MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

1

23.08.2024

DÜZLEM

GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ VE

2D MOHR ÇEMBERİ

(Bu konu örneklerle Video 6.a da anlatılmıştır.)

*Videolara erişim sayfası: mehmetzor.com/Dersler/Mukavemet/Ders Eğitim Videoları

6.1

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

2

23.08.2024

6.1.1 Konu içeriği ve Amaç

6.1 Düzlem Gerilme Dönüşümler ve Mohr Çemberi

Biz burada sadece düzlem gerilme durumu için bu işlemleri yapmayı öğreneceğiz. Yeri geldiği zaman 3 boyutlu duruma da değineceğiz.

Şekil 6.1.1.c

Şekil 6.1.1.b

Şekil 6.1.1.a

6.1.2 Düzlem Gerilme Durumu

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

3

23.08.2024

Yapısal bir elemanın veya makine parçasının dış-serbest yüzeyinde düzlem gerilme durumu ortaya çıkar.

Düzlem Gerilme Durumu

Örneğin ince bir plakada orta düzlemde etkiyen ve düzleme paralel kuvvetlerden dolayı düzlem gerilme durumu oluşur.

• İnce cidarlı basınçlı tank ve tüplerde de düzlem gerilme durumu söz konusudur.

Bir Q noktasında sadece σ_x , σ_y , τ_xy gerilmeleri mevcutsa , bu gerilmelerin hepsi x-y düzleminde olduğundan bu noktada düzlem gerilme durumu söz konusudur diyebiliriz.

6.1 Düzlem Gerilme Dönüşümler ve Mohr Çemberi

Şekil 6.1.2.a

Şekil 6.1.2.b

Şekil 6.1.2.c

Şekil 6.1.3.a

Şekil 6.1.3.b

Şekil 6.1.3.c

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

4

23.08.2024

Bir noktada düzlem gerilme durumunun oluştuğu ve gerilme bileşenlerinin(σ_x , σ_y , τ_xy ) bilindiğini düşünüyoruz. Şimdi, aynı noktada farklı bir düzlemdeki (normali x’ olan ve +x ekseni ile θ açısı yapan K düzlemindeki) σ_x’, τ_x’y’ gerilme bileşenlerini veren denklemleri çıkaracağız. Ayrıca K düzlemine dik düzlemdeki σ_y’ gerilmesinin denklemini de elde edeceğiz. İşte çıkaracağımız bu denklemler «düzlemde gerilme dönüşüm denklemleri» olarak isimlendirilir.

6.1.3 Düzlemde Gerilme Dönüşüm Denklemleri:

x-y düzleminden bakış

6.1 Düzlem Gerilme Dönüşümler ve Mohr Çemberi

x’

y’

θ

Şekil 6.1.4.b

Şekil 6.1.4.c

Şekil 6.1.4.a

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

5

23.08.2024

Buradan K düzlemindeki normal gerilme:

( 6.1.1 )

K düzlemindeki kayma gerilmesi:

( 6.1.2 )

Parçaya gelen iç kuvvetler ve bileşenleri

(Önden görünüş)

K düzlemi

6.1 Düzlem Gerilme Dönüşümler ve Mohr Çemberi

K düzlemine dik düzlemdeki normal gerilme:

( 6.1.3 )

Çıkarılan parçanın alanları ve gerilmeler

gerilme x alan=iç kuvvet

Şekil 6.1.5

Şekil 6.1.6

Şekil 6.1.7

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

6

23.08.2024

Yukarıdaki trigonometrik dönüşüm bağıntıları

6.1.1, 6.1.2 ve 6.1.3 denklemlerinde yerine koyarsak;

( 6.1.4 )

( 6.1.5 )

( 6.1.6 )

6.1 Düzlem Gerilme Dönüşümler ve Mohr Çemberi

Aslında şu aşamada 6.1.1, 6.1.2 ve 6.1.3 denklemleriyle amacımıza ulaştık. Yani herhangi bir düzlemdeki (K düzlemindeki) gerilme bileşenlerini elde ettik. Bundan sonra bu formülleri biraz daha düzgün forma getireceğiz ve geometrik bir ifade (Mohr Çemberi) haline dönüştüreceğiz:

Şekil 6.1.8

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

7

23.08.2024

61..4 denkleminde, sağdaki ilk terimi sola atılır ve sonra her iki tarafın karesi alınır. 6.1.5 denkleminin de her iki tarafının karesi alınarak bu iki eşitlik taraf tarafa toplanırsa parametrik bir daire denklemi elde edilir.

