������������Persamaan dan Pertidaksamaan Rasional dan Irasional

Matematika Kelas X

Bab 2

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu:

• Menjelaskan persamaan dan pertidaksamaan rasional/irasional dengan benar melalui kegiatan mengisi Pemantapan dan Uji Kompetensi.
• Menentukan penyelesaian pertidaksamaan rasional dan irasional satu variabel dengan tepat melalui Tugas, Contoh Soal, dan Uji Kompetensi.
• Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan rasional dan irasional satu variabel dengan benar melalui kegiatan Pemantapan,Tugas dan Uji Kompetensi.

​

Persamaan dan Pertidaksamaan Rasional dan Irasional

1. Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat
2. Persamaan dan Pertidaksamaan Rasional
3. Persamaan dan Pertidaksamaan Irasional

​

A. Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

1. Persamaan Kuadrat
2. Pertidaksamaan Kuadrat

​

1. Persamaan Kuadrat

1. Bentuk umum persamaan kuadrat:�

​

dengan a, b, dan c bilangan nyata (real) dan  a ≠ 0.

2. Penyelesaian atau akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan cara:
1. Memfaktorkan
2. Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna
3. Rumus abc

​

ax² + bx + c = 0

Contoh:

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 2x² – 5x – 3 = 0.

​

Jawaban:

1. Dengan cara memfaktorkan

2x² – 5x – 3 = 0

⇔ (2x + 1)(x – 3) = 0

  ⇔(2x + 1) = 0 atau (x – 3) = 0

  ⇔ x =       atau x = 3

2. Dengan cara melengkapkan bentuk kuadrat sempurna

​

​

​

3. Dengan menggunakan rumus abc

Dari persamaan kuadrat 2x² – 5x – 3 = 0 diperoleh a = 2; b = –5; dan

c = –3

���������

​

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 2x² – 5x – 3 = 0 adalah       atau 3.

�

​

2. Pertidaksamaan Kuadrat

1. Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat:
• ax² + bx + c < 0
• ax² + bx + c ≤ 0
• ax² + bx + c > 0
• ax² + bx + c ≥ 0

Syarat a ≠ 0 dan a, b, c bilangan nyata atau real.�

2. Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat

Langkah 1: Mengubah pertidaksamaan kuadrat menjadi bentuk umum (ruas kanan sama dengan nol).

Langkah 2: Menguraikan ruas kiri menjadi faktor-faktor linear.

Langkah 3: Menentukan nilai pembuat nol ruas kiri.

Langkah 4: Meletakkan harga-harga nol pada garis bilangan, lalu menentukan tanda positif dan negatif pada setiap selang/interval yang terbentuk.

Langkah 5: Menentukan penyelesaian pertidaksamaan.

Penyelesaian pertidaksamaan diperoleh berdasarkan tanda selang/interval pada garis bilangan.

1. Jika tanda ketidaksamaan ≥ atau >, penyelesaiannya pada selang/interval yang bertanda positif (+).
2. Jika tanda ketidaksamaan ≤ atau <, penyelesaiannya pada selang/interval yang bertanda negatif (–).

Contoh

Tentukan penyelesaian pertidaksamaan 2x² – 5x > 3.

Jawaban:

Langkah-langkah penyelesaian sebagai berikut.

Langkah 1: Mengubah pertidaksamaan kuadrat menjadi bentuk umum. 

2x² – 5x > 3 ⇔ 2x² – 5x – 3 > 0

Langkah 2: Menguraikan ruas kiri menjadi faktor-faktor linear.

(x – 3)(2x + 1) > 0

Langkah 3: Menentukan nilai pembuat nol ruas kiri.

(x – 3)(2x + 1) = 0 ⇔ x – 3 = 0 atau 2x + 1 = 0

⇔ x = 3 atau x = 

Langkah 4: Meletakkan harga-harga nol pada garis bilangan.

