1

01.06.2025

KOMPOZİTLERDE TERMAL YÜKLEMELER

9.

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

(Bu konu 3a videosunun son kısmında tek tabaka için anlatılmıştır. Ayrıca tek tabaka için bir örnek 9 nolu video da çözülmüştür. Bu notlarda ise termal yükleme hesapları hem tek tabaka hem tabakalı yapılar için anlatılmıştır.)

(Tek Tabaka ve Tabakalı Yapılar için

Termal Gerilme-Şekil Değiştirme Hesapları)

2

01.06.2025

9.1 Bu bölümde Amacımız:

Ortotropik-kompozit bir yapıda sıcaklık değişimleri nedeniyle oluşan şekil değiştirmeleri ve gerilmeleri hesaplayabilmektir.

• Çözülen örneklerin içinde ayrıca probleme özel formüller de çıkarılacaktır.

• Termal genleşme katsayıları, bilinen malzeme özellikleri cinsinden formülize edilecektir.

9. Kompozitlerde Termal Yüklemeler

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

• Önce tek tabaka sonra tabakalı yapılar için konu anlatılacaktır.

Fiber takviyeli ortotropik kompozit levha, serbest halde iken ΔT kadar sıcaklığı arttırılırsa levhanın boyutlarında değişimler meydana gelir. Bu boyut değişimlerine termal (ısıl) şekil değiştirmeler denir. Bunları aşağıdaki gibi hesaplarız:

3

01.06.2025

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

Toplam uzamalar:

Birim uzamalar:

• : ısıl genleşme katsayısı: Birim sıcaklık değişiminde birim hacimdeki değişim olarak tanımlanan malzeme özelliğidir. İngilizcesi : Coefficient of Thermal Expansion ( CTE ).
• İzotropik malzemeler için 1 tane α vardır.
• Ortotropik bir tabaka için ise1 yönünde (α₁) ve 2 yönünde (α₂) olmak üzere toplam 2 tane ısıl genleşme katsayısı vardır.

9.2 Serbest Durumda Termal Şekil Değiştirmeler

(9.1)

(9.2)

Denk. 3.3 den, fiber ve matristeki 1 yönündeki gerinmelerin de kompozitin gerinmesi ile aynı olduğunu hatırlayalım (Püf noktası 1):

ΔT sonucu lokal kayma şekil değişimi oluşmaz.

9. Kompozitlerde Termal Yüklemeler

4

01.06.2025

9.3.1 Yapıyı ortotropik tek bir malzeme olarak düşünürsek: Her yönde serbest olarak şekil değiştirme oluşur. Bu sebeple, malzeme içinde tüm eksenlerde ortaya çıkacak toplam iç kuvvetler, ve dolayısıyla gerilmeler sıfır olacaktır.

Şimdi herhangi bir kısmından sınırlandırılmamış, tek yönlü (unidirectional) takviye edilmiş ortotropik bir kompozit tabakanın sıcaklığnın ı ΔT kadar arttırıldığın düşünüyoruz.

9.3 Serbest Durumda Termal Gerilmeler

9. Kompozitlerde Termal Yüklemeler

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

Temsili hacim elemanı

Hesaplamalar için temsili hacim elemanını inceleyeceğiz.

5

01.06.2025

• 2 yönündeki statik dengeden,

,

• 1 yönündeki statik dengeden,

(Bu bilgi α₂ hesabında kullanılacaktır)

9.3.2 Yapıyı 2 farklı izotropik malzeme (matris ve fiber) olarak düşünürsek:

9. Kompozitlerde Termal Yüklemeler

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

Yapı hiçbir yerden sınırlandırılmamış olmasına rağmen Matris ve fiberin herbirisinde 1 yönünde gerilmeler oluştuğunu görürüz. Çünkü iki malzeme birbirlerine yapışık ve genleşme katsayıları farklıdır. Aynı ΔT sıcaklık farkında, farklı oranlarda genleşmek isterler. Matris fazla uzamak ister, fiberi çeker (P_f1 kuvveti oluşur); fiber daha az uzamak ister, matrisin uzamasına engeller (P_m1 kuvveti oluşur). 2 yönünde ise fiber ve matris birbirine engel olmaz. Matris kendi genişlemesinin yanı sıra, fiberi de kendisiyle birlikte 2 yönünde sürükler (hareket ettirir). Matris ve fiberdeki iç kuvvetler ve dolayısıyla gerilmeler 2 yönünde sıfır çıkar.

