MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor
1
23.08.2024
Kayma Merkezi
Kesmeli Basit Eğilmesinde
e
S
G
P
İnce Cidarlı, Simetrik Kesitli Kirişlerin
5.5
Video 5.5
MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor
2
23.08.2024
Kesmeli Eğilmede Kayma Merkezi
5.5.1 Hatırlatma ve uyarı: Bu konuyu anlayabilmek için 5.3 bölümünde anlatılmış olan «kesmeli eğilmede kayma gerilmesi (τ) ve kayma akısı (q) dağılımlarının» iyice kavranmış olması gerekir. Bu bölümdeki amacımız ise kesmeli basit eğilmeye maruz, ince cidarlı simetrik kesitli kirişlerde kayma merkezinin yerini tespit edebilmektir.
5.5.2 Kayma Merkezi Kavramı: A ucundan bir duvara betonlanmış (ankastre) bir kirişe, B serbest kesitinin ağırlık merkezinden geçecek şekilde yukarı doğru P tekil kuvveti uygulayalım. Herhangi bir C kesitindeki kesme iç kuvveti ve q akısı dağılımının alttaki gibi olacağını 5.3 konusunda öğrenmiştik.
P
S
C
A
B
D
G
q: kayma akısı. (Birim uzunluktaki iç kesme kuvveti N/mm)
P
S
q
q
qmax
G
B
C
D
devamı…>>
Şekil 5.5.1
Şekil 5.5.2
(5.3.3.b)
MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor
3
23.08.2024
Kesmeli Eğilmede Kayma Merkezi
P
S
q
a
d
f
k
q
qmax
G
B
C
D
i
n
m
q: kayma akısı:
V
F
F
P
G
S
z
y
C
D
e
b
h
h
V
F
F
P
G
S
z
y
C
D
b
h
h
Q: ilgili kısmın statik momenti
(Q değeri 5.3 konusunda açıklanmıştı. ilerideki sayısal örneklerde daha net anlaşılacaktır.)
qa=qk=0 ; qd > qi
qd =qf , qi =qm (simetriden)
qn =qmax (ağırlık merkezinde)
Kayma akısı yönü: a dan dolan suyun k ya doğru akması gibidir.
Şekil 5.5.3
Şekil 5.5.4
Şekil 5.5.5
MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor
4
23.08.2024
P yükü G’den uygulandığı için
Hem eğilme hem burulma oluşmuş.
P yükü S kayma merkezinden uygulandığı için
Sadece eğilme oluşmuş; burulma sözkonusu değil.
5.5.3 Kayma Merkezinin önemi için bir örnek:
Kesmeli Eğilmede Kayma Merkezi
Şekil 5.5.6
Şekil 5.5.7
MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor
5
23.08.2024
P
z
x
y
G
5.5.4 V doğrultusuna göre simetrik kesitlerde kayma merkezi: Bu tip kesitlerde, kayma merkezi (S) ile ağırlık merkezi (G) noktalarının her ikisi de, V doğrultusundaki simetri ekseni (y veya z ekseni) üzerinde olmakla birlikte; aynı veya farklı konumlarda olabilir. V doğrultusu y veya z eksenlerinden birisiyle çakışıktır. Alttaki örneklerde görüleceği üzere P dış kuvvetinin doğrultusu S’den geçtiği için statik denge denklemleri sağlanır ve G’ye göre moment (burulma momenti) de sıfır olacağından kirişte x etrafında dönme şekil değiştirmesi (çarpılma, bükülme) olmaz.
y
z
y
z
P
V
V/2
y
z
G
G,S
G,
V
F
F
F
F
P
P
V/2
S
S
V (bileşke)
Kesmeli Eğilmede Kayma Merkezi
Bu örnekte P ve V nin yatay olduğuna ve yine V doğrultusuna göre kesitin simetrik olduğuna dikkat ediniz.
F
F
Kayma akılarının kesitlerdeki akış yönlerinin neden bu şekillerde olduğunu anlamak için 5.3 konusunun incelenmesi gerekir.
