פאינה פרצב
מפגש 5
28/07/2024
תוכנית הלימודים החדשה יא'5 יח"ל: https://meyda.education.gov.il/files/Mazkirut_Pedagogit/matematika/yodaleph_5.pdf
מה במפגש?
הודעות ומנהלה
בגרות חורף 2024 שאלון 571�שאלות קצרות
חשבון אינטגרלי
פריצת דרך מתמטית היסטורית ומחלוקת על זכות הראשונים לגילויה
לפני למעלה מ- 300 שנה ניצת ריב מר בין שני אנשים ידועי שם. הם האשימו זה את זה בגניבה, כינו זה את זה בכינויי גנאי, והמקורבים לשניהם נאלצו להחליט לצד מי הם. מה מוזר שהריב ביניהם לא ניצת בשל כסף או אהבה אלא בגלל משפט מתמטי.
שני האנשים המעורבים בוויכוח היו סר אייזיק ניוטון, והמתמטיקאי הגרמני גוטפריד לייבניץ. כל אחד מהם טען שהוא הראשון שגילה משפט שחולל מהפכה במתמטיקה: המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי
משפט זה זכה לשמו כיוון שקשר זו לזו שתי בעיות שנחשבו עד אז שתי בעיות נפרדות בחשבון דיפרנציאלי: בעיית השטח ובעיית המשיק.
בעיית השטח עלתה לפני יותר מ- 2000 שנה, כשהמתמטיקאים חיפשו אחר שטחים של צורות בעלות שוליים עקומים. במהלך השנים מתמטיקאים פיתחו שיטה למציאת קירוב לשטח מתחת לעקומה, באמצעות חישוב שטחם של הרבה מלבנים דקיקים, וקראו לתהליך זה אינטגרציה. בעיית המשיק עלתה כאשר מתמטיקאים רצו למצוא שיפוע של עקומה. הפתרון שלהם היה למצוא שיפוע של משיק, אותו מצאו על-ידי חישוב שיפועי מיתרים המחברים שתי נקודות, תוך הקטנת המרחק ביו הנקודות יותר ויותר. את שיפוע המשיק החשיבו כשיפוע העקומה וקראו לתהליך זה גזירה.
במהלך זמן רב מתמטיקאים התייחסו אל שתי הבעיות האלה כבעיות נפרדות לחלוטין. לקראת סוף המאה ה- 71 הראו גם ניוטון וגם לייבניץ ששתי הבעיות קשורות בקשר עמוק. הם הראו שתהליך האינטגרציה (מציאת השטח מתחת לגרף)
הוא תהליך הפוך לתהליך הגזירה (מציאת שיפוע המשיק לגרף של פונקציה) מעכשיו יכלו המתמטיקאים להשתמש בחוקי הגזירה על מנת לחשב שטחים מתחת לכמה עקומות מסובכות. בשעה שמתמטיקאים רבים חגגו את התגלית, ניוטון ולייבניץ המשיכו במאבק על זכות הראשונים לגילוי ההיסטורי, וממשיכי דרכם המשיכו את הוויכוח גם לאחר מותם. בימינו שוררת הסכמה בקרב ההיסטוריונים שניוטון ולייבניץ גילו את המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי באופן בלתי תלוי, והוא קרוי על שם שניהם.
הצטברות של פונקציה קבועה ופונקציית מדרגות��מומלץ להתחיל מדוגמאות של המקרה הפרדיגמטי, של הצטברות של פונקציית מהירות של גוף הנע לאורך קו ישר – קצב השינוי של הדרך ביחס לזמן. �חשובה כאן למידה הדרגתית: להתחיל מפונקציה קבועה וחיובית, אז כמות הגודל המצטבר בקטע זמן מסוים מיוצגת על ידי המכפלה של ערך הפונקציה הנתונה במרווח הזמן המתאים (מקרה שכבר ידוע לתלמידים – דרך שווה למהירות הקבועה כפול הזמן בו נע הגוף). במקרים אלה המרחק מנקודת המוצא המצטברת עד לזמן מסוים מיוצגת על ידי השטח שמתחת לגרף פונקציית המהירות (ומעל הציר האופקי) עד לזמן זה. כלומר הדרך המצטברת, ההעתק, הוא פונקציה לינארית של הזמן.��
Surface - S - משטח
time - t , velocity - V
Spatium - S מרחב (לטינית)
מה זה ? פונקציית הצטברות – תכנית אימון
ממצגת של�ליליה קוט ורן סודאי
מועדון ה – 5
ומה אם הפונקציה שלילית בחלקה?