x

a

y

Bu denklemi x ekseni üzerinde bir çemberin denklemine benzetebiliriz; (b=0)

6.1.4 Mohr Çemberi

Aslında bir noktada sonsuz tane θ açısı ve dolayısıyla sonsuz tane düzlem vardır. Bu düzlemlerin hepsi bir çember ile ifade edilebilir ve bu çemberden herhangi bir düzlemdeki gerilme bileşenleri bulunabilir. Şöyle ki:

b

( 6.1.7 )

6.1 Düzlem Gerilme Dönüşümler ve Mohr Çemberi

ve bu çembere Mohr Çemberi ismi veririz.

Mohr Çemberi

Mohr Çemberi bir noktadaki tüm düzlemlerdeki gerilme bileşenlerinin geometrik ifadesidir. (Nasıl çizilebileceği ve çember üzerinden gerilmelerin nasıl bulunacağı bir sonraki sayfada özetlenmiştir..)

Şekil 6.1.9

Şekil 6.1.10

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

8

23.08.2024

Mohr Çemberi Çizim Sırası:

Önemli Noktalar:

1. Mohr Çemberinde bulunduğumuz nokta D₁ dir. Gerilme elemanı (kare eleman) üzerinde ise D₁ düzlemi sağdaki düşey düzlemdir.
2. Kayma gerilmesinin işareti: Kayma gerilmesinin yönü sağ düzlemde (D1 düzleminde) aşağı doğru ise, işareti mohr çemberinde pozitif, denklemlerde negatif alınır.

6.1.4.1 Mohr Çemberinin Çizimi ve Kullanımı

Bir noktada düzlem gerilme durumu (σ_x , σ_y , τ_xy ) belli iken mohr çemberi çizilebilir.

σ

τ

C

D₁(σ_x , τ_xy)

D₂(σ_y , -τ_xy)

σ_x

τ_xy

−τ_xy

σ_y

6.1 Düzlem Gerilme Dönüşümler ve Mohr Çemberi

2θ

6.1.4.1.1 - 1.Yöntem (Gerilme Bileşenleri yardımıyla) :

1- D₁ (σ_x , τ_xy) noktası belirlenir.

2- D₂ (σ_y , - τ_xy) noktası belirlenir.

3- D₁-D₂ çizgisi çizilir.

4- C merkezli çember çizilir.

( 6.1.8 )

> 0 (Mohr çemberinde)

< 0 (denklemlerde)

3. Gerçekte normali +x ekseni ile θ açısı yapan düzlem, Mohr çemberinde D₃ noktasına karşılık gelir. D₃ ün mohr çemberindeki koordinatları, o düzlemdeki normal gerilmeyi (σ_x’) ve kayma gerilmesini (τ_{x’ y’}) verir. D₃ e ulaşmak için mohr çemberinde gerçektekiyle aynı yönde 2θ kadar bulunduğumuz nokta (D₁) den dönülür.

4. Mohr Çemberi ölçekli çizildiğinde herhangi bir düzlemdeki gerilme bileşenlerini ölçerek bulabiliriz. Veya ölçekli çizilmezse mohr çemberinden geometrik hesaplarla da bulabiliriz. (Veya mohr çemberi yerine daha önce çıkardığımız 6.1.1 den 6.1.7 ye kadar olan denklemleri kullanabiliriz.)

τ_xy

Şekil 6.1.11

Şekil 6.1.12

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

9

23.08.2024

(CD₁σ_x üçgeninden)

6.1.4.1.2 Asal Gerilmeler (Principle Stresses) ve Düzlemleri

( 6.1.9 )

( 6.1.10 )

6.1 Düzlem Gerilme Dönüşümler ve Mohr Çemberi

Asal gerilme düzlemlerinin açısı :

Asal gerilmelerin hesaplanması :

Şekil 6.1.13

Şekil 6.1.14

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

10

23.08.2024

6.1.4.1.4 Maksimum kayma gerilmesi- τ_max

veya

( 6.1.11 )

( 6.1.12 )

Dikkat : Burada 6.1.11 veya 6.1.12 denklemlerinden hesaplanan τ_max-xy , x-y düzlemindeki kayma gerilmelerinin en büyük değeridir. Ancak x-y düzleminde olmayan 3ncü boyuttaki doğrultularda daha büyük kayma gerilmelerinin ortaya çıkma ihtimali vardır. O halde maksimum kayma gerilmesinin tespiti için bunların da hesaplanması şarttır. Bunun için ise incelediğimiz düzlem gerilme durumuna ait 3 boyutlu mohr çemberini çizmemiz gerekir ki şimdi bunu anlatacağız….. >>

​

​

​

xy düzlemindeki kayma gerilmelerinin maksimumu

• Not: Maksimum kayma gerilmesini belirlemek ileride göreceğimiz Tresca akma kriterini kullanırken önem arz eder.

