OPTIQUE GEOMETRIQUE

Cours: Optique géométrique.

• Branche ancienne de l ’optique très utilisée en optique instrumentale.

​

• Formation des images à travers un système optique.

​

• Etude d ’instruments d’optique.

​

• L’étude de systèmes optiques bien connus : microscope, lunette astronomique

Nature de la Lumière.

Qu’est ce que la lumière? Pendant plusieurs siècles deux tendances se sont affrontées: onde-corpuscule.

Au 17ème siècle:

​

• Corpusculaire pour expliquer la réflexion (Descartes, Newton).

​

• Ondulatoire pour expliquer la diffraction (Grimaldi, Huygens).

Du 17ème au 19ème siècle:

• Expériences validant l’aspect ondulatoire de la lumière (Fresnel, Maxwell)

​

• Expériences validant l’aspect corpusculaire de la lumière (Hertz, Einstein)

Au 20ème siècle:

• Dualité onde-corpuscule comme les e- (De Broglie, Heisenberg, Dirac)

Lumière = ondes et photons

Caractéristiques de l’onde lumineuse.

Ondes: Son, Houle.

Caractéristiques générales :

• Amplitude.
• Fréquence ν. [s-1]
• Vitesse C. [m.s-1]
• Longueur d’onde λ:

​

Photon associé :

Énergie E : E=hν [joule] où h est la constante de Plank h=6.626 10^-34 J.s

Caractéristiques de l’onde lumineuse:

• Onde sans support.
• Propagation dans le vide à la vitesse C.
• C = 299.792.456 m.s-1 (3 10⁸ m.s-1 )

Quelques repères

• 7 fois le tour de la terre en 1s.

• Distance terre-soleil en ≈8min.

Ondes électromagnétiques.

• La lumière visible fait partie d'une grande famille de phénomènes de même nature : les ondes électromagnétiques.

​

• Variation d'un champ électrique et du champ magnétique, dans l’espace et dans le temps.

​

• La lumière naturelle est donc une superposition d’ondes électromagnétiques

de différentes longueurs d’ondes (couleurs).

​

Visible = Spectre de l’oeil.

L'oeil est sensible aux radiations lumineuses dont la longueur d'onde est comprise entre 0.380 μm et 0.780 μm.

​

Oeil est un photodétecteur ayant une bande passante particulière.

Rayons lumineux

En optique géométrique on se réfère souvent à la notion de rayon lumineux

Notion intuitive :

• Pas de signification physique mais c’est un outil très intéressant pour décrire la propagation de lumière dans des conditions bien définies.

​

• On peut les considérer comme la trajectoire de l’énergie lumineuse (milieux isotropes).

​

• Ils sont à la base du développement de l’optique géométrique.

Description de la lumière.

Outil de description de la lumière : Ondes, Photons ou Rayons Lumineux selon le contexte considéré.

Description: elle dépend de la dimension DO des objets par rapport à λ :

Interaction lumière-matière.

Quand la lumière rencontre un milieu homogène, isotrope et transparent

on peut observer :

• Réflexion :

C’est Une interaction lumière-matière conduisant à une déviation de la trajectoire de la lumière du même côté du corps d'où elle est venue.

• Réflexion spéculaire : se produit sur une surface lisse (miroir)

Les rayons réfléchis sont parrallèles les uns aux autres

• Réflexion diffuse : se produit sur une surface rugueuse

Les rayons réfléchis repartent dans des directions quelconques

Exemples de réflexion spéculaire et de réflexion diffuse

Spéculaire

Diffuse

La réflexion diffuse rend la route facile à voir la nuit

Loi de la réflexion

• La normale est une ligne perpendiculaire à la surface

​

• Elle est issue du point où le rayon incident touche la surface

​

• Le rayon incident fait un angle i₁ avec la normale

​

• Le rayon réfléchi fait un angle i₂ avec la surface. Il est contenu dans le plan d’incidence défini par le rayon incident et la normale.

• L’angle de réflexion est égal à l’angle d’incidence : i₁=i₂

2. Réfraction :

• Quand un rayon lumineux A se propageant dans un milieu transparent rencontre l’interface de séparation (dioptre) avec un deuxième milieu transparent, une partie de ce rayon est réfléchie et une autre partie pénètre dans le deuxième milieu.

​

• le rayon B qui pénètre dans le deuxième milieu est dévié à la traversée du dioptre.

• Ce phénomène de déviation du rayon qui pénètre dans le deuxième milieu porte le nom de réfraction

L’angle de réfraction r dépend des propriétés du milieu

• Le rayon ① est le rayon incident

​

• Le rayon ② est le rayon réfléchi

​

• Le rayon ③ est réfracté dans le cristal (lucite)

​

• Le rayon ④ est réfléchi sur la face interne du cristal

​

• Le rayon ⑤ est réfracté dans l’air en sortant du cristal

Visualisation expérimentale

Origine physique de la réfraction

• La vitesse de la lumière est une constante ??
• Oui mais dans UN milieu donné

Eau (optiquement

plus dense que l’air)

v = c (vitesse de la lumière)

Air

V = c/n

Indice de réfraction

Indice de réfraction :Définit la vitesse de la lumière dans le milieu optiquement plus dense → c/n.

• Pour le vide et l’air, n = 1
• Pour d’autres milieux, n > 1
• n est un rapport sans dimensions

• L’indice de réfraction d’un milieu dépend de la longueur d’onde, si le rayon lumineux est composé (comme la lumière blanche) de plusieurs couleurs, chacune de ces couleurs sera réfractée suivant son indice de réfraction. Il en résulte une dispersion des couleurs du rayon incident.

​

• n varie avec λ suivant la loi de Cauchy :

Loi de la réfraction

sinθ₁=v₁t/d (triangle jaune)

sinθ₂=v₂t/d (triangle vert)

Soit :

Loi de Descartes

Position du rayon réfracté

• La lumière peut se réfracter dans un matériau où sa vitesse est plus faible (n₂>n₁)

​

• L’angle de réfraction est alors plus petit que l’angle d’incidence

​

• Le rayon se rapproche de la normale

• La lumière peut se réfracter dans un matériau où sa vitesse est plus élevée (n₂<n₁)

​

• L’angle de réfraction est alors plus grand que l’angle d’incidence

​

• Le rayon s’écarte de la normale

indices de réfraction de quelques substances à 590 nm:

ANGLE DE RÉFRACTION LIMITE

n1< n2

i1 varie entre 0 et π/2

n1< n2

n1 > n2

RÉFRACTION DANS UN MILIEU NON HOMOGÈNE

MIROIRS PLANS

STIGMATISME DU MIROIR PLAN

AH = HA’

L’image A’ d’un point A est le symétrique de A par rapport au plan du miroir

Le miroir plan réalise le stigmatisme rigoureux pour tout point de l’espace

Un miroir plan est une surface plane réfléchissante

Image d ’un point

A

N

H

I₁

I₂

R₁

R₂

A’

i₁

i₁

i₂

Triangles AHI₁ et A’HI₁ égaux

Rayon réfléchi en I₁ passe par A’

Rayon réfléchi en I₂ passe par A’

i₁

i₁

Tous les rayons issus de A et tombant sur le miroir se réfléchissent en passant par A’

Le miroir est stigmatique pour tous les points de l ’espace.

L'image A' d'un objet réel A est donc virtuelle. Le principe du retour inverse de la lumière nous montre que l'image d'un objet virtuel sera réelle.

Dans un miroir plan, l'objet et l'image sont toujours de nature opposée : l'un est réel, l'autre virtuel.

A' est le symétrique de A par rapport au plan du miroir.

Pour un objet étendu (non ponctuel), l'image est le symétrique de l'objet par rapport au plan du miroir (une main droite est transformée en main gauche).

Pour qu'un observateur puisse observer l'image d'un objet dans un miroir il faut que la droite reliant l'image de l'objet à l'observateur coupe le miroir.

Champ d’un miroir plan

Sur ce schéma le point A est visible par réflexion pour

l'observateur situé en O' mais pas pour celui situé en O.

Application des miroirs : rétroviseur à position jour et nuit

Position jour

Position nuit

Dans la position « jour » c’est le rayon le plus intense ayant subi la réflexion sur la couche réfléchissante qui est dirigé dans l’œil du conducteur. Dans la position « nuit » c’est le rayon peu intense ayant subi la réflexion sur le verre qui est envoyé dans l’œil du conducteur.

DIOPTRE PLAN

Existence de plusieurs

images

DIOPTRE PLAN

Un dioptre plan est formé par l’interface plane qui sépare deux milieux transparents d’indice n₁ et n₂

H

A

A’

I

n₁ < n₂

n₂

i₁

i₂

i₂

i₁

n₁ sin i₁ = n₂ sin i₂

HI commun aux triangles HIA et HIA’

La position de l’image dépend de l’angle d’incidence : à chaque angle d’incidence correspond une image différente.

Le dioptre plan n ’est pas stigmatique

• Si les angles d’incidence sont “petits”

Conditions de Gauss

sin i₁≈i₁ et tg i₁≈i₁

Remarque très importante : les angles sont ici exprimés en radians.

Donc Descartes

n₁i₁ = n₂i₂

Bonne manière d ’écrire en vue d ’une généralisation :

Si on choisit comme sens positif sur AH celui de la lumière

• l’image d’un objet est toujours située du même coté que l’objet par rapport au dioptre.

• à un objet réel correspond une image virtuelle et vice versa.

• Si n₂ > n₁ l ’image est plus loin du dioptre que l ’objet

• Si n₂ < n₁ l ’image est plus proche du dioptre que l ’objet

Exemple de la réfraction verre (n₁= 1,5) / air (n₂=1) : λ=arcsin (1 / 1,5) = 42°; dans l'eau λ =49°

• Fibres optiques

• Prisme à réflexion totale

Lame à faces parallèles

Ensemble de deux dioptres plans parallèles

A₁ point objet

A₂ image intermédiaire due au dioptre H₁

A₃ image de A₂ dans le dioptre H₂

= image finale

Pour une lame dans l ’air : n₁ = n₃ = 1 et n₂ = 1,5 = n

Une lame de verre "rapproche" les objets.

A2

B1

A1

B2

2L

L

2n

n

B1

A1

A2

B2

Image d’un objet étendu

Exemples de prismes

Définitions

• L'intersection de ces dioptres constitue l'arête du prisme.

• Dévier la lumière de la même manière aux deux interfaces d’entrée et de sortie

• milieu homogène, transparent d’indice n limité par deux dioptres plans non parallèles.

Un prisme réalise deux actions

• Étaler les couleurs à cause de la dispersion.

Marche d ’un rayon lumineux. Formules du prisme

Réfraction au point d’incidence

I

i

r

I’

i’

r’

Réfraction au point d’émergence

Relation entre r, r’ et A

J

L

Dans triangle IJI’ l’angle I’JL (extérieur) = somme des angles intérieurs : r+r’

On suppose le prisme placé dans l'air d'indice 1.

Déviation d’un rayon

I

i

r

I’

i’

r’

J

L

M

K

D

Si on prolonge le rayon incident il coupe le rayon émergent en K

Angle MKI’ = déviation D du rayon incident lors de sa traversée du prisme

D est l’angle extérieur du triangle KII’

• La déviation D est l'angle dont le prisme dévie les rayons lumineux. Le rayon émergent est toujours dévié vers la base du prisme (D > 0).

• Comme l'indice de réfraction du prisme dépend de la longueur d'onde λ de la lumière incidente, l'angle de déviation D dépend de la couleur de la lumière qui traverse le prisme : c'est le phénomène de dispersion de la lumière qui fait du prisme un élément utile en spectroscopie.

• Relations fondamentales

​

• Il existe quatre relations fondamentales du prisme qui permettent de calculer les quatre inconnues (i', r, r', D) en fonction des éléments connus (i, A, n).

sin i = n sin r sin i ’ = n sin r ’

A = r + r’ D = i + i’ - A

​

On en déduit par exemple la déviation D(i, A, n).

On fait tourner le prisme autour de son arête dans le sens de la flèche

Angle d’incidence croît régulièrement

La tache T se déplace sur l’écran suivant le trajet (α) puis reste un instant stationnaire en T_m pour se déplacer finalement en sens inverse suivant le trajet (β)

Conclusion : quand i varie, D décroît, passe par un minimum et croît ensuite

Expérience

Étude de la déviation

L'expérience montre qu'il existe une valeur i_m de l'angle d'incidence i qui rend la déviation D minimale.

Après calculs, la seule solution acceptable est :

En substituant dans sin i= n sin r, on obtient la formule de Fraunhofer, utile pour mesurer l'indice du prisme :

Remarque : au minimum de déviation le rayon lumineux a un parcours symétrique par rapport au plan bissecteur de l'angle du prisme (r=r' et i=i').

Variation de D en fonction de i

Influence de l'indice n

r_B < r_R

Comme r’ = A-r

r’_B > r’_R

n_B sin r’_B > n_R sin r’_R

i’_B > i’_R

Mais : D = i + i’ -A

D_B > D_R

Pourquoi un arc en ciel ?

L'arc en ciel est un phénomène de dispersion de lumière sur un mur d'eau formé de milliers de gouttes d’eau.

Puisque la taille des gouttes d'eau est très grande devant la longueur d'onde de la lumière, on peut appliquer les règles de l'optique géométrique à une goutte d'eau sphérique d’indice n environ égal à 1.33.

L’addition des angles en jaune sur la figure donne la valeur de la déviation du rayon réfléchi par rapport au rayon solaire incident.

Si l'on ne travaille pas avec des angles orientés, la déviation est donnée par l’angle :

r

i

i-r

Déviation géométrique

A = π-D

les rayons sont réfléchis dans toutes les directions

mais il existe une grande plage de valeurs de i pour laquelle A est à peu près constant (maximum de la fonction).

Comme pour le prisme, la déviation dépend de l’indice qui lui-même dépend de la longueur d’onde (couleur) du rayon lumineux.

• Les rouges seront les plus déviés donc ils apparaissent à l'extérieur de l'arc en ciel.

​

• Les rayons bleus sont déviés d'un angle A=40.6° et les rayons rouge d'un angle A=42.0°.

Un dioptre sphérique est un ensemble de deux milieux transparents d’indices optiques différents, séparés par une interface sphérique mince.

Représentation “artistique”

��Chapitre 3: DIOPTRE ET MIROIR SPHÉRIQUE�

• Toutes les distances seront données en valeur algébrique avec l’origine au sommet S.

• Les termes “concave” et “convexe” sont utilisés mais sont imprécis.

Le dioptre sphérique n’est pas stigmatique. En pratique, on se place dans les conditions de l ’approximation de Gauss :

​

• rayons peu inclinés sur l ’axe
• faisceau issu du point objet A étroit
• rayons voisins de l’axe

Le dioptre est alors stigmatique : l ’image d ’un point est un point

Représentation schématique correcte

Les schémas sont faux si le dioptre est représenté par un arc de cercle.

Noter que dans la représentation schématique la normale au dioptre ne fait pas un angle de π/2 avec l’interface.

C

A₁

A₂

S

normale

n₁

n₂ > n₁

I

Relation de conjugaison

Approximation de Gauss

triangles A₁IC & IA₂C

Soit d ’après les relations 1 :

Remarques sur la relation de conjugaison

• Valable uniquement dans l’approximation de Gauss

• Cas particulier : dioptre plan pour

Points remarquables du dioptre sphérique

• La position des foyers détermine, dans les conditions de Gauss, les plans focaux objet et image. (voir figures)

Calcul de la distance focale image

Le foyer-image est l’image dans le milieu n₂ d’un objet à l’infini dans le milieu n₁.

Calcul de la distance focale objet

le foyer-objet est le point de l’axe principal dans le milieu-objet n₁ qui donne une image à l’infini dans le milieu-image n₂.

Relations remarquables

La position respective des 4 points : S, C, Fet F ’ n’est pas quelconque.

A utiliser pour la cohérence du tracé des images.

Les foyers objet et image sont toujours symétriques par rapport au milieu du segment SC

Pour tracer l ’image d ’un point dans le système optique, on utilise 2 rayons de trajet connu.

On a 3 possibilités simples à sa disposition :

– 1 rayon qui passe par C : il n’est pas dévié.

​

– 1 rayon parallèle à l’axe principal dans le milieu objet n₁ ressort en passant par le foyer-image F ’.

​

– 1 rayon qui passe par le foyer-objet F ressort dans le milieu image n₂ parallèlement à l’axe principal.

Exemples de tracés : dioptre “convexe”

n₂ > n₁ dans toutes les figures.

A₂

B₂

A₂

B₂

Exemples de tracés : dioptre “concave”

A₂

B₂

• Chaque point du plan focal image correspond à une direction particulière des rayons incidents parallèles, dans le milieu objet.

• Le rayon qui passe par le centre C est incident sur le dioptre avec i = 0 et n’est donc pas dévié. Noter que ce rayon particulier qui indique la direction d’incidence détermine la position du foyer secondaire F’₁

Même remarque pour le plan focal objet.

Calcul du grandissement γ

Il mesure la taille de l’image par rapport à l’objet.

Dans le triangle : SA₁B₁

Dans le triangle : SA₂B₂

Conditions de Gauss

D ’où le grandissement

Application : la relation de conjugaison des lentilles minces

• Combinaison de deux dioptres sphériques :

• Le premier séparant l’air (indice 1) du verre (indice n)
• Le deuxième séparant le verre (indice n) de l’air (indice 1)

dioptre 1

(A₁ est un point du milieu n)

dioptre 2

lentilles minces

S1 ~ S2

centre optique O

en ajoutant les 2 équations

distances focales

Remarques

• Définition de la vergence V d ’une lentille

Unité : dioptrie (homogène à des m^-1)

Attention : les distances doivent être exprimées en m.

lentille

biconvexe

Lentille

plan-convexe

Ménisque

convergent

lentille

biconcave

lentille

plan-concave

Ménisque

divergent

Lentille convergente

Foyer image

Lentille divergente

Lentille convergente

Foyer objet

Lentille divergente

• Pour les deux types de lentilles, la position des foyers est symétrique par rapport au centre optique O de la lentille:

​

​

​

​

​

​

Tout rayon passant par le centre optique O ne subit aucune déviation

Construction des images

• Utilisation de 2 rayons particuliers simples (sur 3 possibles)

• Un rayon parallèle à l’axe principal passe par (ou semble venir de) un des foyers.

​

• Un rayon qui passe par le centre optique O de la lentille n’est pas dévié

​

• Un rayon qui passe par le foyer objet de la lentille émerge de la lentille parallèlement à l’axe principal

L’image est réelle et renversée

• Une lentille divergente et un objet virtuel

Zones conjuguées

Formules de conjugaison

Position de l ’objet

Position de  l’image

et grandissement

objet

Lentille convergente

Lentille divergente

objet

image

Les représentations précédentes démontrent les propriétés suivantes :

• L'image d'un objet virtuel donnée par une lentille convergente est toujours réelle (et plus petite).

• L'image d'un objet réel par une lentille divergente est toujours virtuelle.

FOYERS ET PLANS FOCAUX

K’

PLANS PRINCIPAUX

SYSTÈMES CENTRÉS

F

F’

K

H

H’

P

P’

F’

F

K ’

DISTANCES FOCALES ET VERGENCE

n.HK .α = n'.H'K'.α'

H

H’

K

K ’

α

α

’

F’

F

n’

n

α = HK/HF

α‘ = H'K‘/H’F’

α /α' = n’/n = H’F’/HF

POINTS NODAUX

H

H’

K

K ’

F’

F

N

N’

K

H

H’

P

P’

F’

F

K ’

K

H

H’

P

P’

F’

F

K ’

FORMULES DES SYSTÈMES CENTRÉS

H

H’

K

K ’

F’

F

A

B

A’

B’

ASSOCIATION DE DEUX SYSTEMES CENTRES

H1

H’1

F’1

F1

A

B

H2

H’2

F2

A’

B’

F’2

F

Deux systèmes centrés S₁ et S₂ de même axe principal constituent un nouveau système centré S.

Problème : on veut déterminer les éléments cardinaux de ce nouveau système centré.

- on affectera de l'indice 1 à tous les éléments cardinaux du système S1 (F1, F'1, H1...)

- on affectera de l'indice 2 à ceux du système

S2( F2, F'2, H2...)

​

- les indices de réfraction des milieux extrêmes sont n et n'

- l'indice du milieu compris entre S1 et S2 est N.

​

e EPAISSEUR DU SYSTEME : H’₁H₂

H1

H’1

F’1

F1

H2

H’2

F’2

F2

H

H’

F’

F

+

__

__

__

Δ L’INTERVAL OPTIQUE :

DISTANCES FOCALES

n

N

n’

n

n’

e EPAISSEUR DU SYSTEME : H’₁H₂

H1

H’1

F’1

F1

H2

H’2

F’2

F2

H

H’

F’

F

+

__

__

__

Δ L’INTERVAL OPTIQUE :

DISTANCES FOCALES

n

N

n’

n

n’

OPTIQUE MATRICIEL

TRANSFORMATIONS LINEAIRES ET OPERATIONS SUR LES MATRICES

b11, b12, b21, et b22 sont des constantes (caracteristiques d’un système)

�

�

�

[A] = [B] [C]

DETERMINANT D’UNE MATRICE

= a₁₁ a₂₂ - a₂₁ a₁₂

DETERMINANT DU PRODUIT DE N MATRICES = PRODUIT DES DETERMINANTS

MATRICE DE TRANSLATION

EST LA MATRICE DE TRANSLATION

P

P

y

α

Q

Q

y’

α

’

D

AXE OPTIQUE

P

P

y

α

Q

Q

y’

α

’

D

AXE OPTIQUE

W

W

y’’

α

’

’

T

α = α’ = α’’

et très petits

MATRICE DE REFRACTION

AXE OPTIQUE

n

n’

δ

δ

α

α

δ

C

’

y’

y

Exemple:

Translation et Refraction

n=1

n’=1.5

α

α

C

’

y’

y

P

P

Q

Q

I’

I

OC=R=6 cm

α =0.01 radiant

y= 1.6 cm

QQ,O = 9 cm PP,O = 8 cm

Calculer y’ et α’

O

y ' = 1.8 cm and

α ' = - 0.0667 radians

I’

I

24

36

O

n

n’

s = OI s’ = OI’ r le rayon de courbure

On montre que :

Convention de signe

s

s’

Objet à gauche de O s est positif

Image à droite de O s’ est positif

R=6 n=1 n’=1.5

Système optique général

n=1

n=1.5

n=1

n=1.6

n=1

P

Q

Q

α

y

α

y’

’

7 cm

3 cm

- 4 cm

3 cm

2 cm

P

O

O’

Matrice du système optique entre O et O’

=

Matrice du système optique entre PP et QQ

D’ EST POSITIF : F’ EST A DROITE DE O’

D’ EST NEGATIF: F’ EST A GAUCHE DE O’

D EST POSITIF : F EST A GAUCHE DE O

D EST NEGATIF: F EST A DROITE DE O

y ne dépend que de α’ y = A* α’

y’ ne dépend que de α y = Cte* α

LA MATRICE DES PLANS FOCAUX PASSANT PAR F ET F’

Relation Générale entre f et f’ en utilisant le théorème des déterminants

Det

Det

Det

f et f’ doivent avoir le même signe

si n = n’ = 1

= 1 ,

n

n’

f = f’

Exemple:

Soit une lentille biconvexe ayant un rayon

de courbure égale à 10 cm pour chaque face

Calculer les distances focales et points focaux

De la lentille si son indice est 1.5

Solution:

f = = 60/5 = 12 cm = f ' puisque n = n ' = 1.

O 'F ' = (2/3)×(12)= 8 cm.

F est à 8 cm à gauche de O

OF = (2/3)×(12)= 8 cm.

F’ est à 8cm à droite de O’

Formation de l’image : EQUATION DE NEWTON

=0 car y ne dépend pas de α’

Equations de NEWTON

Un objet de 2cm est placé à 40cm de O

Quelle est la position de l’image et sa grandeur

Puisque F est à 8cm de O x =40-8=32cm

L’image est à 8 + 4.5 =12.5 cm donc à droite de O ‘ et γ = -12/32 = -3/8

32 x ' = (12)(12) x’=4.5cm

l‘image est inversée et sa taille est: y’= γ y = 3/8 x 2 = 3/4 cm.

à droite de F’

Un objet A est placé à 10.467 cm à gauche de O.

Ou est l’ image A’, Et quelle est sa taille. r =1.5 cm

f ' = 1.3 * f = 4.333 cm

O'F ' = 0.65/0.3 = 2.167 cm

OF = 1.25/0.3 = 4.167 cm

f = 1/.3 = 3.33 cm

Donc O’A’=O’F’ + F’A’ = 2.167 + 2.293 = 4.460 cm

= -f /x = -3.333/6.3 = -0.529

γ

x =AF= OA- OF =10.467 - 4.167 = 6.3 cm.

x '= F’A’=ff '/x=(4.333)*(3.333)/6.3 = 2.293

f ' = 4.333 cm

O'F ' = 2.167 cm

OF = 4.167 cm

f = 3.33 cm

LES POINTS CARDINAUX

LES POINTS CARDINAUX SONT DEFINIT PAR RAPPORT A F et F’

Soit un point cardinal Z distant de z de F à gauche

Et un point cardinal Z’ distant de z’ de F’ à droite

Les plans passants par H et H’ sont définis par y’ = y

= + 1 plan positif = -1 plan négatif

​

y = -(z / f )y’ + (zz '/ f - f ') zz '/f - f ' = 0 et -z/f = 1

γ

α '

γ

=0 car y’ image de y