ממצגת של�ליליה קוט ורן סודאי
מועדון ה – 5
התאימו בין גרף לפונקציית ההצטברות שלו�והוסיפו מערכת צירים
א
ב
ג
ד
ה
ו
1
2
3
4
5
6
פונקציית ההצטברות | הפונקציה |
| א |
| ב |
| ג |
| ד |
| ה |
| ו |
קישור הסבר: �https://www.geogebra.org/classic/fhxkfns4�
עולה
יורדת
מקסימום
מינימום
קעורה כלפי מעלה
קעורה כלפי מטה
יש נקודות קיצון
השטח שכלוא בין גרף הפונקציה לציר ה-x מתחתיו ומעליו משתווים בגודלם .
עדש"ה - יעל אדמובסקי
תוכנית הלימודים – מה היה לנו?
עד היום סדר ההוראה כלל את השלבים הבאים:
בהסתכלות על פונקציית ההצטברות אנחנו מסתכלים על נקודת ההתחלה של תהליך כקבועה (a) ונקודת הסיום כמשתנה (x). אנחנו מוכיחים שנגזרת פונקציית שטח s(x) שנוצר מתחת לעקומה (בין עקומה שמעל ציר ה x לבין הציר עצמו) מנקודה קבועה a אל נקודה נעה x שווה לפונקציה עצמה f(x). המשתנה הוא ערך ה x של הנקודה הנעה המייצרת את ההצטברות.
ז"א ש s(x) היא פונקציה קדומה ל f(x). כאשר אנחנו מקבעים את נקודת הסיום (מסמנים נניח ב b) אז אנחנו יכולים לחשב שטח באופן מספרי, וזה מתבצע בעזרת האינטגרל המסוים.
חשבון אינטגרלי (25 שעות)
דגשים
קשרים בין הפונקציה לפונקציה הצוברת (קדומה)
מתוך הרציונל של התוכנית הלימודים החדשה
פונקציית הצטברות – פגישה הראשונה
שאלון 581 קיץ תש"ף מועד א'
בתחום הנתון נגזרת חיובית עם נקודת קיצון
V
בעקבות בגרות חורף...
שאלון 581, חורף 2021, שאלה 6
בעקבות בגרות חורף...
שאלון 581, חורף 2021, שאלה 7
בעקבות בגרות חורף...
שאלון 582, חורף 2021, שאלה 4
אינטגרל... מיומנויות ...
נגזרות !!!
אינטגרל... מיומנויות ...
חורף 2024, שאלון 582
אינטגרל... מיומנויות ...
קיץ 2024 מועד ב', שאלון 571
אינטגרל... מיומנויות ...
שיטת הצבה. תרגילים.
דרך 1. הצבה
מציבים:
אינטגרל... מיומנויות ...
דרך 2. זיהוי פונקציה קדומה
אינטגרל... מיומנויות ...
תרגילים. טריגונומטריה.
אינטגרל... מיומנויות ...
תרגיל 1.
לפי זהויות:
תרגיל 2.
לפי זהויות:
מקבלים:
לפי הצבה:
מקבלים:
אינטגרל... מיומנויות ...
קיץ 2024, שאלון 582 (572)
אינטגרל... מיומנויות ...
שאלה קצרה.
פינה חמה
" אתה צריך לאהוב מתמטיקה כי זה עושה לך סדר בראש "
מיכאיל לומונוסוב