9.4.1 Sıcaklık Etkisinin Dahil olduğu Hooke Bağıntıları

6

01.06.2025

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

ΔT

Bir kompozit tabakada, düzlem gerilme durumunda, 1 ve 2 yönlerinde çeki kuvvetlerinin yanısıra, tabakanın sıcaklığı da ΔT kadar arttırılırsa oluşan gerinme değerlerini süperpozisyon yöntemi ile Hooke bağıntılarından aşağıdaki gibi hesaplarız:

9. Kompozitlerde Termal Yüklemeler

7

01.06.2025

Düzlem gerilme durumu için sıcaklığın dahil olduğu Hooke bağıntısı:

Matris formatında yazarsak:

(9.3.a)

(9.4.a)

Ortotropik veya daha özeli olan enine (transversly) izotropik malzemeler için; lokal eksenlerde α₁₂ = 0 ’dır.

Yani sıcaklık değişiminin kayma şekil değişimine ve kayma gerinimine etkisi yoktur.

9. Kompozitlerde Termal Yüklemeler

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

(9.3.b)

(9.4.b)

Lokal gerinmeler:

Lokal gerilmeler:

Global gerinmeler:

Global gerilmeler:

8

01.06.2025

Dönüşüm bağıntısı Lokal ve global ısıl genleşme katsayıları arasında da geçerlidir. Şöyle ki:

(9.5b)

Sadece sıcaklık farkı ΔT sebebiyle oluşan global gerinmeleri şu şekilde yazabiliriz:

9.4.2 Global Isıl genleşme katsayıları (α_x, α_y, α_xy) :

Denk. 6.12 den:

Denk. 6.9 dan Dönüşüm matrisini hatırlayın:

Denk. 9.3.a dan

(Sadece ΔT varken)

(9.5a)

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

9. Kompozitlerde Termal Yüklemeler

9

01.06.2025

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

Denk. 8.1 :

(9.6)

(9.7)

9.5 α₁’ in Teorik Hesabı

Fiberlerde 1 yönünde oluşan birim şekil değiştirme (gerinme):

Matrisin fiberleri çekmesinden kaynaklan gerilme

Sıcaklık artışından dolayı oluşan fiberdeki birim boydaki uzama

Hiçbir yüzeyinden sınırlandırılmamış (yani serbest tabaka) kompozit bir tabakanın sıcaklığının ΔT kadar değiştirildiğini düşünüyoruz 2.17 Denklemindeki Hooke bağıntılarını fiber ve matris için uygularsak:

Benzer şekilde:

Matriste 1 yönünde birim şekil değiştirme (gerinme):

Denk. 3.5 :

Denk. 3.3 :

(9.8)

Öncelikle α₁ ve α₂ değerlerini bilinen malzeme özellikleri ve fiber oranı cinsinden formülüze edeceğiz.

(Denk. 3.4 den)

9. Kompozitlerde Termal Yüklemeler

10

01.06.2025

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

9.6 α₂’ nin Teorik Hesabı

Yine sınırlandırılmamış kompozit bir levhanın sıcaklığı ΔT kadar değiştirildiğini düşünüyoruz.

9.6 ve 9.7 denklemlerini tekrar düzenlersek;

(9.9)

(9.10)

Fiber ve matris için Denk. 2.15 deki Hooke bağıntıları;

(a)

(b)

(9.11)

,

9. Kompozitlerde Termal Yüklemeler

11

01.06.2025

Benzer şekilde matris için :

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

(9.12)

(9.13)

9.12 ve 9.13 eşitliklerini 3.8 denkleminde yerine koyarsak:

Bu Denklem düzenlenirse ..>>

(3.8)

O halde ;

9. Kompozitlerde Termal Yüklemeler

12

01.06.2025

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

Denklemler düzenlendiğinde:

Denklemi açtığımızda:

O halde denklem;

Son kez düzenlendiğinde;

halini alır.

(9.14)

9. Kompozitlerde Termal Yüklemeler

(3.14 denkleminden)

13

01.06.2025

9.7 Diğer Tip kompozitlerin α₁ ve α₂ değerlerinin teorik hesapları nasıl yapılır?

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

• Partikül takviyeli, süreksiz fiber (whickers) takviyeli, çok yön sürekli fiber takviyeli kompozitler izotropik kabul edillirler (quasi-izotropik olarak isimlendirilirler) ve 1 tane α değerleri vardır ve bu değer ancak deneysel olarak bulunabilir.

