Estimação de parâmetros

Aula 05

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Prof. Christopher Freire Souza

Centro de Tecnologia

Universidade Federal de Alagoas

www.ctec.ufal.br/professor/cfs

Objetivos

• Desenvolver habilidades para estimar valores de parâmetros
• Promover o entendimento do que são intervalos de confiança
• Desenvolver habilidades para estimar tamanhos amostrais

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Relevância do conteúdo

• Estimação de parâmetros serve a dois propósitos:
• Comparar populações
• Ajustar modelos de distribuição de probabilidades a dados amostrais no intuito de permitir interpolações e extrapolações sobre freqüências de ocorrência de valores.

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Conteúdo

• Características dos estimadores
• Estimação Pontual
• Intervalos de confiança
• Margem de Erro
• Tamanhos amostrais

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Características dos estimadores

• Consistência –

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• Ausência de viés –

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• Eficiência –

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Estimadores pontuais

• Método gráfico
• Método dos momentos
• Método dos mínimos quadrados
• Método da máxima verossimilhança

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Método gráfico

• Papéis de probabilidade e posição de plotagem definida via estimativa empírica de probabilidade

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0,50

Método gráfico

• Estimativa de parâmetros a partir da relação entre equação da reta e variáveis dispostas nos eixos
• Gumbel:
• Inversa:

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Método gráfico

• Grau de linearidade dos dados dispostos no gráfico serve à avaliação do ajuste ao modelo de distribuição para o qual foi elaborado o papel de probabilidade
• Quantidade de dados pode levar as posições de plotagem de probabilidades a valores que mais aproximem dados à reta

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Método gráfico

• Ajuste de reta aos dados dispostos segundo fórmula de posição de plotagem (q_i é a probabilidade empírica)

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Método dos Momentos

• Aproxima-se a estimativa de parâmetros populacionais por meio de estimativas de momentos amostrais.
• Os “m” coeficientes de um modelo de distribuição de probabilidades podem ser aproximados pelas equações dos “m” primeiros momentos amostrais.

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Método dos Momentos

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Método dos Mínimos Quadrados

• Estimação dos coeficientes de um modelo de distribuição, e.g., ŷ_i=a+b^.x_i, para minimizar os quadrados das diferenças (e_i) entre valores de frequências amostrais (y_i) e estimadas por meio de funções densidade de probabilidades (ŷ_i).

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• Estimativa de coeficientes a partir de valores de mínimas diferenças a partir de:

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Método da Máxima Verossimilhança

• Função de verossimilhança definida como a probabilidade conjunta de obter coincidentemente/concomitantemente a melhor aproximação da função aos dados

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• O valor do coeficiente que resulta nas melhores estimativas é obtido para um valor de máximo da função de verossimilhança, sendo estimado a partir do seu valor para quando a derivada é nula.
• É frequente o emprego do logaritmo

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Método da Máxima Verossimilhança

• A solução de funções de máxima verossimilhança por vezes demanda esforço formidável
• Uma alternativa tem sido a aplicação de soluções iterativas que consistem em adequar a equação para uma expressão do tipo , quando originalmente se apresentava a equação

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• A estratégia consiste em adotar valor para x e identificar quando ϕ(x) se aproxima de x, alterando o valor de x iterativamente.

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f(x) = ϕ(x) – x

ϕ(x) = x

Comparação de métodos

• Máxima verossimilhança sugere parâmetros considerados mais eficientes. Para pequenos tamanhos de amostra, a qualidade do estimador é comparável ou inferior ao de outros métodos.
• Método dos momentos é mais simples, mas seus parâmetros apresentam qualidade inferior para funções com 3 ou mais parâmetros.

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Caso em estudo: Paraná em Itaipú

• Desenvolvido por Gláucia Nascimento e Christopher Souza
• Séries de vazões naturais para anos hidrológicos de cheias entre 1962 e 2006
• Ajuste do modelo GEV a máximos anuais
• Uso da função “gevfit” (máxima verossimilhança) para sugestão de valor inicial dos coeficientes
• Modificação do parâmetro θ₁ pela soma dos valores apresentados na legenda

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Caso em estudo: Paraná em Itaipú

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Intervalos de confiança

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“Estamos 95% confiantes de que o intervalo ± E contém o valor de θ”

Intervalos de confiança (proporção)

• Requisitos:
• Amostra aleatória simples.
• Condições para a distribuição binomial satisfeitas.
• Haver pelo menos 5 sucessos e 5 fracassos, o que permite aproximar pela distribuição normal
• Associa-se um grau de confiança, e.g. 95%, de que o valor do parâmetro de proporção esteja inserido no intervalo construído a partir da proporção amostral

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Intervalos de confiança�(μ, para σ conhecido)

• Requisitos:
• Amostra aleatória simples.
• Teorema do limite central (Normal se não houver outlier e histograma ~ forma de sino)
• Associa-se um grau de confiança, e.g. 95%, de que o valor do parâmetro de média esteja inserido no intervalo construído a partir da média amostral

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Intervalos de confiança�(μ, para σ desconhecido)

• Requisitos:
• Amostra aleatória simples.
• Teorema do limite central (Normal se não houver outlier e histograma ~ forma de sino)
• Associa-se um grau de confiança, e.g. 95%, de que o valor do parâmetro de média esteja inserido no intervalo construído a partir da média amostral

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• Margem de Erro
• População infinita

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• População finita

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Intervalos de confiança (σ²)

• Requisitos:
• Amostra aleatória simples.
• Distribuição normal mesmo para grandes amostras
• Associa-se um grau de confiança, e.g. 95%, de que o valor do parâmetro de variância esteja inserido no intervalo construído a partir da variância amostral
• Estima-se desvio populacional a partir da raiz da estimativa do parâmetro de variância

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Bootstrap

• Não tem pré-requisitos
• Consiste na obtenção de estatísticas amostrais de reamostragens de n valores da amostra com repetição

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• Estima-se intervalos de confiança a partir do valor de percentis

• Exemplo de dados não-normais
• 2,9 564,2 1,4 4,7 67,6 4,8 51,3 3,6 18,0 3,6

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• Exemplo de uma replicação
• 2,9 3,6 1,4 18,0 67,6 4,8 51,3 3,6 18,0 3,6

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