1
2
Setelah menyaksikan
tayangan ini anda dapat
Menentukan
persamaan lingkaran
yang memenuhi kriteria tertentu
3
Lingkaran
tempat kedudukan titik-titik
yang berjarak sama
terhadap suatu titik tetap.
Jarak yang sama itu disebut jari-jari
dan titik tetap itu disebut
pusat lingkaran
4
Persamaan Lingkaran
Pusat O(0,0) dan jari-jari r
r = jari-jari
x
y
O
r
P(x,y)
x
x2 + y2 = r2
5
Soal 1
Persamaan lingkaran
pusatnya di O(0,0) dan jari-jari:
6
Soal 2
Persamaan lingkaran
pusat O(0,0) dan melalui titik (3,-1)
adalah….
7
Penyelesaian
Misal persamaan lingkaran yang
berpusat di O(0,0) dan jari-jari r
adalah x2 + y2 = r2
melalui (3,-1) → 32 + (-1)2 = r2
r2 = 9 + 1
= 10
Jadi, persamaan lingkarannya
adalah x2 + y2 = 10
8
Soal 3
Pusat dan jari-jari lingkaran:
jawab: pusat O(0,0) dan r = 4
b. x2 + y2 = 2¼ adalah…
jawab: pusat O(0,0) dan r = 1½
c. x2 + y2 = 5 adalah…
jawab: pusat O(0,0) dan r = √5
9
Soal 4
Persamaan lingkaran yang sepusat
dengan lingkaran x2 + y2 = 144
tetapi panjang jari-jarinya setengah
dari panjang jari-jari lingkaran
tersebut adalah….
10
Penyelesaian
Lingkaran x2 + y2 = 144
pusatnya O(0,0) dan jari-jarinya
r = √144 = 12 → ½r = 6
Persamaan lingkaran yang
pusatnya O(0,0) dan jari-jarinya
r = 6 adalah x2 + y2 = 62
x2 + y2 = 36
11
Soal 5
Jika titik (2a, -5) terletak pada
lingkaran x2 + y2 = 41 maka
nilai a adalah….
12
Penyelesaian
Titik (2a, -5) terletak pada
lingkaran x2 + y2 = 41,
berarti (2a)2 + (-5)2 = 41
4a2 + 25 = 41
4a2 = 41 – 25 = 16
a = 4 → a = 2 atau a = -2
13
Soal 6
Persamaan lingkaran yang koordinat
ujung-ujung diameternya A(2,-1)
dan B(-2,1) adalah….
14
Penyelesaian
Diameter = panjang AB
=
=
A(2,-1)
B(-2,1)
diameter
15
Diameter = panjang AB
= 2√5
Jari-jari = ½ x diameter
= ½ x 2√5
= √5
16
Koordinat pusat =
= (0,0)
A(2,-1)
B(-2,1)
Pusat
17
Jadi,
persamaan lingkarang yang
jari-jari = √5 dan pusat (0,0)
adalah x2 + y2 = (√5)2
x2 + y2 = 5
(x – a)2 + (y - b)2 = r2� Pusat lingkaran (a,b) , r = jari-jari
18
a
(a, b)
b
(0,0)
Persamaan Lingkaran
Pusat (a,b) dan jari-jari r
x
y
19
Soal 1
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran
jawab: pusat di (3,7) dan
jari-jari r = √9 = 3
b. (x – 8)2 + (y + 5)2 = 6
jawab: pusat di (8,-5) dan
jari- jari r = √6
20
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran
c. (x + 3)2 + (y – 5)2 = 24
jawab: pusat di (-3,5) dan
jari-jari r = √24 = 2√6
d. x2 + (y + 6)2 = ¼
jawab: pusat di (0,-6) dan
jari- jari r = √¼ = ½
21
Soal 2
Persamaan lingkaran, pusat di (1,5)
dan jari-jarinya 3 adalah ….
Penyelesaian:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
▪ Pusat (1,5) → a = 1 dan b = 5
▪ Jari-jari r = 3 → r2 = 9
Persamaannya (x – 1)2 + (y – 5)2 = 9
22
Soal 3
Persamaan lingkaran, pusat di (-1,0)
dan jari-jarinya 3√2 adalah ….
Penyelesaian:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
▪ Pusat (-1,0) → a = -1 dan b = 0
▪ Jari-jari r = 3√2 → r2 = (3√2)2 = 18
Persamaannya: (x + 1)2 + y2 = 18
23
Soal 4
Persamaan lingkaran yang
berpusat di titik (-2,-7)
dan melalui titik (10,2) adalah ….