• Çift Örgü (Woven Fabric)takviyeli kompozitler veya sandviç kompozitlerin α₁ ve α₂ değerleri birbirlerine eşit olup, 9.8 veya 9.14 denklemlerinden birisiyle hesaplanabilir. (Her iki denklemden de aynı sonuç çıkması gerekir.)

• Diğer tip kompozitlerin diğer mekanik özellikleri (E₁,E₂,ν₁₂,G₁₂) nin teorik hesaplama şekilleri 3.10 konusunda açıklanmıştır.

• Tek yön sürekli fiber takviyeli kompozitler için 9.8 ve 9.14 denklemleri kullanılmaktadır. Diğer tip kompozit tiplerinden;

Doğranmış Fiber (Whiskers) Takviyeli Kompozit

Partikül Takviyeli Kompozit

Çift Örgü (Woven) Elyaf Takviyeli Kompozit

Sandviç Kompozit

9. Kompozitlerde Termal Yüklemeler

Çok yön sürekli fiber takviyeli Kompozit

14

01.06.2025

9.8 Bazı malzemelerin Termal genleşme katsayıları

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

Bundan sonraki kısımda serbest veya belli şekillerde sınırlandırılmış tek tabaka için formül çıkarmaları da içeren örneklerle konuyu iyice pekiştireceğiz;

9. Kompozitlerde Termal Yüklemeler

15

01.06.2025

İlk sıcaklığı 23 C olan bir alüminyum plaka şekildeki gibi iki sabit duvar arasına yerleştirilmiştir. Buna göre,

a-) Alüminyum plaka, bu sınır şartlarında 120 C sıcaklıkta kullanılabilir mi? hesaplayınız.

Örnek Problem 9.1* ^{(video 9)}

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

9. Kompozitlerde Termal Yüklemeler

(* Dikkat: Bu örnek ısıl yüklemelerle ilgili formül çıkarmaları da içermektedir.)

Aynı alüminyum plaka, %25 oranında çelik fiberlerle tek yönlü takviye edilerek bir kompozit yapı oluşturulacak ve bu yapı yine iki sabit duvar arasına yerleştirilecektir. Buna göre bu kompozit yapı için, aşağıdaki soruları hesaplamalarla cevaplayınız.

b-)Bu kompozit yapı 120 ^oC’de kullanılabilir mi?

c-) Sağ duvar kaldırıldığında, kompozit yapı dayanım sınırları içerisinde en fazla hangi sıcaklığa kadar ısıtılabilir?

d-) Sağ duvar kaldırıldığında, izin verilebilir (emniyetli) maksimum sıcaklıkta kompozit yapının matris bileşeninde ortaya çıkacak gerilme değeri ne olur?

16

01.06.2025

a-) Alüminyum plaka 120 ^oC de sıcaklıkta kullanılabilir mi?

P

= 0

Alüminyum en fazla akma sınırına kadar ısıtılabilir. Sınır durumda σ = σ_akma

Süperpozisyon prensibine göre, sağ duvarı önce kaldırıp sıcaklığı arttırıyoruz, sonra duvardan gelen P tepki kuvvetini uyguluyoruz.Toplam uzama ( δ ) nın sıfır olmasından hareket ediyoruz.

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

9. Kompozitlerde Termal Yüklemeler

17

01.06.2025

b-) %25 oranında çelik fiberlerle tek yönlü takviye edilmesi durumunda aynı çalışma sıcaklığında (120 ^oC de) plaka kullanılabilir mi?

(9.15)

1 Yönünde Sınırlandırılmış bir ortotropik tabakada, herhangi bir andaki sıcaklık farkı :

a şıkkındaki aynı çözüm yolunu bu sefer ortotropik kompozit yapı için kullanacağız. Değişen tek şeyin Hooke bağıntılarındaki malzeme sabitleri olduğuna dikkat ediniz.

Son eşitlikten…>>

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

9. Kompozitlerde Termal Yüklemeler

18

01.06.2025

O halde (9.15) formülünden:

1 Yönünde sınırlandırılmış bir ortotropik tabakaya, mukavemet sınırları içerisinde uygulanabilecek maksimum sıcaklık farkı:

(9.16)

Kompozit sınırlandırılmış durumda bu sıcaklığa kadar kullanılabilir.

Not: Sınırlandırılmış durumda şekil değiştirme tamamen engellenir. Bunun için ise her iki duvarının da olması şarttır.

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

9. Kompozitlerde Termal Yüklemeler

Denk. 4.4’den..>>

Denk. 4.3’den..>>

(Bknz: konu 4)

Denk. 3.4’den..>>

Denk. 9.16 ‘dan..>>

Denk. 9.8’den..>>

19

01.06.2025

c-) Sağ duvar kaldırıldığında, kompozit yapı dayanım sınırları içerisinde en fazla hangi sıcaklığa kadar ısıtılabilir?

​

9.3.2 maddesinde anlatıldığı gibi kompozitin serbest olarak genleşmesine izin verilse dahi, fiber ve matriste, 1 yönünde gerilmeler oluşacaktır. Fiberler, termal uzamaya ilaveten matrisin kendisini çekmesiyle de bir miktar daha uzar.

Kompozitteki toplam uzama

Fiberdeki toplam uzama

Termal uzama

Matrisin fiberi çekmesi sebebiyle oluşan uzama

=

=

Serbest durumda herhangi bir anda sıcaklık farkı :

: Matrisin fiberleri çekmesinden kaynaklı gerilme

(9.17)

Serbest durumda izin verilebilir maksimum sıcaklık farkı:

(9.18)

Üstteki eşitlikten

İncelediğimiz örneğin bu c şıkkı için, sağ duvar kaldırıldığından sınırlandırılmamış durum sözkonusudur. 9.18denkleminden maksimum sıcaklık farkı :

(Sağ duvar kaldırıldığında dayanım sınırları içinde çıkılabilecek maksimum çalışma sıcaklığı)

Not: Sağ veya sol duvarlardan birisi veya ikisi birden kaldırılmış olsa uzamaya izin verilmiş olur ve Serbest durum elde edilir.

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

9. Kompozitlerde Termal Yüklemeler

20

01.06.2025

=

Termal uzama

Fiberlerin matrisin uzamasını engellemesi sebebiyle oluşan kısalma

: Fiberlerin matrisin uzamasını engelleme çalışmasından kaynaklı gerilme

(9.19)

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

Kompozitteki toplam uzama

Matristeki toplam uzama:

=

d-) Sınırlandırılmamış durumda izin verilebilir maksimum sıcaklıkta matristeki gerilmeyi hesaplayacağız:

Maksimum sıcaklık farkı c şıkkında bulunmuştu. Bu anda matristeki gerilme:

(9.20)

Veya 2nci yol

Serbest durumda ısıl yükleme için:

Denk. 3.5 den :

Dikkat edilirse maksimum sıcaklıkta matrisin akma sınırı (150MPa) aşılmamıştır ve matriste hasar oluşmaz.

9. Kompozitlerde Termal Yüklemeler

21

01.06.2025

Örnek Problem 9.2*

0⁰ lik fiber yönlendirme açısına sahip bir kompozit tabaka, rijid bir kalıp içerisine yerleştirilmiştir. Kalıp iç yüzeyleri ile tabaka dış yüzeyleri sürtünmesiz temasta olup yüzeyler arasında herhangi bir sıkıştırma söz konusu değildir. Tabakanın gerekli malzeme özellikleri alttaki tabloda verilmiştir. Buna göre,

a-) Mukavemet sınırları içerisinde bu tabakanın sıcaklığı maksimum ne kadar arttırılabilir? Maksimum Gerilme Kriterine göre belirleyiniz.

b-) Fiber yönlendirme açısı θ = 30⁰ ve ΔT = 50 ⁰C için Tsai Hill ve Modifiye Tsai-Hill kriterine göre hasar kontrolü yapınız.

( Bu örnek ısıl yüklemelerle ilgili formül çıkarımlarını içermektedir.)

9. Kompozitlerde Termal Yüklemeler

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

Çözüm…>>

22

01.06.2025

Herhangi bir ΔT sıcaklık farkında gerilmeler:

(9.21)

(9.22)

a-)

9. Kompozitlerde Termal Yüklemeler

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

Çözüm:

Düzleme dik olan kalınlık yönünde (3 yönünde) bir sınırlandırma yapılmamıştır. Şekil değiştirme serbesttir ve dolayısıyla bu yönde gerilme oluşmaz. Bu sebeple bu problem düzlem bir problemdir.

