Коло, описане навколо трикутника
Ольга ФЕНЕНКО
Означення
Серединним перпендикуляром відрізка називають пряму, що проходить через середину відрізка перпендикулярно до нього.
№ 676 (Усно)
Теорема 1 (властивість серединного перпендикуляра до відрізка).
Кожна точка серединного перпендикуляра до відрізка рівновіддалена від кінців цього відрізка.
№ 678
M
N
№ 678
2) Познач деяку точку Р, що належить серединному перпендикуляру, і переконайтеся, що PM = PN.
M
N
P
Розв’язання
Розглянемо Δ MРА та Δ NPA – прямокутні (за властивістю серединного перпендикуляра):
МА = NA;
PA – спільна.
Δ MРА = Δ NPA (за двома катетами) →
РМ = PN.
A
Означення
Коло називають описаним навколо трикутника, якщо воно проходить через усі вершини цього трикутника.
При цьому трикутник називають вписаним у коло.
Доведення
Розглянемо Δ АВС. Нехай серединні перпендикуляри до сторін АВ і АС перетинаються у т. О. Доведемо, що т. О – центр описаного кола.
1) Т. О лежить на серединному перпендикулярі до АВ, тому вона рівновіддалена від вершин А і В, тобто ОА = ОВ.
2) Аналогічно ОА = ОС, оскільки т. О лежить на серединному перпендикулярі до АС.
3) Маємо: ОА = ОВ = ОС. Тому коло із центром у т. О проходить через вершини А, В і С Δ АВС, а відрізки ОА, ОВ і ОС є його радіусами.
Отже, коло є описаним навколо Δ АВС. Теорему доведено.
Теорема 2 (про коло, описане навколо трикутника).
Навколо будь–якого трикутника можна описати коло.
Наслідок 1.
Серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються в одній точці.
Доведення
Проведемо з т. О перпендикуляр ОК до сторони ВС.
Цей перпендикуляр є висотою рівнобедреного Δ ОВС,
що проведено до основи ВС.
Тому він також є і медіаною.
Відрізок ОК лежить на серединному перпендикулярі
до сторони ВС.
Отже, усі три серединні перпендикуляри Δ АВС проходять через т. О, тобто перетинаються в одній точці.
Наслідок доведено.
Наслідок 2.
Центром кола, описаного навколо трикутника, є точка перетину серединних перпендикулярів до його сторін.
№ 680
Розв’язання
KO, LO, MO – серединні перпендикуляри до сторін AC, BC, AB відповідно.
Розглянемо Δ KСO та Δ KAO – прямокутні (за означенням серединного перпендикуляра):
OK – спільна
KC = KA;
Δ КСО = Δ КАО – за двома катетами.
Аналогічно можна довести, що
Δ COL = Δ BOL;
Δ AOM = Δ BOM
Відповідь: Δ КСО = Δ КАО; Δ COL = Δ BOL; Δ AOM = Δ BOM
На малюнку т. О – центр кола, описаного навколо різностороннього Δ АВС. Знайдіть усі пари рівних між собою трикутників на цьому малюнку.
№681
1) одну точку
Скільки кіл можна провести через:
Безліч
2) дві точки
Безліч
3) три точки, що не лежать на одній прямій
Одне
Нейропсихологічна хвилинка
№ 682
1) Накресліть гострокутний трикутник. За допомогою креслярських інструментів опишіть навколо нього коло.
O
В
А
С
№ 682
2) Де лежатиме центр цього кола (поза трикутником, усередині трикутника, на одній з його сторін)?
O
В
А
С
Усередині трикутника
№ 684
1) Накресліть тупокутний трикутник. За допомогою креслярських інструментів опишіть навколо нього коло.
O
В
А
С
№ 684
2) Де лежатиме центр цього кола (поза трикутником, усередині трикутника, на одній з його сторін)?
Поза трикутником
В
А
С
№ 686
Доведення
BD – медіана за умовою;
За наслідком 2 з теореми про коло, описане навколо трикутника:
BD – серединний перпендикуляр →
BD – висота.
Оскільки BD – медіана, висота ΔАВС, то →
ΔАВС – рівнобедрений.
Доведено.
У трикутнику центр описаного кола лежить на медіані. Доведіть, що трикутник рівнобедрений.
А
В
С
D
O
№ 688
Доведіть, що радіус кола, описаного навколо рівностороннього трикутника, удвічі більший за радіус кола, вписаного в нього.
А
В
С
О
D
Чого ви навчились під час уроку?
Що нового ви дізнались?
Що для вас було найлегшим?
Що для вас було найважчим?
Вправа «Мікрофон»