Пересечение и объединение
множеств
Что такое множество?
Множество- это группа предметов,
объектов или существ, обладающих
одинаковыми свойствами
1.Пересечение множеств
А- множество натуральных делителей числа 12,
В- множество натуральных делителей числа 18.
А={1,2,3,4,6,12},
В={1,2,3,6,9,18},
С- множество общих делителей чисел 12 и 18,
С={1,2,3,6}.
Говорят, что множество С является пересечением множеств А и В.
Множества А и В изображены на рисунке кругами.
Фигура, образовавшаяся при пересечении кругов, закрашенная на рисунке, изображает множество С.
Замечание.
Некоторые множества Х и Y не имеют общих элементов. Тогда говорят, что пересечением множеств Х и Y является пустое множество.
Ø- обозначение пустого множества.
И пишут тогда так: Х∩Y=Ø
Например:
А – множество карандашей,
В- множество ручек,
А∩В = Ø.
2.Объединение множеств�
А- множество натуральных делителей числа 12,
В- множество натуральных делителей числа 18.
А={1,2,3,4,6,12},
В={1,2,3,6,9,18},
D- множество, которому принадлежат все элементы множества А и все элементы множества В.
Т.е. D={1,2,3,4,6,9,12,18}.
Говорят, что множество D является объединением множеств А и В.
Множества А и В изображены на рисунке кругами.
Фигура, закрашенная на рисунке, является объединением множеств А и В.
Оса , летучая мышь, ворона, пингвин, бабочка, синица, страус, воробей,
Задача
Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов и они получили название «круги Эйлера». Эйлер писал тогда, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления».
Леонард Эйлер один из величайших математиков
XVIII ВЕКА.�Родился он в Швейцарии, много лет жил и работал в Петербурге, поэтому его можно считать русским ученым. За свою жизнь он написал более 800 работ по математике, физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки.
Оса , летучая мышь, ворона, пингвин, бабочка,
синица, страус, воробей.
А
В
А - множество птиц. В – множество тех, кто умеет летать
Оса , летучая мышь, ворона, пингвин, бабочка,
синица, страус, воробей.
воробей
ворона
синица
оса
страус
бабочка
летучая мышь
А
В
пингвин
А - множество птиц. В – множество тех, кто умеет летать
804. Множеством каких фигур является пересечение:
а) множества прямоугольников и множество ромбов –
Ответ: квадрат.
б) множества равнобедренных треугольников и множества прямоугольных треугольников –
Ответ: равнобедренный прямоугольный треугольник
Запомни!
Множества не пересекаются:
Одно множество является подмножеством другого:
Множества пересекаются:
Множества объединяются:
Множества.�Операции над множествами
«Множество есть многое, мыслимое нами как единое»
(основатель теории множеств –
Георг Кантор).
Примерами множеств могут служить:
а) множество всех натуральных чисел,
б) множество всех целых чисел (положительных, отрицательных и нуля),
в) множество всех рациональных чисел,
г) множество всех действительных чисел,
д) множество площадей треугольников,
е)множество четырехугольников,
«Парадокс брадобрея"
Одному солдату было приказано брить тех и только тех солдат его взвода, которые сами себя не бреют. Неисполнение приказа в армии, как известно, тягчайшее преступление. Однако возник вопрос, брить ли этому солдату самого себя. Если он побреется, то его следует отнести к множеству солдат, которые сами себя бреют, а таких брить он не имеет права. Если же он себя брить не будет, то попадёт во множество солдат, которые сами себя не бреют, а таких солдат согласно приказу он обязан брить. Парадокс.
Пустое множество
ПУСТОЕ МНОЖЕСТВО
Пустое множество – это множество, не содержащее
ни одного элемента.
А=Ø
1.ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ
А- множество натуральных делителей числа 24,
В- множество натуральных делителей числа 18.
А={1,2,3,4,6,8,12,24},
В={1,2,3,6,9,18},
С- множество общих делителей чисел 24 и 18,
С={1,2,3,6}.
Говорят, что множество С является пересечением множеств А и В.
Пересечением двух множеств А и В называется множество А В, которое состоит из всех элементов, лежащих одновременно в множестве А и в множестве В.
