1 of 26

Семинар�Кожагельдинова Г.Н

Комбинаторика элементтері және оларды оқиғалардың ықтималдықтарын табуда қолданылуы �

2 of 26

  • Күнделікті өмірде біз бірнеше шешімі бар жағдайларды жиі кездестіреміз. Дұрыс таңдау жасау үшін олардың ешқайсысын жіберіп алмау керек. Дұрыс таңдау жасау үшін жағдайлардың барлық мүмкін нұсқаларын құрастыра білу, олардың жалпы санын алдын-ала есептей алу маңызды.
  • Осындай әрекетті қажет ететін есептер комбинаторика есептері деп аталады.
  • Комбинаторикалық есептерді қарастыратын математика саласын комбинаторика деп атайды.

3 of 26

Комбинаторика – математиканың объектілерді санау, орналастыру және біріктіру әдістерін зерттейтін бөлімі. Ол ықтималдық теориясында маңызды рөл атқарады, өйткені ықтимал оқиғалардың санын есептеу үшін түрлі комбинаторикалық әдістер қолданылады.

4 of 26

Комбинаториканы қолдану салалары:�- оқу орындарында (кестені құру)

- қоғамдық тамақтану сферасы (меню құру)

-лингвистика (әріптердің комбинациясын қарастыру)

-география (карталарды бояу)

-биология (ДНҚ кодын зерттеу)

-химия (химиялық элементтер арасындағы мүмкін болатын байланысты саралау)

-экономика (акциялардың сатуын/сатып алуын саралау)

-құмар ойындарда (ұтыстардың жиілігін есептеу)

-криптография (шифрлаудың әдістерін құру)

- поштаны жеткізу (жөнелтудің әдістерін қарастыру)

- спорттық сайыстары (қатысушылар арасындағы ойындар санын есептеу)

5 of 26

Алмастыру. Орналастыру. Теру

Анықтама

Мысал

Айталық, Х – n элементтен құралған жиын болсын. Онда Х-тің элементтерінен құралған, ұзындығы k-ға тең және элементтері қайталанбайтын реттелген жиынтықты n-нен k бойынша алынған қайталанбайтын орналастыру деп атайды, орналастырулар санын деп белгілейді Орналастыру – комбинациялар бір-бірінен құрамымен және ондағы элементтердің орналасу ретімен ерекшеленеді.

​

Сыныптағы 20 оқушының ішінен староста мен оның орынбасарын қанша әдіспен таңдауға болады?

​

​

​

  • Егер n = k болса, онда қайталанбайтын орналастыруды n элементтің алмастыруы деп атайды. Барлық n элементтен алынған алмастырулар санын арқылы белгілейді Алмастыру – берілген жиындағы элементтердің барлығынан жасалған комбинациялар бір-бірінен элементтердің орналасу ретімен ерекшеленеді.

Сөредегі 5 кітапты қанша әртүрлі әдіспен орналастыруға болады?

​

P5=5!=1*2*3*4*5=120

​

m элементті Х жиынынан k элементті ішкі жиындарының санын m-нен k бойынша алынған қайталанбайтын терулер саны деп атайды .Теру – комбинациялар бір-бірінен тек құрамымен ғана ерекшеленеді.

Сыныптағы 20 оқушының ішінен қанша әдіспен 2 кезекшіні таңдауға болады?

​

6 of 26

7 of 26

Жасалған комбинацияларды олардың атауларымен сәйкестендір.

​

Мысал

Комбинация атауы

«1», «2» және «3» цифрларынан мынадай комбинациялар жасалды: 12; 13; 23. Бұл комбинациялар қалай аталады?

Алмастыру - Р

​

«1», «2» және «3» цифрларынан мынадай комбинациялар жасалды: 123; 132; 231; 213; 312; 321. Бұл комбинациялар қалай аталады?

Орналастыру - А

​

​

​

«1», «2» және «3» цифрларынан мынадай комбинациялар жасалды: 12; 13; 21; 31; 32; 23. Бұл комбинациялар қалай аталады?

Теру-С

8 of 26

  • №1 мысал: 8 адам дүкенде кассаға /театрда, аэропортта тб/ қанша тәсілмен кезекке тұра алады?

 

9 of 26

  •  

 

Жүздік

Ондық

Бірлік

4 /барлық цифрлардың біреуі/

3 /қалған 3 цифрдың біреуі

2 /қалған 2 цифрдың біреуі

Ұяшықтар әдісі:

=4*3*2=24

10 of 26

  •  

11 of 26

Қайталанбалы терулер

Теорема. n-нен k бойынша алынған қайталанбалы теру

​

​

формуламен анықталады.

