Divisible par 29

Divisible par 5

Divisible par 17

899

291

975

240

323

568

951

857

857

Un seul des nombres suivants est premier. Lequel? (Justifier)

= 2 × 3 × 3

2 × 9

• 18 =

2 × 21

• 42 =

= 2 × 3 × 7

5 × 25

• 125 =

= 5 × 5 × 5

2 × 36

• 72 =

= 2 × 6×6

= 2 × 2×3 × 2×3

4 × 4

• 16 =

= 2 × 2 × 2 × 2

2 × 49

• 98 =

Décomposer ces nombres en produit de facteurs premiers

• 390 =

39 × 10 =

3 × 13 × 2 × 5

= 2⁴

= 2 × 3²

= 5³

= 2³ × 3²

= 2 × 7×7

= 2 × 7²

= 2 × 3 × 5 × 13

• 387 =

3 × 129 =

3 × 3×43

= 3² × 43

19074 =

​

2772 =

156 =

2772 = 2² × 3² × 7 × 11

​

19074 = 2 × 3 × 11 × 17²

​

÷ 2

÷ 2

÷ 3

÷ 13

156 = 2² × 3 × 13

Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres suivants:

(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 ….)

651 = 3 × 7 × 31

On dispose de 651 bonbons bleus et de 465 bonbons rouges

a) Décomposer 651 et 465 en produits de facteurs premiers

b) Combien peut-on faire au maximum de sachets identiques contenant des

bonbons bleus des rouges? (en les utilisant tous)

Combien y-a-t’il de bonbons bleus et rouges dans chaque sachet?

465 = 3 × 5 × 31

Le plus grand diviseur commun est:

On peut donc faire 93 sachets identiques

Chaque sachet contient:

3 × 31 = 93

(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 ….)

Un professeur organise une sortie au Futuroscope pour ses élèves de troisième.

Il veut répartir les 126 garçons et les 90 filles par groupes. Il souhaite que chaque groupe comporte le même nombre de filles et le même nombre de garçons.

a) Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres 126 et 90

b) Trouver tous les entiers qui divisent à la fois les nombres 126 et 90

c) En déduire le plus grand nombre de groupes que le professeur pourra constituer.

Combien de filles et de garçons y aura-t-il alors dans chaque groupe ?

(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 ….)

126 = 2 × 63 = 2 × 9 × 7 = 2 × 3 × 3 × 7

90 = 9 × 10 = 3 × 3 × 2 × 5 = 2 × 3 × 3 × 5

Les diviseurs communs sont :

2

3

6

18

Le plus grand diviseur commun est 18 donc le prof pourra faire 18 groupes au maximum

Il y aura 126 ÷ 18 = 7 garçons

et 90 ÷ 18 = 5 filles

126 garçons

90 filles

9

et 1 (Toujours diviseur commun)

a) Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres 126 et 90

b) Trouver tous les entiers qui divisent à la fois les nombres 126 et 90

c) En déduire le plus grand nombre de groupes que le professeur pourra constituer.

Combien de filles et de garçons y aura-t-il alors dans chaque groupe ?

Deux ampoules clignotent. L’une s’allume toutes les 153 secondes et l’autre toutes les 187 secondes. À minuit, elles s’allument ensemble. Détermine l’heure à laquelle elles s’allumeront de nouveau ensemble.

153 s

306 s

459 s

612 s

765 s

918 s

1071 s

1224 s

1377 s

1530 s

1683 s

1836 s

187 s

374 s

561 s

748 s

935 s

1122 s

1309 s

1496 s

1683 s

1870 s

3 × 3 × 17

× 11

= 1683^ème s

= 28 min et 3s

Elles s’allumeront ensemble à 00h28min03s

Méthode longue

Méthode rapide

a. Peut-elle faire 36 paquets ?

b. Quel est le nombre maximum de paquets qu’elle peut réaliser ?

c. Combien de cartes de chaque type contient alors chaque paquet ?