​

��Garis bilangan di atas terdiri atas 3 selang yaitu x <     ,

    < x < 3, dan x > 3.

Menentukan tanda pada setiap selang.

Misalkan diambil nilai x = 0.

x = 0 pada terletak pada selang       < x < 3. 

Substitusikan x = –1 ke ruas kiri pertidaksamaan kuadrat 2x² – 5x – 3 > 0 sehingga diperoleh:

�

2 × 0² – 5 × 0 – 3 = 0 + 0 – 3 = –3

​

–3 < 0  sehingga selang       < x < 3  bertanda negatif.

​

Oleh karena selang       < x < 3  bertanda negatif maka selang di sebelah kanan dan kiri bertanda posotif seperti gambar berikut

�

+ + +

+ + +

– – –

Langkah 5: Menentukan penyelesaian pertidaksamaan.

�Oleh karena 2x² – 5x – 3 > 0 (artinya 2x² – 5x – 3 bernilai positif) sehingga selang yang memenuhi adalah selang yang bertanda positif.

Penyelesian 2x² – 5x – 3 > 0 dalam bentuk garis bilangan:

���

Jadi, penyelesaian dari 2x² – 5x – 3 > 0 adalah x <  atau x > 3.

�

B. Persamaan dan Pertidaksamaan Rasional

1. Persamaan Rasional
2. Pertidaksamaan Polinomial
3. Pertidaksamaan Rasional

​

1. Persamaan Rasional

1. Konsep persamaan rasional

Persamaan rasional adalah persamaan dalam bentuk pecahan yang memuat satu atau lebih variabel pada pembilang atau penyebutnya.

2. Penyelesaian persamaan rasional

Misalkan terdapat persamaan rasional  .

x₁ merupakan penyelesaian persamaan rasional                       jika                       bernilai benar.

�

Contoh:

Tentukan penyelesaian pertidaksamaan                   .

Jawaban:

��⇔ –4(2x – 1) = 5(x – 7) ← lakukan perkalian silang

⇔ –8x + 4 = 5x – 35 ← lakukan operasi aljabar

⇔ –8x – 5x = –35 – 4

⇔ –13x = –39

⇔ x = 3

Jadi, penyelesaian dari persamaan                   adalah 3.

​

2. Pertidaksamaan Polinomial

1. Bentuk umum pertidaksamaan polinomial satu variabel

Bentuk umum polinomial:

​

��� Jika P(x) suatu polinomial berderajat n, bentuk umum pertidaksamaan polinomial:

�

​

​

P(x) < 0 P(x) ≥ 0

P(x) > 0 P(x) ≤ 0

�

2. Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan polinomial.

Langkah 1: Mengubah pertidaksamaan polinomial menjadi bentuk umum.

Langkah 2: Membuat ruas kiri pertidaksamaan menjadi bentuk perkalian faktor-faktornya.

Langkah 3: Menentukan nilai-nilai pembuat nol dan meletakkannya pada garis bilangan dengan ketentuan sebagai berikut.

• Jika tanda ketidaksamaan ≤ atau ≥, nilai pembuat nol diberi tanda dengan bulatan hitam.
• Jika tanda ketidaksamaan > atau <, nilai pembuat nol dengan putih.

Langkah 4: Menentukan tanda setiap interval yang dibatasi oleh nilai-nilai pembuat nol pada garis bilangan.

Langkah 5: Menentukan penyelesaian pertidaksamaan

​

Contoh:

Tentukan penyelesaian                          .

​

Jawaban:

Langkah-langkah penyelesaian sebagai berikut.

Langkah 1: Mengubah pertidaksamaan polinomial menjadi bentuk umum. 

Langkah 2: Menguraikan ruas kiri menjadi faktor-faktor linear.

⇔ x²(x² + 2x – 15) < 0

⇔ x² (x + 5)(x – 3) < 0

Langkah 3: Menentukan nilai pembuat nol ruas kiri.

x²(x + 5)(x – 3) = 0

⇔ x²(x + 5)(x – 3) = 0

⇔ x² = 0 atau (x + 5) = 0 atau (x – 3) = 0

⇔ x = 0 atau x = –5 atau x = 3

Garis bilangan:

��Langkah 4: Menentukan tanda setiap selang yang dibatasi oleh nilai-nilai pembuat nol pada garis bilangan.

Garis bilangan di atas terdiri atas 3 selang yaitu x < –5, –5 < x < 3, dan x > 3.

�

��

Menentukan tanda pada setiap selang.

��������Tanda pada setiap selang:

���

Langkah 5: Menentukan penyelesaian pertidaksamaan.

Penyelesaian                                dalam bentuk garis bilangan:

�

​

�Jadi, penyelesaian                            adalah –5 < x < 0 atau 0 < x < 3.

�

2. Pertidaksamaan Rasional

1. Bentuk umum pertidaksamaan rasional

​

​

​

b. Sifat-sifat pertidaksamaan rasional

Misalkan f(x) dan g(x) merupakan suatu fungsi dalam variabel x.

• Jika        maka (f(x) ≥ 0, g(x) ≥ 0 dan g(x) ≠ 0) atau (f(x) ≤ 0, g(x) ≤ 0 dan g(x) ≠ 0).

​

• Jika              maka (f(x) ≥ 0, g(x) ≤ 0 dan g(x) ≠ 0) atau (f(x) ≤ 0, g(x) ≥ 0 dan g(x) ≠ 0).

​

• Jika             maka (f(x) > 0, g(x) > 0 dan g(x) ≠ 0) atau (f(x) < 0, g(x) < 0 dan g(x) ≠ 0).

​

• Jika              maka (f(x) > 0, g(x) < 0 dan g(x) ≠ 0) atau (f(x) < 0, g(x) > 0 dan g(x) ≠ 0).��

c. Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan rasional

​

Langkah 1: Membuat ruas kanan pertidaksamaan rasional menjadi nol.

Langkah 2: Membuat ruas kiri pertidaksamaan rasional menjadi bentuk pecahan (rasional).

Langkah 3: Mentukan nilai-nilai yang membuat pembilang bernilai nol dan penyebut bernilai nol.

Langkah 4: Mentukan nilai-nilai yang membuat ruas kiri terdefinisi yaitu penyebut tidak sama dengan nol.

Langkah 5: Meletakkan nilai-nilai pembuat nol pembilang dan penyebut pada garis bilangan kemudian tentukan tanda setiap interval yang terbentuk.

Langkah 6: Menentukan penyelesaian pertidaksamaan.��

​

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian                .

Jawaban:

Langkah-langkah penyelesaian sebagai berikut.

Langkah 1: Membuat ruas kanan pertidaksamaan rasional menjadi nol.��

Langkah 2: Membuat ruas kiri pertidaksamaan rasional menjadi bentuk pecahan (rasional).��

Langkah 3: Menentukan nilai-nilai yang membuat pembilang bernilai nol dan penyebut bernilai nol.

Pembuat nol dari pembilang:

–x – 8 = 0 ⇔ x = –8

Pembuat nol dari penyebut:

 x + 3 = 0 ⇔ x = –3

Langkah 4: Mentukan nilai-nilai yang membuat ruas kiri terdefinisi yaitu penyebut tidak sama dengan nol.

Syarat agar pecahan            terdefinisi:

x + 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ –3.

Langkah 5: Meletakkan nilai-nilai pembuat nol pembilang dan penyebut pada garis bilangan kemudian tentukan tanda setiap interval yang terbentuk.

Garis bilangan:

​

��Menentukan tanda pada setiap selang.

�

Tanda pada setiap selang:

��Langkah 6: Menentukan penyelesaian pertidaksamaan.

Penyelesian                 dalam bentuk garis bilangan:

�

– – –

+ + +

– – –

Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah

 {x | –8 ≤ x < –3}.

