumlah simpul (n), jumlah sisi (e), dan jumlah wilayah (f) pada graf bidang:

​

n – e + f = 2 (Rumus Euler)

​

​

​

• Pada Gambar di atas, e = 11 dan n = 7, f = 6, maka

7 – 11 + 6 = 2.

​

71

Latihan

• Misalkan graf sederhana planar memiliki 24 buah simpul, masing-masing simpul berderajat 4. Representasi planar dari graf tersebut membagi bidang datar menjadi sejumlah wilayah atau muka. Berapa banyak wilayah yang terbentuk?

72

Jawaban:

• Diketahui n = jumlah simpul = 24, maka jumlah derajat seluruh simpul = 24 × 4 = 96.
• Menurut lemma jabat tangan,

jumlah derajat = 2 × jumlah sisi,

sehingga

jumlah sisi = e = jumlah derajat/2 = 96/2 = 48

• Dari rumus Euler, n – e + f = 2, sehingga

f = 2 – n + e = 2 – 24 + 48 = 26 buah.

73

• Pada graf planar sederhana terhubung dengan f buah wilayah, n buah simpul, dan e buah sisi (e > 2) selalu berlaku:

e ≤ 3n – 6

• Ketidaksamaan yang terakhir dinamakan ketidaksamaan Euler,
• yang dapat digunakan untuk menunjukkan keplanaran suatu graf sederhana
• kalau graf planar, maka ia memenuhi ketidaksamaan Euler, sebaliknya jika tidak planar maka ketidaksamaan tersebut tidak dipenuhi.

74

• Contoh: Pada K₄, n = 4, e = 6, memenuhi ketidaksamaan Euler, sebab

6 ≤ 3(4) – 6. Jadi, K₄ adalah graf planar.

Pada graf K₅, n = 5 dan e = 10, tidak memenuhi ketidaksamaan Euler sebab

10 ≥ 3(5) – 6. Jadi, K₅ tidak planar

​

​

​

​

​

K₄ K₅ K_3,3

75

76

77

78

79

80

81

82

Latihan

• Perlihatkan dengan teorema Kuratowski bahwa graf Petersen tidak planar.

83

Jawaban:

84

Gambar (a) Graf Petersen

(b) G1 adalah upagraf dari G

(c) G2 homeomorfik dengan G1

(d) G2 isomorfik dengan K3,3

Lintasan dan Sirkuit Euler

85

86

87

88

89

Latihan

• Manakah di antara graf di bawah ini yang dapat dilukis tanpa mengangkat pensil sekalipun?

90

Lintasan dan Sirkuit Hamilton

91

92

93

94

95

96

Latihan

• Gambar di bawah ini adalah denah lantai dasar sebuah gedung. Apakah dimungkinkan berjalan melalui setiap pintu di lantai itu hanya satu kali saja jika kita boleh mulai memasuki pintu yang mana saja?

97

Jawaban:

• Nyatakan ruangan sebagai simpul dan pintu antar ruangan sebagai sisi.
• Setiap pintu hanya boleh dilewati sekali (tidak harus kembali ke titik asal) → melewati sisi tepat sekali → lintasan Euler
• Di dalam graf tersebut ada 2 simpul berderajat ganjil (simpul 1 dan 6), selebihnya genap → pasti ada lintasan Euler
• Kesimpulan: setiap pintu dapat dilewati sekali saja

98