Non car 36 n’est pas un diviseur de 156 (156÷36 ≈ 4,33)

Le plus grand nombre de paquets correspond au plus grand diviseur commun de 252 et 156 (le PGCD)

Le plus grand diviseur commun de 252 et 156 est donc 2 × 2 × 3 =12 paquets

252 ÷ 12 = 21 cartes type feu

156 ÷ 12 = 13 cartes type terre

Un club de natation propose un après-midi découverte pour les enfants.

PARTIE A La présidente du club veut offrir des petits sachets cadeaux tous identiques contenant des autocollants et des drapeaux avec le logo du club.

Elle a acheté 330 autocollants et 132 drapeaux et veut tous les utiliser.

Elle veut que, dans chaque sachet, il y ait exactement le même nombre d’autocollants et que, dans chaque sachet, il y ait exactement le même nombre de drapeaux.

1. Pourquoi n’est-il pas possible de faire 15 sachets ?

2. a. Décomposer 330 et 132 en produits de facteurs premiers.

2. b. En déduire le plus grand nombre de sachets que la présidente pourra réaliser.

2. c. Dans ce cas, combien mettra-t-elle d’autocollants et de drapeaux dans chaque sachet ?

Non car 132 n’est pas divisible par 15 (132÷15 = 8,8)

330 = 2 × 3 × 5 × 11

​

132 = 2 × 2 × 3 × 11

​

Le plus grand diviseur commun est donc 2 × 3 × 11 = 66

​

330 ÷ 66 = 5 autocollants

132 ÷ 66 = 2 drapeaux

Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres: 3375, 11088 et 57222

3375 = 3³ × 5³

11088 = 2⁴ × 3²× 7 × 11

57222 = 2 × 3² × 11 × 17²

÷ 2

÷ 2

÷ 2

÷ 2

÷ 3

÷ 3

156 = 2⁴ × 3²

​

​

÷ 3

÷ 5

÷ 13

195 = 3 × 5 × 13

Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres: 156 et 195

(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 ….)

Vérification à la calculatrice

​

(Ou si aucune justification n’est demandée)

​

Taper 11475

“EXE”

“SECONDE”

“Décomp”

Le capitaine d'un navire possède un trésor constitué de

69 diamants, 1150 perles et 4140 pièces d'or.

​

1. Décomposer 69 , 1150 et 4140 en produits de facteurs premiers.

2. Le capitaine partage équitablement le trésor entre les marins.

Combien y-a-t-il de marins sachant que toutes les pièces, perles et

diamants ont été distribués ?

3. Combien de diamants, de perles et de pièce d’or ont eu chaque marin?

(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 ….)

Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres: 69, 1150 et 4140

69 = 3 × 23

1150 = 2 × 5 × 5 × 23

4140 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 23

Il faut diviser 69, 1150 et 14140 en parts égales.

On doit trouver un diviseur commun à ces 3 nombres.

23 est le seul diviseur commun aux trois nombres donc il y a forcément 23 marins

Chaque marin aura:

69÷23 = 3 diamants

1150÷23 = 50 perles

4140÷23 = 180 pièces d’or

Un carreleur doit poser le carrelage dans une pièce rectangulaire mesurant 6,48 m de large sur 13,50 m de long. Il souhaite poser des carreaux de carrelage carré, les plus grands possibles et ne faire aucune découpe.

​

Quelle sera la dimension des carreaux et combien de carreaux faut t’il?