C. Persamaan dan Pertidaksamaan Irasional

1. Persamaan Irasional
2. Pertidaksamaan Irasional

​

1. Persamaan Irasional

1. Bentuk umum persamaan irasional
1.          → syarat f(x) ≥ 0 dan c ≥ 0
2.               → syarat f(x) ≥ 0 dan g(x) ≥ 0
3.            → syarat f(x) ≥ 0 dan g(x) ≥ 0

Dengan f(x) dan g(x) fungsi dari variabel x.

2. Sifat bilangan di bawah tanda akar

1) Bilangan      terdefinisi jika y ≥ 0

2) Sifat bilangan di bawah tanda akar:

Untuk setiap y ≥ 0, berlaku            .

Artinya, jika           maka x ≥ 0 dan x² = y.�

3. Menentukan penyelesaian persamaan irasional

​

• Mengubah persamaan irasional ke bentuk umum.
• Menetapkan syarat bagi bilangan/fungsi di dalam tanda akar.
• Menetapkan syarat bagi bilangan hasil penarikan akar.
• Mengkuadratkan kedua ruas, lalu menentukan penyelesaiannya.
• Menentukan irisan penyelesaian dari langkah 2), 3), dan 4).

​

​

Contoh:

Tentukan penyelesaian                       .

Jawaban:

�

����������

����������

����������

2. Pertidaksamaan Irasional

1. Bentuk umum pertidaksamaan irasional

​

​

​

b. Sifat bilangan positif

• Untuk setiap x ≥ 0, y ≥ 0, dan x < y maka berlaku x² < y².
• Untuk setiap x ≥ 0, y ≥ 0, dan x ≤ y maka berlaku x² ≤ y².
• Untuk setiap x ≥ 0, y ≥ 0, dan x > y maka berlaku x² > y².
• Untuk setiap x ≥ 0, y ≥ 0, dan x ≥ y maka berlaku x² ≥ y².

2. Pertidaksamaan Irasional

3. Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan irasional
1. Mengubah pertidaksamaan irasional ke bentuk umum.
2. Menentukan nilai ruas kanan.
1. Jika ruas kanan nol atau positif (≥ 0), lakukan langkah berikut.
• Menghilangkan tanda akar dengan mengkuadratkan kedua ruas, lalu menentukan penyelesaiannya.
• Menentukan syarat bilangan di bawah tanda akar, lalu menyelesaikannya.
• Menentukan irisan penyelesaian dari langkah i dan ii sebagai penyelesaian pertidaksamaan.

​

2. Pertidaksamaan Irasional

2. Jika ruas kanan bernilai negatif (< 0), lakukan langkah berikut.
• Menentukan penyelesaian pertidaksamaan untuk nilai ruas kanan < 0.
• Menentukan syarat bilangan di bawah tanda akar, lalu menyelesaikannya.
• Menentukan irisan penyelesaian dari langkah i dan ii sebagai penyelesaian pertidaksamaan.
3. Jika ruas kanan belum pasti bernilai lebih besar atau sama dengan nol, lakukan langkah berikut.
• Uraikan ruas kanan menjadi dua kemungkinan yaitu < 0 atau ≥ 0.
• Untuk ruas kanan < 0, lakukan langkah-langkah pada 2a sehingga diperoleh penyelesaian 2a.
• Untuk ruas kanan ≥ 0, lakukan langkah-langkah pada 2b sehingga diperoleh penyelesaian 2b.
• Menentukan gabungan penyelesaian 2a dan 2b di atas sebagai penyelesaian pertidaksamaan.

​

Contoh 1:

Tentukan penyelesaian pertidaksamaan          > 3.

Jawaban:

​

Ruas kanan dan ruas kiri pertidaksamaan bernilai positif sehingga kedua ruas dapat dikuadratkan untuk

menghilangkan tanda akar.

Terima Kasih