2.1 �ΠℝΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡ1ΘΜΟΙ

Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ - Άλγεβρα

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

Στο κεφάλαιο αυτό οι μαθητές/τριες επαναλαμβάνουν και εμβαθύνουν στις ιδιότητες του συνόλου των πραγματικών αριθμών με στόχο να βελτιώσουν την κατανόηση της δομής του. Με στόχους την εξομάλυνση της μετάβασης από το Γυμνάσιο στο Λύκειο και την συμπλήρωση πιθανών κενών λόγω των συνθηκών των δύο τελευταίων χρόνων προτείνεται να αφιερωθεί χρόνος για την δημιουργία αλγεβρικών παραστάσεων που «μοντελοποιούν» ρεαλιστικές καταστάσεις και για την επανάληψη στοιχείων αλγεβρικού λογισμού (πράξεις πολυωνύμων, παραγοντοποίηση).�Ωστόσο, σε μια επανάληψη με αυτούς τους στόχους, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι δεν συμπεριλαμβάνεται η εξάσκηση σε πολύπλοκους χειρισμούς και η ενασχόληση με ασκήσεις 5 που η πολυπλοκότητα και δυσκολία τους υπερβαίνει εκείνες των ασκήσεων του σχολικού βιβλίου.

§2.1 Προτείνεται να διατεθούν 6 ώρες από τις οδηγίες διδασκαλίας του Υπουργείου Παιδείας

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

2

Πράξεις Πραγματικών Αριθμών

​

​

​

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

3

Αφαίρεση ��Διαίρεση�� Πραγματικών αριθμών

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

4

α – β = α + (– β)

Δηλαδή για να βρούμε τη διαφορά α – β, προσθέτουμε στο μειωτέο τον αντίθετο του αφαιρετέου.

​

​

Δηλαδή για να βρούμε το πηλίκο α:β, πολλαπλασιάζουμε το διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη.

Προβληματισμός

Ισχύουν οι ιδιότητες των πράξεων που είδαμε προηγουμένως για την αφαίρεση και την διαίρεση;

Ιδιότητες �ισότητας

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

1

2

3

4

5

6

5

Δ^{υνάμεις�}_{Ορισμός - Ιδιότητες}

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

1

2

3

4

5

6

6

Δυνάμεις με ίδιες βάσεις

​

Δυνάμεις με ίδιους εκθέτες

​

Ορισμός: Δυνάμεις με ακέραιο εκθέτη

​

Ορισμός

​

Ορισμός

​

Δύναμη με βάση δύναμη

​

Είναι η δύναμη η πέμπτη πράξη μετά από την πρόσθεση, αφαίρεση, πολ/σμό και διαίρεση;

​

Ασκήσεις*

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

7

* Οι ασκήσεις προέρχονται από τις σημειώσεις του διαδικτυακού μαθήματος Ανδρέα Κουλούρη (lisari team) από το 3^ο ΓΕΛ Γαλατσίου

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

8

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

9

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

10

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

11

Σελίδα 53

σχολικό βιβλίο

Μέθοδοι Απόδειξης

1η) Ευθεία Απόδειξη

2η) Μέθοδος της Απαγωγής σε Άτοπο�

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

12

1

2

Α) Παίρνουμε την υπόθεση και με συνεπαγωγές καταλήγουμε στη ζητούμενη ισότητα

Β) Παίρνουμε το Α μέλος και με ισότητες καταλήγουμε στο Β μέλος. Και αντίστροφα.

Γ) Παίρνουμε τη ζητούμενη σχέση και με ισοδυναμίες καταλήγουμε σε μια αληθής σχέση.

Υποθέτουμε ότι δεν ισχύει αυτό που θέλουμε να αποδείξουμε και χρησιμοποιώντας αληθείς προτάσεις φθάνουμε σε ένα συμπέρασμα που έρχεται σε αντίθεση με αυτό που γνωρίζουμε ότι ισχύει. Άρα οδηγηθήκαμε όπως λέμε σε άτοπο. Άρα και η υπόθεσή μας ήταν ψευδής. �

Αξιοσημείωτες ταυτότητες

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

1

2

3

4

5

13

Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές των μεταβλητών αυτών λέγεται ταυτότητα. �

+

Εργασία: Να αποδείξετε τις παραπάνω ταυτότητες.�

Ας δούμε τις ταυτότητες με μια γεωμετρική !

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

Ταυτότητα του Euler

15

1. (Ταυτότητα υπό συνθήκη)

Αν {α + β + γ = 0} ή {α = β = γ} τότε να αποδείξετε ότι α³ + β³ + γ³ = 3αβγ.