F
F
S
Şekil 5.5.8
Şekil 5.5.9
Şekil 5.5.10
Şekil 5.5.11
MUKAVEMET I1 - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor
6
23.08.2024
Şekildeki ince cidarlı konsol kirişin kesit boyutları b=100 mm, h=150 mm ve
t=3 mm’dir. Kirişin serbest ucuna bağlanmış levhaya P=20 kN’luk düşey bir kuvvet uygulanacaktır.
Buna göre;
a-) Herhangi bir kesitteki kayma akısı dağılımını belirleyiniz.
b-) P kuvveti hangi e mesafesinden uygulanmalıdır ki, kirişte kendi ekseni (x) etrafında herhangi bir dönme (burulma)olmasın?
c-) Kayma gerilmelerinin dağılımını çizerek maksimum kayma gerilmesinin yerini ve şiddetini bulunuz.
b
h
t
G
A
B
D
E
O
t
Örnek 5.5.1
y
z
e
P
Kesmeli Eğilmede Kayma Merkezi
Şekil 5.5.12
Şekil 5.5.13
7
23.08.2024
Çözüm:
≈
b=100mm
h=150mm
t
A
B
D
E
z
y
G
t=3mm
Hesaplarımızda kullanmak üzere, öncelikle ağırlık merkezinden geçen z yatay eksenine göre atalet momentini hesaplamalıyız:
(t kalınlığından kaynaklı küçük farklar ihmal edilmiştir.)
Mukavemet Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor
Kesmeli Eğilmede Kayma Merkezi
A
z
web
flange
flange
b
G
y
t
t
Şekil 5.5.14
Şekil 5.5.15
MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor
8
23.08.2024
qf
qf
qw
A
B
D
E
b=100mm
t=3mm
h=150mm
G
y
z
A1=tz
AB ve DE flanşları için:
AB ve DE flanşlarındaki toplam iç kesme kuvvetleri:
a-) Herhangi bir kesitte:
Kesme kuvveti Statik dengeden V = P=20kN
A
B
D
E
Ff
Ff
V
Kesmeli Eğilmede Kayma Merkezi
A1 taralı alanının statik momenti :
(N/mm)
qf
Şekil 5.5.16
Şekil 5.5.17
MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor
9
23.08.2024
y mesafesindeki kayma akısı :
,
,
≈
Kesmeli Eğilmede Kayma Merkezi
(toplam taralı alanın statik momenti):
A’
y
z
G
t
t
b
qw
Ff
Ff
BD gövdesi için
y
A
B
D
E
qf
qw
h=150mm
b=100mm
qf
t=3mm
G
z
B
D
E
A
Fw=V=P
Şekil 5.5.18
Şekil 5.5.20
Şekil 5.5.19
MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor
10
23.08.2024
b-)
e
t
s
G
A
B
D
E
z
y
P=2kN
V
Ff
Ff
Kirişte kendi ekseni (x) etrafında herhangi bir dönme olmaması net burulma momentinin sıfır olmasıyla, bu ise P dış kuvvetinin kayma merkezinden uygulanmasıyla mümkündür. O halde bu şıkta bize S kayma merkezinin mesafesi ( e ) sorulmaktadır.
Kesmeli Eğilmede Kayma Merkezi
h=150mm
b=100mm
Şekil 5.5.21
Mukavemet Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor
11
23.08.2024
Üst ve alt flanşlardaki kayma gerilmesi dağılımı
Gövdedeki kayma gerilmesi dağılımı
c-)
t=3mm
A
B
D
E
z
y
G
t
Kesmeli Eğilmede Kayma Merkezi
h=150mm
b=100mm
Gerilme doğrultusu
Kesit normali
Gerilme yönü
Gerilme şiddeti
Gerilme şiddeti
Dış kısımdaki (kırmızı) oklar gerilmelerin şiddetini ve dağılımını göstermek içindir. Gerilmelerin gerçek yönü kesit üzerindeki (mavi) okların yönüdür.
(a şıkkında hesaplanmıştı)
Şekil 5.5.22