6.1 Düzlem Gerilme Dönüşümler ve Mohr Çemberi

6.1.4..1.3 Mohr çemberi çizimi için 2. Yöntem: (Asal Gerilmeler Yardımıyla)

Şekil 6.1.15

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

11

23.08.2024

Bu asal gerilmeler τ − σ eksen takımında yatay eksene yerleştirilir ve aralarında 3 çember çizilerek 3 boyutta mohr çemberi elde edilmiş olur (üstteki şekil).

3 boyutlu mohr çemberi aslında Mukavemet 2 dersinde daha detaylı anlatılmaktadır.

Burada detaylara girmeden kısaca özetlenecektir:

6.1 Düzlem Gerilme Dönüşümler ve Mohr Çemberi

Düzlem gerilme durumu için 3 boyutlu Mohr çemberi nasıl çizilir?..>>

• (3 boyutlu gerilme hali için asal gerilmeler hesaplamaları Mukavemet 2 dersinde gösterilmektedir.)

Şekil 6.1.16

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

12

23.08.2024

Örneğin x-y düzlemindeki bir düzlem gerilme durumu için 6.1.9 denkleminden asal gerilmeleri

σ_max=50MPa,

σ_min=20MPa

olarak bulduğumuzu kabul edelim. Bu asal gerilmelerin x-y düzleminde olduğunu unutmayalım.

σ₁=50MPa,

σ₂=20MPa,

σ₃=0

Bu durumda maksimum kayma gerilmesi:

x-y düzleminde çizilen mohr çemberi

Farklı örnekler çözdükçe konu daha iyi anlaşılacaktır..>>

olarak bulunur.

6.1 Düzlem Gerilme Dönüşümler ve Mohr Çemberi

3 tane asal gerilme büyükten küçüğe şu şekilde olacaktır:

• 3ncü asal gerilme ise düzlem gerilme durumu için sıfırdır.

Niçin ısrarla τ_max değerini bulmaya çalışıyoruz?

Cevabi 7nci konuda daha netleşecektir. (Tresca kriteri ile ilgilidir)

Şekil 6.1.17

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

13

23.08.2024

Örnek 6.1.1

Şekildeki düzlem gerilme durumu için Mohr Çemberini çizerek (a) asal gerilmeleri ve doğrultularını/düzlemlerini, (b) maksimum kayma gerilmesini bulunuz.

a-) Asal gerilmeler ve düzlemleri denk. 6.1.9 dan:

σ

D₁

C

τ

D₂

σ_max

σ_min

2θ_p

τ_max-xy

-10

50

-40

40

O

A

B

Çözüm:

D1(50,−40)

D2 (-10, 40)

D₁ (σ_x , τ_xy)

D₂ (σ_y , - τ_xy)

Sağ düzlemdeki τ_xy yukarı doğru olduğundan Mohr çemberinde negatiftir.

x-y düzlemindeki mohr çemberi 1. yöntemle aşağıdaki gibi çizebiliriz:

3 boyutlu mohr çemberini çizelim:

σ₁=70MPa,

σ₂=0,

σ₃=-30MPa

x-y düzlemindeki mohr çemberi

en büyük çember çıktığını farkedin.

τ_max =τ_max-xy=50MPa

b-)

6.1 Düzlem Gerilme Dönüşümler ve Mohr Çemberi

Bu sebeple :

Şekil 6.1.18

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

14

23.08.2024

6.1 Düzlem Gerilme Dönüşümler ve Mohr Çemberi

σ

C

τ

σ_max

σ_min

2θ_p

τ_max-xy

O

D₁(100, 48)

D₂ (60, −48)

D₁ (σ_x , τ_xy)

D₂ (σ_y , - τ_xy)

a)

D₁(100, 48)

D₂ (60, −48)

b)

Çözüm

Örnek 6.1.2 ^{(video 6a, örn.6.1)} Şekildeki düzlem gerilme durumu için ; a) Mohr Çemberini çiziniz. b) x-y düzlemindeki maksimum kayma gerilmesini, asal gerilmeleri ve doğrultularını bulunuz. c) normali +x ekseniyle 30° açı yapan yüzeydeki gerilmeleri bulunuz. d) Bu noktadaki maksimum kayma gerilmesini bulunuz.