On doit chercher une dimension de carreau qui divise 648 cm et 1350 cm et qui soit le plus grand possible. On cherche donc le PGCD de 648 et 1350

648 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3

1350 = 2 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5

Le plus grand diviseur commun à 648 et 1350 est donc 2 × 3 × 3 × 3= 54

Le carreau carré aura donc une dimension maximum de 54 cm de côté

En longueur, il pourra en mettre 1350 ÷ 54 = 25

En largeur, il pourra en mettre 648 ÷ 54 = 12

Il faudra donc 25 × 12 = 300 carreaux

1350 cm

648 cm

= 54 cm × 25

= 54 cm × 12

Il faudra donc 25 × 12 = 300 carreaux

Rendre une fraction irréductible

On cherche la fraction irréductible (simplifiée au maximum)

Méthode: On décompose les 2 nombres en produit de facteurs premiers, puis on simplifie

Irréductible

Rendre une fraction irréductible

On cherche la fraction irréductible (simplifiée au maximum)

Méthode: On décompose les 2 nombres en produit de facteurs premiers, puis on simplifie

Irréductible

648 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3

1350 = 2 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5

69 = 3 × 23

1150 = 2 × 5 × 5 × 23

4140 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 23

434 = 2 × 7 × 31

​

620 = 2 × 2 × 5 × 31

2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3

3 × 23

2 × 7 × 31

× 5

× 5

× 2

× 5

× 5

× 2

× 3

× 2

× 5

Un terrain rectangulaire a pour dimensions 966 m et 1008 m.

Sur ses côtés, on veut planter des arbres régulièrement espacés d'un nombre entier de mètres. Il doit y avoir un arbre à chaque coin du terrain.

Quel est le nombre minimum d'arbres que l'on pourra planter ?

Un seul des nombres suivants est premier. Lequel?

1067 1521 439 195 742 437 567 8360

Divisible par 5

Divisible par 19

Divisible par 11

Un fleuriste doit réaliser des bouquets tous identiques.

Il dispose pour cela de 434 roses et 620 tulipes.

Quelles sont toutes les compositions de bouquets possibles ?

​

434 roses = 2 × 7 × 31

Etape 1: Décomposer chacun des nombres en produit de facteurs premiers

Etape 2: Repérer les facteurs communs et lister toutes les possibilités

620 tulipes = 2 × 2 × 5 × 31

(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 ….)

434 = 2 × 7 × 31

620 = 2 × 2 × 5 × 31

Pourquoi les nombres 368, 445, 507 et 91 ne sont-ils pas des nombres premiers ?

Citer un entier naturel qui a exactement trois diviseurs (pas plus) et préciser ces diviseurs :

Trouver le chiffre manquant pour que l’entier 142? soit divisible par 3 et 5. Est-il alors divisible par 9 ?

a) Un multiple de 10 est forcément un multiple de 5. Vrai ou Faux ? Justifier

b) La somme de 2 nombres premiers est toujours un nombre premier. Vrai ou Faux ? Justifier

Décomposer en produits de facteurs premiers:

​

16 =

24 =

18 =

70 =

98 =

45000 =

EX 1

EX 2

EX 3

EX 4

EX 5

Le plus grand diviseur commun à 651 et 465 est donc 3 × 31 = 93

On peut donc faire au maximum 93 équipes avec 7 habillés en noir et 5 en rouge

(Lecture directe ou on divise 651 ÷ 93 et 465 ÷ 93)

a) Décomposer 651 et 465 en produits de facteurs premiers

b) Lors du tournage d'un film, le réalisateur dispose de 651 figurants habillés en noir et de 465 habillés en rouge. Il doit former des équipes constituées de la manière suivante : dans chaque groupe, il doit y avoir le même nombre de figurants vêtus de rouge et le même nombre de figurants vêtus de noir.

Combien d’équipeLe nombre d'équipes doit être maximal.

Quelle sera la composition d'une équipe ?

Orchidée

Ficus

Bambous

Tous les 14 jours

Arrosage

Tous les 6 jours

Tous les 35 jours

J’arrose les 3 plantes aujourd’hui.

​

Dans combien de jours au minimun vais-je arroser les 3 plantes le même jour?

BONUS

14 = 2 × 7

6 = 2 ×3

35 = 5 × 7

69 = 3 × 23

1150 = 2 × 5 × 5 × 23

4140 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 23

69 = 3 × 23

1150 = 2 × 5 × 5 × 23

4140 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 23

1150 = 2 × 5 × 5 × 23

1150 = 2 × 5 × 5 × 23