12 of 26

№5- мысал: 4 түрлі ойыншықтан 10 ойыншықты неше тәсілмен таңдап алуға болады

​

 

13 of 26

Қайталамалы орналастырулар

m элементтен n-нен алып жасалған қайталамалы орналастырулар саны мына формуламен есептеледі

14 of 26

  •  

15 of 26

  • №6-мысал Ө, К, Т, К, М, Е әріптері бөлек қағаздарға жазылған. Қарамастан, осы қағаздарды алғанда(қайта орнына қоймай), «көктем» сөзінің шығу ықтималдығы қандай?
  • Шешуі: Әріптерді алу реті бойынша «көктем» сөзінің шығу оқиғалар саны осы 6 әріптердің орын алмасуынан шығатын сөздер санына тең:

Бізде “к” әрпі 2 рет кездеседі. Сондықтан қажет сөз екеу.

Жауабы:

16 of 26

​

  • №7-мысал:. Егер сандар жазбасындағы цифралар қайталанбаса, онда 0; 1; 3; 5; 9 цифраларынан қанша төрт таңбалы сандарды құруға болады?
  • Бұл есепте бірінші элементі нөл болатын сандарды орналастыру санынан алып тастау керек.

​

 

Ұяшықтар әдісімен де шығаруға болады:

17 of 26

№8-мысал Араластырылған 36 карта колодасынан кездейсоқ 4 карта таңдап алынды. Таңдап алынған 4 картаның да тұз болып шығу ықтималдығы қандай?

18 of 26

№9-мысал: Кез келген үшеуі бір түзуде жатпайтын 5 нүкте берілген. Оқушы ойланбай таңдаған 2 нүкте арқылы өтетін түзу сызуының ықтималдығын анықтаңыз.

Шешуі:

​

Шешуі: Барлық мүмкін жағдайлар берілген 5 нүктенің кез келген екеуі арқылы өтетін түзулер санына тең. Түзудегі нүктелер жұбында кемінде бір нүктеде өзгешелік болады. Сәйкесінші 5 элементтен 2-ін тереміз.

​

​

​

​

  Барлық мүмкін жұп саны 10, ал бізге қажеттісі 1 ғана, сонда есеп жауабы

P=

Барлық мүмкін жұп саны 10, ал бізге қажеттісі 1 ғана, сонда есеп жауабы

19 of 26

№10-мысал: Телефон нөмерін тере отырып, Арман екі цифрын ұмытып қалды. Қажетті 2 цифрды дұрыс теру ықтималдығын табу керек.

Шешуі:

Барлық мүмкін жағдайды қарастыру үшін 10 цифрды 2 орынға орналастырудың неше жолы бар екенін есептейміз:

​

Осы 90 жағдайдан оқиғаны қанағаттандыратын бір ғана жағдай бар екенін ескеріп ықтималдықты табамыз  

​

20 of 26

№11-мысал: Бір партиядан шыққан 10 детальдың жетеуі стандартты. Кездейсоқ алынған 6 детальдің 4-еуі стандартты болу ықтималдығын табыңыз.

Шешуі: /4 стандартты, 2 стандарттан тыс/

Нәтижелерінің жалпы саны:

Қолайлы жағдайлар саны:

Ізделінген ықтималдық:

21 of 26

  • № 12-мысал. Жәшікте 15 деталь бар, оның 10 боялған. Құрастырушы жәшіктен 3 кездейсоқ детальды суырып алды. Осы алынған детальдардың боялған болуының ықтималдығын табыңыз.

Шешуі:

22 of 26

Бернулли схемасы�

  • Бернулли формуласы – тәуелсіз сынау А оқиғасының ықтималдығын табуға көмектеседі. Бернулли формуласы үлкен көлемдегі ықтималдықтарды қосып және көбейткен кезде қолданылады. 

-Тиын лақтыру;

- Нысанаға ату;

-Допты себетке немесе шеңберге лақтыру есептері.

  •  Бернулли теоремасы. Әрбір тәжірибедегі А оқиғасының пайда болу ықтималдығы тұрақты және ол р-ға тең болсын. Сонда n тәуелсіз сынақта A оқиғасының k рет пайда болу ықтималдығы мына формуламен анықталады:

23 of 26

24 of 26

  •  

25 of 26

№14 Қорапта үш түсті 400 дана қалам бар. Олардың 100 данасы қызыл, 150 данасы көк, қалғаны қара түсті. Осы қораптан кездейсоқ таңдалған 3 қаламның үш түрлі болу ықтималдығын анықтаңыз.

№15.Қорапта 2 қызыл, 8 көк, 5 сары шар жатыр. Осы қораптан кездейсоқ алынған 4 шардың екеуі көк, екеуі сары болу ықтималдығын табыңыз.

№16. Урнада 3 ақ шар және 6 қара шарлар бар. Урнадан бір уақытта екі шар алынды. Олар бірдей түсті болу ықтималдығын табыңыз.

​

​

№17. Урнада 5 ақ шар және 3 көк шар бар. Урнадан бір уақытта екі шар алынды. Олар әртүсті болу ықтималдығын табыңыз.

​

26 of 26

Назарларыңызға рахмет!