А В = {х | х А и х В}
Множества А и В изображены на рисунке кругами.
Фигура, образовавшаяся при пересечении кругов, закрашенная на рисунке, изображает множество С.
Пересечение множеств���
А∩В=С
А
А
В
С
Некоторые множества Х и Y не имеют общих элементов. Тогда говорят, что пересечением множеств Х и Y является пустое множество.
Ø- обозначение пустого множества.
И пишут тогда так: Х∩Y=Ø
Например:
А={1,3,5,7,9},
В={2,4,6,8},
А∩В = Ø.
Пересечение множеств���
Множество А не пересекается с множеством В, следовательно их пересечение будет равно пустому множеству.
А
В
А ∩ В =∅
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ�А∩А=А�А∩∅=∅
А
2.ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ�
А- множество натуральных делителей числа 24,
В- множество натуральных делителей числа 18.
А={1,2,3,4,6,8,12,24},
В={1,2,3,6,9,18},
D- множество, которому принадлежат все элементы множества А и все элементы множества В.
Т.е. D={1,2,3,4,6,8,9,12,18,24}.
Говорят, что множество D является объединением множеств А и В.
Множества А и В изображены на рисунке кругами.
Фигура, закрашенная на рисунке, является объединением множеств А и В.
Объединением двух множеств А и В называется множество А В, которое состоит из всех элементов, принадлежащих А или В. А В= {х | х А или х В}.
Объединение множеств�
А
В
А∪В
Объединение множеств�А∪А=А�А∪∅=A
А
Решение:
X={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23};
Y={10,11,12,13,14,15,16,17,18};
Общие элементы: 11,13,17, значит,
X∩Y={11,13,17};
XUY ={2, 3, 5, 7,10,11,12,13,14,15, 16,17,18,19,23}.
Рассмотрим пример:
Х-множество простых чисел, не превосходящих 25;
Y- множество двузначных чисел, не превосходящих 19.
Найдите пересечение и объединение множеств Х и Y.
Подмножество
ПОДМНОЖЕСТВО���
Множество В называют подмножеством
множества А, если каждый элемент множества В является элементом множества А.
В
А
В⊂А
А={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
№ 1
Какое множество задано путем перечисления его элементов?
Задайте
множество лошадей, пасущихся, на Луне.
№ 2
№ 3
Даны множества
А = {0, 3, 5, 11, 12, 19},
В = {0, 2, 4, 8, 12, 18,}. Найдите множества
AU В, А В
№4.
Составьте не менее семи слов, буквы которых образуют подмножества множества
А={к,а,р,у,с,е,л,ь}.
2. Ель
3.Рука
4.Русь
5.Руль
6. Лак
7. Лес
№ 5.
В классе 30 человек, каждый из которых поёт или танцует. Известно, что поют 17 человек, а танцевать умеют 19 человек. Сколько человек поёт и танцует одновременно?
Решение 1
Пусть А - это множество учеников, умеющих петь. Количество элементов в нём по условию равно n = 17. Пусть В - множество учеников, умеющих танцевать. Количество элементов в нём - m = 18. Множество совпадает со всем классом, т.к. каждый ученик в классе поёт или танцует. - это множество тех учеников класса, которые поют и танцуют одновременно. Пусть их количество равно k.
Согласно формуле доказанной выше
n + m- k = 17+ 19- k = 30 k = 6.
Ответ: 6 учеников в классе поют и танцуют одновременно.
Решение 2
Сначала заметим, что из 30 человек не умеют петь 30 - 17 = 13 человек. Все они умеют танцевать, т.к. по условию каждый ученик класса поёт или танцует. Всего умеют танцевать 19 человек, из них 13 не умеют петь, значит, танцевать и петь одновременно умеют 19-13 = 6 человек.
№6
На фирме работают 67 человек. Из них 47 знают английский язык, 35 - немецкий язык, а 23 - оба языка. Сколько человек в фирме не знают ни английского, ни немецкого языков?
Решение
n ( А) = 47 – знают английский язык
n ( В) = 35- знают немецкий язык
n ( C)= x – не знают ни английский, ни немецкий язык
n (A B )= 23 – знают английский и немецкий языки
n ( A ) = 67 – работники фирмы
67 = 47 +35 – 23 +x => x = 8
Ответ: 8 человек не знают ни английский, ни немецкий язык.
№ 7.
Изобразите с помощью кругов Эйлера пересечение множеств
K и M, если:
а) K L
б) L K
в) K = L
г) K L =
k
L
L
K
L=K
L
Решение задачи с помощью кругов Эйлера.
а)
б)
в)
г)
K
На языке мудрости ЗНАТЬ - это значит УМЕТЬ, а ПОНИМАТЬ - это значит ДЕЙСТВОВАТЬ
Множества.�Операции над множествами
Примеры множеств из окружающего мира
Например, множество дней недели состоит из элементов: понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье.
Множество месяцев – из элементов: январь, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь.
Примерами множеств в геометрии могут служить:�
а) множество видов треугольников,
б) множество многоугольников
Пересечением двух множеств А и В называется множество С = А В, которое состоит из всех элементов х, лежащих одновременно в множестве А и в множестве В.
А В = {х}, где х А и х В
М= а с
Объединением двух множеств А и В называется множество А В, которое состоит из всех элементов, принадлежащих А или В.
С = А В= {х}, где х А или х В.
А – девочки класса,
В – мальчики класса,
С – весь класс
Подмножество
Пустое множество
Равные множества
А = В
А={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
№ 1
Какое множество задано путем перечисления данных элементов?
№ 2
Задайте
множество крокодилов, летящих в небе.
Даны множества
А = {3, 5, 0, 11, 12, 19},
В = {2, 4, 8, 12, 18,0}. Найдите множества AUВ,
А В
№ 3
В={А,Е,И,О,У,Э,Ю,Я}
№ 5
Изобразите с помощью кругов Эйлера пересечение множеств
K и L, если:
а) K L
б) L K
в) K = L
г) K L =
К
K = L
L
K
L
K
Задача:
В киоске около школы продается мороженое двух видов: «Спортивное» и «Мальвина». На перемене 24 ученика успели купить мороженое. При этом 15 из них купили «Спортивное», а 17 – мороженое «Мальвина». Сколько человек купили мороженое обоих сортов?
Решение
А = «Спортивное»
В = «Мальвина»
Ответ: 8
Пересечение и объединение множеств
1.Пересечение множеств
А- множество натуральных делителей числа 24,
В- множество натуральных делителей числа 16.
А={1,2,3,4,6,8,12,24},
В={1,2,3,6,9,18},
С- множество общих делителей чисел 24 и 18,
С={1,2,3,6}.
Говорят, что множество С является пересечением множеств А и В.
Множества А и В изображены на рисунке кругами.
Фигура, образовавшаяся при пересечении кругов, закрашенная на рисунке, изображает множество С.
Замечание.
Некоторые множества Х и Y не имеют общих элементов. Тогда говорят, что пересечением множеств Х и Y является пустое множество.
Ø- обозначение пустого множества.
И пишут тогда так: Х∩Y=Ø
Например:
А={1,3,5,7,9},
В={2,4,6,8},
А∩В = Ø.
2.Объединение множеств�
А- множество натуральных делителей числа 24,
В- множество натуральных делителей числа 16.
А={1,2,3,4,6,8,12,24},
В={1,2,3,6,9,18},
D- множество, которому принадлежат все элементы множества А и все элементы множества В.
Т.е. D={1,2,3,4,6,8,9,12,18,24}.
Говорят, что множество D является объединением множеств А и В.
Множества А и В изображены на рисунке кругами.
Фигура, закрашенная на рисунке, является объединением множеств А и В.
Например:
Х-множество простых чисел, не превосходящих 25;
Y- множество двузначных чисел, не превосходящих 19.
Найдите пересечение и объединение множеств Х и Y.
Решение:
X={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23};
Y={10,11,12,13,14,15,16,17,18};
Общие элементы: 11,13,17, значит,
X∩Y={11,13,17};
XUY ={2, 3, 5, 7,10,11,12,13,14,15, 16,17,18,19,23}.