Önce minor poisson oranını hesaplarsak:

23

01.06.2025

9.21 denkleminden ΔT çekilirse :

1 yönü için inceleme:

(9.23)

Maksimum Gerilme kriterine göre incelersek:

O halde tam hasar oluşma anında :

1 yönü için Hasar oluşmama şartı (Denk.7.1a):

2 yönü için inceleme:

Benzer şekilde,

1 ve 2 Yönlerinde sınırlandırılmış tabakada

1 yönü için maksimum sıcaklık artışı :

1 ve 2 Yönlerinde sınırlandırılmış tabakada 2 yönü için maksimum sıcaklık artışı:

Denk.7.1.b:

Hasar anında :

9.22 denkleminden :

(9.24)

9. Kompozitlerde Termal Yüklemeler

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

• ΔT nin kayma gerilmesine ve kayma şekil değiştirmesine etkisi olmadığından kayma gerilmesi sıfırdır ve 7.1.c eşitsizliğini incelemeye gerek yoktur.

24

01.06.2025

Verilen değerler yerine koyulduğunda:

(1 yönünde akma oluşturacak sıcaklık farkı)

Veya bu tabakada hasar oluşmaması şartı:

(2 yönünde akma oluşturacak sıcaklık farkı)

O halde bu tabakada sıcaklık artışı sınır değeri:

9. Kompozitlerde Termal Yüklemeler

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

b-) Fiber yönlendirme açısı θ = 30⁰ ve ΔT = 50 ⁰C için Tsai Hill ve Modifiye Tsai-Hill kriterine göre hasar kontrolü yapınız.

Modifiye Tsai-Hill Kriterine göre:

hasar oluşmaz.

Tsai-Hill Kriterine göre :

hasar oluşur.

Cevaplar:

25

01.06.2025

9.9 Tabakalı Kompozitlerde Termal Yüklemeler

(9.25)

Tabakalı kompozit bir yapının x, y yönlerinin her ikisinde de şekil değiştirmeyi engelleyecek bir oyuğun içine yerleştirildiğini ve sıcaklığının ΔT kadar arttırıldığını düşünüyoruz.

Denk. (9.4.b)

Denk. (8.14)

Denk. (8.18)

Birim uzunluğa düşen iç kuvvetler:

9. Kompozitlerde Termal Yüklemeler

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

Eq. (8.18)

26

01.06.2025

(9.26)

Sıcaklık farkı kaynaklı

Birim Uzunluğa Düşen İç Kuvvetler:

Yapısal Yüklerden Kaynaklı

Birim Uzunluğa Düşen İç Kuvvetler:

Sıcaklık farkı + Yapısal Yüklerden Kaynaklı

Birim Uzunluğa Düşen Toplam İç Kuvvetler:

(9.28)

(9.29)

(9.27)

9. Kompozitlerde Termal Yüklemeler

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

27

01.06.2025

Benzer Şekilde Toplam iç Momentleri hesaplayalım:

Denk. (8.22) den

Birim uzunluğa düşen iç momentler:

Denk. (9.25) i, Denk. 8.22 de yerine koyarsak

9. Kompozitlerde Termal Yüklemeler

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

28

01.06.2025

(9.30)

Sıcaklık farkı kaynaklı

Birim Uzunluğa Düşen İç Momentler:

Yapısal Yüklerden Kaynaklı

Birim Uzunluğa Düşen İç Momentler:

Sıcaklık farkı + Yapısal Yüklerden Kaynaklı

Birim Uzunluğa Düşen Toplam İç Momentler:

(9.32)

(9.33)

(9.31)

(Simetrik yapılarda sıfırdır.)

9. Kompozitlerde Termal Yüklemeler

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

29

01.06.2025

Denk. 9.29 ve 9.33 birleştirilirse;

(9.34)

(9.35)

Bu durumda

Orta düzlemin gerinmeleri ve şekil değiştirmeleri:

9.34 ve 9.35 denklemleri, sıcaklık etkisinin de dahil olduğu tabakalı kompozitlere ait genel denklemlerdir.

9. Kompozitlerde Termal Yüklemeler

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

30

01.06.2025

9.9.1 Gerilme ve Gerinmelerin hesaplama adımları (Sıcaklık etkisi de varken):

Diğer Adımlar : 8nci konuda anlatılanlarla aynıdır. Sadece 8.32 denklemi yerine 9.35 denklemyle işlemlere başlanır.

8nci konudaki hesaplamalarla arasındaki tek fark, yapısal iç yüklerin yerine (sıcaklığın da dahil edildiği) toplam iç yüklerin kullanılacak olmasıdır.

Şimdi bir örnek çözerek konuyu daha iyi anlamaya çalışacağız..>>

9. Kompozitlerde Termal Yüklemeler

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

31

01.06.2025

Örnek 9.3

Örnek 9.2deki tabakadan 3 tanesi 30⁰ / 0⁰ / 30⁰ fiber dizilişiyle üst üste yapıştırılarak, aynı kalıbın içerisine yerleştiriliyor. Herbir tabaka 200mm x 200mm x 2mm boyutlarındadır. Civatalar biraz sıkılarak, yanal yüzeylerde -20kN luk bası kuvveti oluşturulmuştur. Ayrıca sistemin sıcaklığı 50 ⁰C arttırılmıştır. Sürtünmelerin tümünü ihmal ederek, orta tabakanın alt yüzeyinde ortaya çıkan lokal gerilmeleri hesaplayınız.

Çözüm:

Malzeme özellikleri örnek 9.2’den alınacaktır.

a-) Öncelikle birim uzunluğa düşen yapısal yükleri hesaplarsak:

N_x = N_y = -20x10³ N / 200mm = -100N/mm

N_xy = 0 (Sürtünmeler ihmal edildiği için)

1.Adım-) Birim uzunluğa düşen toplam iç kuvvet ve momentler hesaplanır.

9. Kompozitlerde Termal Yüklemeler

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

32

01.06.2025

b-) Sıcaklık farkından kaynaklı iç kuvvet ve momentlerin hesaplanması :

θ =30⁰ olan 1nci ve 3ncü tabaka için :

Tüm tabakalar için [Q] matrisi terimleri:

(Örnek 9.2 de hesaplanmıştı)

orta tabaka için θ =0⁰ olduğundan:

9. Kompozitlerde Termal Yüklemeler

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

33

01.06.2025

Yapıyı kodlarsak:

Herbir tabaka için global termal genleşme katsayılarının hesaplanması:

Denk. 9.5

Denk. 6.9

2nci (orta ) tabaka için θ =0⁰

1nci ve 3ncü tabaka için θ =30⁰

Örn. 9.2 de verilen değerler:

9. Kompozitlerde Termal Yüklemeler

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

34

01.06.2025

Termal Katsayı Matrislerini hesaplayacağız:

Denk. 9.27 den

Yapı simetrik olduğu için:

9. Kompozitlerde Termal Yüklemeler

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

35

01.06.2025

Denk. 9.30 dan

Sıcaklık farkı kaynaklı

Birim Uzunluğa Düşen İç Kuvvetler:

Sıcaklık farkı kaynaklı

Birim Uzunluğa Düşen İç Momentler:

Denk. 9.26 dan

Sıcaklık farkı ve Yapısal Yüklerden Kaynaklı Birim Uzunluğa Düşen

Toplam İç Kuvvetler:

Sıcaklık farkı ve Yapısal Yüklerden Kaynaklı Birim Uzunluğa Düşen

Toplam İç Momentler:

9. Kompozitlerde Termal Yüklemeler

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

36

01.06.2025

• Yapı simetrik olduğu için 1.özel duruma girer, bu sebeple [B] =0 dır.

• Yapı 8.7 maddesindeki özel durumlara giriyor mu?

Diğer Adımlar:

• [D] matrisi sıfır değildir. Fakat birim uzunluğa düşen toplam iç momentler sıfır olduğundan, 2. özel durumda sağlanır. Bu sebeple, işlemlere girmeyeceği için [D] matrisini hesaplamaya gerek yoktur.

O halde sadece [A] matrisi hesaplanacaktır.

• Orta düzlemdeki gerilmeler sorulmadığı için yapı 3ncü özel duruma girmez.

9. Kompozitlerde Termal Yüklemeler

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

37

01.06.2025

- Orta düzlemdeki gerinme ve eğrilikler 9.35 denkleminden hesaplayacağız.

Veya [B] = 0 ve [D] nin hesaplamalarda etkisi olmadığından, orta düzlemin şekil değiştirmeleri aşağıdaki gibi 3x3 lük matris çarpımına indirgenebilir:

9. Kompozitlerde Termal Yüklemeler

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

38

01.06.2025

- Global gerinmeler hesaplanır:

Denk. 8.13’den

z’den bağımsız olduğundan, tüm noktaların global gerinmeleri aynıdır ve orta düzlemin gerinmelerine eşittir.

- Lokal gerinmeler hesaplanır:

Soruda istenen, orta tabakanın alt yüzeyindeki lokal gerilmeler:

c:cos0^o , s:sin0^o

9. Kompozitlerde Termal Yüklemeler

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

39

01.06.2025

- Lokal gerilmeler hesaplanır:

9. Kompozitlerde Termal Yüklemeler

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor