SLUČAJNOST U MATEMATICI�Vjerojatnost slučajnoga događaja

Tko će najvjerojatnije pobijediti?

1

KAKO BISTE SE SUTRA UJUTRO OBUKLI?

2

POVEZANOST

ŠTO POVEZUJE VREMENSKU PROGNOZU, SPORTSKE REZULTATE, IGRE NA SREĆU…?

Kolika je vjerojatnost da dobijem na lotu?

0.00000012

SIGURNO, NEMOGUĆE, VRLO VJEROJATNO, VJEROJATNO, MALO VJEROJATNO

3

joinmyquiz.com

NOVČIĆ

BACANJE NOVČIĆA

Bacanje novčića je eksperiment ili _______________za koji ne znamo unaprijed rezultat, ali znamo moguće rezultate. Mogući rezultati su:

Past će _______________ili ________________ . Takav pokus zovemo SLUČAJNI POKUS.

​

​

Svaki mogući ishod tog bacanja zovemo

______________________ DOGAĐAJ.�

ISHOD KOJI PRIŽELJKUJEMO/razmatramo� hoće li se dogoditi = POVOLJAN DOGAĐAJ

​

�RAZMISLI I ODGOVORI:

​

Koliki je ukupan broj elementarnih događaja (MOGUĆIH ISHODA) kod:

​

a) Bacanja novčića:_________________ (izrazi brojem)

b) Bacanje kockice “Čovječe ne ljuti se”:_______

c) Izvlačenja jedne kuglice iz ove kutije:_______

​

5

ZADATAK za rad u PARU - eksperiment

• Iz vrećice uzmite jedan novčić.
• „Bacite ga” 10 puta te zapišite rezultate svakog bacanja.
• Ako je palo pismo (P), a ako je pala glava (G).

​

• IZRAZITE RAZLOMKOM I POSTOTKOM, koliko je puta palo P, a koliko G.

4

REZULTATI

PISMO:________ %

GLAVA:________ %

4

ODREDIMO VJEROJATNOST�IGRA: PISMO - GLAVA

Kolika je vjerojatnost da u bacanju novčića, u igri pismo – glava, nakon što novčić padne na podlogu i umiri se, �na njegovoj gornjoj strani bude glava?

Pismo

Glava

6

Igra pismo - glava

• Kolika je vjerojatnost da u bacanju novčića, u igri pismo – glava, nakon što novčić padne na podlogu i umiri se, na njegovoj gornjoj strani bude glava?

​

Rješenje:�Mogući ishodi: ili će pasti pismo ili glava (ukupno 2 moguća ishoda).

• Želimo samo jedan od ta dva ishoda, onda kad padne glava.
• Drugim riječima, od dva ishoda želimo jedan, tj.
• Pišemo P(G) =

6

UPAMTI!

• Kada su elementarni događaji jednako vjerojatni, tada je VJEROJATNOST P(A) događaja A:

​

SLOVO P

6

�KOCKICA – ODREDIMO VJEROJATNOST�

Luka baca kockicu iz igre “Čovječe ne ljuti se”�

1. Kolika je vjerojatnost da je pao broj 2?
2. Kolika je vjerojatnost da je pao broj 3 ili broj 4? 
3. Kolika je vjerojatnost da je pao broj 7?
4. Kolika je vjerojatnost da je pao jedan od brojeva od 1 do 6?
5. Kolika je vjerojatnost da je pao broj x, takav da je 2 ≤ x ≤ 4?
6. Kolika je vjerojatnost da je pao ni prost ni složen broj?

​

��

7

ČOVJEČE, NE LJUTI SE!

Igrač se u igri Čovječe, ne ljuti se, nalazi na poziciji kao na slici. �Kolika je vjerojatnost da jednim bacanjem kocke uđe u kućicu?

​

8

RJEŠENJE:

Elementarni događaji: �

​

Povoljni događaji:

Vjerojatnost našeg događaja:

Ukupno 6

Ukupno 4

8

IGRAĆE KARTE

• Snop karata sadrži 52 karte u četiri znaka: ♦ karo, ♥ srce, ♠ pik i ♣ tref. �Svaki znak ima po 13 karata. �
• Kolika je vjerojatnost da izvučena karta bude karo ili srce?

9

Igraće karte

• Snop karata sadrži 52 karte u četiri boje: ♦ karo, ♥ srce, ♠ pik i ♣ tref. Svaka boja ima po 13 karata. Kolika je vjerojatnost da izvučena karta bude karo ili srce?

​

• Rješenje:
• Elementarni događaji: svaka karta, 52 komada
• Povoljni događaji: ♦ karo 13 komada + ♥ srce 13 komada, što je ukupno 26 komada
• Vjerojatnost događaja:

9

Tko je prvi.... �…..definirao vjerojatnost?

Sve doba renesanse, nije poznato je li itko pokušavao vjerojatnosti pristupiti racionalno, matematički, već su se ishodi bacanja kocki i drugih nepredvidljivih pokusa doživljavali nerijetko mistično, kao uplitanje božanske ili neke druge sile, izvan ovoga svijeta.

Prvi koji je pokušao pitanju vjerojatnosti pristupiti matematički racionalno, bio je znameniti i kontroverzni liječnik, matematičar i kockar – Girolamo Cardano (1501. – 1576. )

​

U svojoj knjižici – Knjiga o kockanju, koju je zamislio kao priručnik za profesionalne kockare, opisuje kako racionalno ulagati na temelju šansi za dobitak..

Knjižica je objavljena posthumno te je bila nepoznata u trenutku kada su Pierre de Fermat (1601. – 1665.) i Blaise Pascal (1623 – 1662.) dopisivali 1654. oko raznolikih popularnih kockarskih problema. U svojim su argumentima koristili razmišljanje o vjerojatnosti kao omjeru broja povoljnih i mogućih slučajeva.

TEORIJA VJEROJATNOSTI

Nešto kasnije, postupak računanja opisali su matematičari Gottfried Leibniz, Bernoulie te Pierr-Simon Laplace (1749. – 1827.) koji 1774. definira vjerojatnost onako kako je i mi shvaćamo danas:

Vjerojatnost događaja je omjer broja za njega povoljnih slučajeva prema broju mogućih slučajeva ako nemamo razloga smatrati da se neki slučajevi pojavljuju češće od drugih tako da su za nas svi slučajevi jednako mogući, dakle jednako vjerojatni.

VJEROJATNOST SLUČAJNOGA DOGAĐAJA

Odakle dolazi u matematici?

IGRE NA SREĆU

UŽITAK, ZABAVA

​

OPASNOSTI

​

PONOVIMO

• Vjerojatnost izražavamo brojem između 0 i 1.
• Nemoguć događaj ima vjerojatnost 0.
• Siguran događaj ima vjerojatnost 1.
• Vjerojatnost nekog slučajnog događaja predstavlja omjer broja povoljnih te ukupnih elementarnih događaja.

​

​

DOMAĆA ZADAĆA

• Udžbenik, stranica 95/96:

Zadatak: 110, 111, 115, 116, 118, 119

Riješi kviz, qr kod na listiću.

UPAMTI!

• SLUČAJNI POKUS je pokus koji pri ponavljanju, uz iste uvjete, nepredvidivo daje različite rezultate (ishode).

​

• SLUČAJNI DOGAĐAJ jest događaj koji se pri izvođenju pokusa može dogoditi.

​

• ELEMENTARNI DOGAĐAJ jest mogući ishod pokusa koji nije moguće razložiti na jednostavnije događaje.

​

DODATNI ZADATCI/zadatci za rad u nastavku

• IGRE NA SREĆU
• BACANJE DVAJU NOVČIČA
• ABRAKADABRA
• UDŽBENIK – STR. 96, ZADATAK 118, 120

​

BACANJE DVAJU NOVČIĆA

• Kolika je vjerojatnost da pri bacanju dvaju novčića točno jednom padne pismo?

Koji su mogući elementarni događaji?

�Na svaki listić upisano je po jedno slovo riječi ABRAKADABRA. Kolika je vjerojatnost da je izvučen listić na kojemu je:

1. slovo A
2. slovo B
3. slovo A ili slovo B
4. slovo Z
5. neko slovo abecede?

BACANJE DVAJU NOVČIĆA

• Kolika je vjerojatnost da pri bacanju dvaju novčića točno jednom padne pismo?

Elementarni

događaji:

BACANJE DVAJU NOVČIĆA

• Kolika je vjerojatnost da pri bacanju dvaju novčića točno jednom padne pismo?

​

• Rješenje.� Ukupan broj elementarnih događaja: 4

Broj događaja koji nam odgovaraju: 2

���Rješenje:

1. slovo A, P(A) = 5/11
2. slovo B, P(B) = 2/11
3. slovo A ili slovo B , P(C) = 7/11
4. slovo Z, P(D) = 0/11 = 0
5. neko slovo abecede? P(E)=1/1=1

AKO IZVUČENO SLOVO NE BI SMO VRATILI U VREĆICU, DA LI BI VJEROJATNOST BILA ISTA?

ŽETONI

U neprozirnoj vrećici nalaze se 23 crna žetona i 32 crvena žetona, ukupno 55 žetona. �

1. Kolika je vjerojatnost da će se pri jednom izvlačenju izvući žuti žeton?
2. Kolika je vjerojatnost da će se pri jednom izvlačenju izvući crni ili crveni žeton?

Dopuni tablicu stavljajući znak + kod pripadajućeg odgovora.