Απόδειξη

2) (Γενίκευση) Να αποδείξετε ότι

​

​

Απόδειξη

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

Παραδείγματα

1. Αν και τότε να αποδείξετε τα εξής:
1. (άρτιος) + (άρτιος) = (άρτιος)
2. (περιττός) + (περιττός) = (περιττός)
3. (άρτιος) + (περιττός) = (περιττός)
4. (άρτιος) ⸳(άρτιος) = (άρτιος)
5. (περιττός) ⸳ (περιττός) = (περιττός)
6. (άρτιος) ⸳(περιττός) = (άρτιος)
7. Αν α άρτιος τότε και α² άρτιος
8. Αν α² άρτιος τότε και α άρτιος
9. Αν α περιττός τότε και α² περιττός
10. Αν α² περιττός τότε και α περιττός
11. Αν α άρτιος τότε και α^ν άρτιος,
12. Αν α περιττός τότε και α^ν περιττός,
13. Αν α^ν άρτιος τότε και α άρτιος
14. Αν α^ν άρτιος τότε και α άρτιος

​

​

​

​

​

​

​

�

2) α) Αν και α² πολ/σιο του 3, τότε να αποδείξετε ότι και το

α είναι πολ/σιο του 3.

β) Να αποδείξετε ότι .

16

3) Να αποδείξετε ότι:

Με την βοήθεια αυτής της ταυτότητας να γράψετε το γινόμενο 13⸳29 ως άθροισμα τετραγώνων ακέραιων αριθμών.

3) Να αποδείξετε ότι:

.

(Ταυτότητα Lagrange).

�

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

17

4) α) Να χρησιμοποιήσετε το παρακάτω σχήμα για να υπολογίσετε το τετράγωνο του αριθμού 32.

β) Να σχεδιάσετε ένα παρόμοιο τετράγωνο και να υπολογίσετε από αυτό τον αριθμό 432.

γ) Ομοίως τον αριθμό 572.

5) Με τη βοήθεια των ταυτοτήτων να κάνετε πιο γρήγορα τις παρακάτω πράξεις.

α) 10003² – 9

β) 1999⸳ 2001 + 1

γ) 999999999⸳1000000001 (σ.σ: εννιά εννιάρια και οκτώ μηδέν)

δ) 47² + 6⸳47 + 9

​

ε)

​

στ) 101³ – 1

ζ) π² – (π – 1)(π +1)

6) Μια τριάδα θετικών ακέραιων αριθμών α, β και γ λέγονται Πυθαγόρεια τριάδα αν και μόνο αν ισχύει α² = β² + γ² . Να αποδείξετε ότι

και οι παρακάτω τριάδες είναι Πυθαγόρειες.

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

18

Βασική άσκηση

1. Να αποδείξετε τις ταυτότητες

2) Αν α + β = 2 και αβ = - 1 τότε να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

​

i)

​

ii)

​

iii)

​

iv)

v)

Το ανάπτυγμα της ταυτότητας (α + β)^ν

(α + β)⁰ = 1

(α + β)¹ = α + β

(α + β)² = α² + 2αβ + β²

(α + β)³ = α³ + 3α²β +3αβ² + β³

(α + β)⁴ = α⁴ + 4α³β +6α²β² +4αβ³ + β⁴

​

​

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

19

(α + β)⁵ = α⁵ + ...α⁴β + … α³β² + …. α²β³ + ….αβ⁴ + β⁵

Ερωτήσεις

1. Μήπως παρατηρείς πώς «κατεβαίνουν» οι δυνάμεις του α και πώς «ανεβαίνουν» οι δυνάμεις του β σε κάθε ταυτότητα χωριστά;

​

2) Μήπως μπορείς να βρεις ένα μοτίβο σε κάθε ταυτότητα με τους αντίστοιχους συντελεστές των όρων;

​

3) Μήπως μπορείς να συμπληρώσεις του συντελεστές της τελευταίας ταυτότητας;

Δείτε την χρήσιμη εφαρμογή

Οι συντελεστές του αναπτύγματος (α+β)^ν

Τρίγωνο Πασκάλ

(α + β)⁰ = 1

(α + β)¹ = 1α + 1β

(α + β)² = 1α² + 2αβ + 1β²

(α + β)³ = 1α³ + 3α²β +3αβ² +1β³

(α + β)⁴ = 1α⁴ + 4α³β +6α²β² +4αβ³ +1β⁴

​

​

Να συμπληρώσετε τα κενά στα παρακάνω κελιά

20

Παραγοντοποίηση

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

1

2

3

4

5

6

21

Κοινός Παράγοντας

Ορισμός: Η διαδικασία που ακολουθούμε για να μετατρέψουμε μια παράσταση σε γινόμενο παραγόντων λέγεται παραγοντοποίηση. �

Ομαδοποίηση (όχι οπαδοποίηση)

Διαφορά τετραγώνων

Διαφορά ή άθροισμα κύβων

Τέλειο τετράγωνο ή τέλειος κύβος

Συνδυασμοί

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

Παραδείγματα

​

2) Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις αφού λάβετε τους απαραίτητους περιορισμούς στα τρία πρώτα ερωτήματα:

α) β)

​

γ)

δ)

​

​

ε)

​

​

​

�

1) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις:

​

α) β)

​

​

γ) δ)

​

ε) στ)

​

ζ) η)

​

θ) ι)

​

​

ια) ιβ)

22

3) (Δείτε μετά το ερώτημα ιβ ως εφαρμογή)

Ιδιότητες �αναλογιών

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

1

2

3

4

23

Παραδείγματα

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

24

3. Να βρείτε τις γωνίες τριγώνου α, β και γ αν ισχύει ότι:

​

4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με περίμετρο 12 cm και

Να βρείτε το μήκος των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ.