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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

MATEMÁTICA AVANZADA

Tamia Cabascango

Génesis Cabrera

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TRANSFORMADA DE FOURIER DE FUNCIONES ESPECIALES

  • De función Impulso
  • De función constante
  • De función Escalón Unitario

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¿Qué es la transformada de Fourier?

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  • Condición suficiente para que exista la transformada o la integral de Fourier:

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f(t) tiene que ser absolutamente integrable.

Sin embargo la condición anterior no es la única que tiene que cumplirse.

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  • Las funciones que no vayan asintóticamente a cero cuando x → + ∞ y - ∞ , en general, no tienen TF.

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TRANSFORMADA DE FOURIER DE FUNCIONES ESPECIALES

Función impulso:

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FUNCIÓN IMPULSO

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  • El valor de la función delta también se puede definir en el sentido de función generalizada :

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  • Función impulso unitario b) Transformada de Fourier de la función impulso unitario

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  • La transformada de Fourier de la función impulso unitario es la unidad.

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  • Es evidente que la función impulso tiene una densidad espectral uniforme en todo el intervalo de frecuencia

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Transformada Inversa de Fourier para δ(t)

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b) Transformada de Fourier de la función impulso trasladada

  • Función impulso desplazada

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EJERCICIO

  • Hallar la transformada de Fourier de la función impulso desplazada

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Función impulso desplazada

Transformada de Fourier de la función impulso desplazada

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TRANSFORMADA DE FOURIER DE FUNCIONES ESPECIALES

Función constante:

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Transformada de Fourier para una función constante

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Se observa que esta función no satisface la condición:

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es decir que sea absolutamente integrable (no tiende rápidamente a cero).

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Transformada de Fourier para una función constante

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EJERCICIO

  • Hallar la transformada de Fourier de una función constante: ,Tal como se muestra en la siguiente figura:

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SOLUCIÓN

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SOLUCIÓN

Haciendo y=-w y x=t, entonces:

Sustituyendo en tenemos:

Puesto que y se obtiene:

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Gráficas de la función constante

Gráficas de la función constante:

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Función constante Transformada de la función constante

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Transformada de Fourier de las funciones seno y coseno.

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TRANSFORMADA DE FOURIER DE FUNCIONES ESPECIALES

Función Escalón unitario:

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FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO

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Transformada de Fourier para una función escalón unitario

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EJERCICIO

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EJERCICIO

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Gráficas de la función:

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Referencias bibliográficas:

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  • Hwei P.HSU (1970) “Análisis de Fourier” , Nueva York, Estados Unidos, Addison-wesley Iberoamericana

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  • Integral y transformada de Fourier. Recuperado el 20 de enero de: http://esaez.mat.utfsm.cl/inttrafu.pdf

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