(x-y düzlemindeki max. kayma gerilmesi)

Şekil 6.1.19

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

15

23.08.2024

6.1 Düzlem Gerilme Dönüşümler ve Mohr Çemberi

veya Analitik formüllerden

( τ_xy <0 alınır)

σ

C

τ

σ_max

σ_min

2θ_p

τ_max-xy

O

A

B

D₁(100, 48)

D₂ (60, −48)

D₃

K

d)

3 boyutlu Mohr çemberini çizersek,

σ₁=132MPa,

σ₂=28MPa,

σ₃=0

σ₂=28

a şıkkında çizilen x-y düzlemindeki mohr çemberi

τ_max

τ (MPa)

τ_max-xy

σ₃=0

σ (MPa)

σ₁=132

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

16

23.08.2024

a- Çeki-Bası veya Basit Eğilme

b- Kesme veya Burulma

6.1.6 Tek tip yükleme durumlarında Mohr Çemberi

6.1 Düzlem Gerilme Dönüşümler ve Mohr Çemberi

D₂ (0, 0)

D₁ (σ_x , τ_xy)

D₂ (σ_y , - τ_xy)

D₁(σ_x , 0)

Çekme testinde bir noktadaki mohr çemberi

Akma sınırında

Akma olmadan önce:

D₁ (σ_x , τ_xy)

D₂ (σ_y , - τ_xy)

D₂ (0 , - τ_xy)

D₁ (0 , τ_xy)

Herhangi bir anda:

Bu tip yüklemelerde sadece kayma gerilmesi ortaya çıkar.

Sünek malzemelerde kaymadaki akma gerilmesinin çeki akma gerilmesinin yarısına eşit olduğunu bu çemberden ispat etmiş olduk.

Şekil 6.1.20

Şekil 6.1.21

Şekil 6.1.22

Şekil 6.1.23

Şekil 6.1.24

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

17

23.08.2024

Bölümle İlgili Cevaplı Sorular

a-) 2 ve 3 Boyutlu Mohr Çemberlerini çiziniz.

b-) Asal Gerilme ve doğrultularını,

c-) Maksimum kayma gerilmesini,

d-) Taralı k düzlemindeki gerilme bileşenlerini hesaplayınız.

Cevaplar

b-) σ_max = 59.08MPa, σ_min = -49.08MPa, θ_p=16.84^o

c-) τ_max = 54.08MPa

d-) ( τ _x’y’)_k = -23.96 MPa, (σ_x’) _k=-43.47MPa,

6.1 Düzlem Gerilme Dönüşümler ve Mohr Çemberi

Soru 6.1.3

Şekilde düzlem gerilme durumu gösterilen nokta için;

Şekil 6.1.25

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

18

23.08.2024

6.1 Düzlem Gerilme Dönüşümler ve Mohr Çemberi

Cevaplar:

b-) σ_max =144MPa, σ_min =36MPa, θ_P =28.15^ο ,

c-) τ_max =54MPa, d-) σ_x’ =142MPa, τ_x’y’=15.2MPa,

Soru 6.1.4*

Gerilme dönüşüm denklemlerini kullanarak,

a-) Asal gerilmeler ve doğrultularını bulunuz

b-) Maksimum kayma gerilmesini bulunuz.

c-) Taralı c düzlemindeki normal ve kayma gerilmelerinin değerini hesaplayınız.

Verilen gerilme durumu için;

Şekil 6.1.26

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

19

23.08.2024

Soru 6.1.5 Şekildeki verilen düzlem gerilme durumu için;

a) Mohr çemberini çiziniz.

b) Asal gerilme değerlerini ve doğrultularını bularak

şekil üzerinde gösteriniz.

c) c düzlemindeki normal ve kayma gerilmelerini bulunuz ve Mohr çemberi üzerinde bu düzleme karşılık gelen noktayı gösteriniz.

6.1 Düzlem Gerilme Dönüşümler ve Mohr Çemberi

*Bu sorunun çözümünü mehmetzor.com sitesinde endüstri müh. 2009 Final sinavi pdf dosyasında bulabilirsiniz.

Şekil 6.1.27