24
P(-2,-7)
A(10,2)
r
Penyelesaian:
Pusat (-2,-7)
→ a = -2, b = -7
Jari-jari = r = AP
AP =
r =
Jadi, persamaan lingkarannya
(x + 2)2 + (y + 7)2 = 225
→ r2 = 225
25
Soal 5
Persamaan lingkaran yang
berpusat di titik (4,-3)
dan melalui titik pangkal
adalah ….
26
P(4,-3)
O(0,0)
r
Penyelesaian:
Pusat (4,-3)
→ a = 4, b = -3
Jari-jari = r = OP
OP =
r =
Jadi, persamaan lingkarannya
(x - 4)2 + (y + 3)2 = 25
→ r2 = 25
27
Soal 6
Persamaan lingkaran yang
berpusat di garis x – y = 1,
jari-jari √5 dan
melalui titik pangkal adalah ….
28
Penyelesaian
Misal persamaan lingkarannya
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
▪ melalui O(0,0) → x = 0, y = 0
dan jari-jari r = √5 → r2 = 5
disubstitusi ke (x – a)2 + (y – b)2 = r2
(0 – a)2 + (0 – b)2 = 5
a2 + b2 = 5 …..(1)
29
▪ Pusat (a,b) pada garis x – y = 1
a – b = 1 → a = b + 1
disubstitusi ke a2 + b2 = 5
(b + 1)2 + b2 = 5
b2 + 2b + 1 + b2 = 5
2b2 + 2b – 4 = 0 → b2 + b – 2 = 0
(b + 2)(b – 1) = 0
b = -2 atau b = 1
30
▪ b = -2 → a = b + 1 = -2 + 1 = -1
diperoleh pusatnya (-1,-2), r = √5
Jadi, persamaan lingkarannya
(x + 1)2 + (y + 2)2 = 5
▪ atau b = 1 → a = 1 + 1 = 2
diperoleh pusatnya (2,1), r = √5
Jadi, persamaan lingkarannya
(x – 2)2 + (y – 1)2 = 5
31
Soal 7
Persamaan lingkaran yang
berpusat pada perpotongan garis
y = x dengan garis x + 2y = 6
melalui titik O(0,0) adalah ….
32
Penyelesaian
▪ pusat pada perpotongan garis
y = x dengan garis x + 2y = 6
substitusi y = x ke x + 2y = 6
x + 2x = 6
3x = 6 → x = 2
x = 2 → y = 2 → pusat (2,2)
33
▪ jari-jari = jarak pusat (2,2) ke O(0,0)
r =
=
Jadi, persamaan lingkarannya
(x – 2)2 + (y – 2)2 = 8
x2 – 4x + 4 + y2 – 4x + 4 = 8
x2 + y2 – 4x – 4y = 0 → persamaan
lingkaran dalam bentuk umum
→ r2 = 8
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
34
Persamaan Lingkaran
dalam bentuk umum
Pusat (-½A, -½B)
r =
35
Soal 1
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran
x2 + y2 – 2x – 6y – 15 = 0
jawab:
A = -2, B = - 6, C = -15
pusat di (-½A,-½B) → (1, 3)
jari-jari r =
=
36
Soal 2
Tentukan pusat lingkaran
3x2 + 3y2 – 4x + 6y – 12 = 0
jawab:
3x2 + 3y2 – 4x + 6y – 12 = 0
x2 + y2 – x + 2y – 4 = 0
Pusat (-½( – ), -½.2)
Pusat( , – 1)
37
Soal 3
Jika titik (-5,k) terletak pada
lingkaran x2 + y2 + 2x – 5y – 21 = 0
maka nilai k adalah…
38
Penyelesaian
(-5,k) terletak pada lingkaran
x2 + y2 + 2x – 5y – 21 = 0
→ (-5)2 + k2 +2(-5) – 5k – 21 = 0
25 + k2 – 10 – 5k – 21 = 0
k2 – 5k – 6 = 0
(k – 6)(k + 1) = 0
Jadi, nilai k = 6 atau k = -1
39
Soal 4
Jarak terdekat antara titik (-7,2)
ke lingkaran
x2 + y2 – 10x – 14y – 151 = 0
sama dengan….
40
Penyelesaian
Titik T(-7,2) disubstitusi ke
x2 + y2 – 10x – 14y – 151
(-7)2 + 22 – 10.(-7) – 14.2 – 151
49 + 4 + 70 – 28 – 151 = - 56 < 0
berarti titik T(-7,2) berada
di dalam lingkaran
41
Pusat x2 + y2 – 10x – 14y – 151 = 0
adalah P(-½(-10), -½(-14)) = P(5, 7)
QT = PQ - PT
= 15 – 13 = 2
Jadi, jarak terdekat adalah 2
P(5,7)
Q
r
T(-7,2)
42
SELAMAT BELAJAR