ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
วิชาคณิตศาสตร์
1. นักเรียนสามารถอ่านและแปลความหมายกราฟของสมการใน� ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรได้
2. นักเรียนสามารถแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรได้� โดยใช้สมบัติของการเท่ากัน
3. นักเรียนสามารถนำความรู้เกี่ยวกับการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร� ไปใช้ในการแก้ปัญหาได้
จุดประสงค์การเรียนรู้
หน่วยการเรียนรู้
ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
หน่วยการเรียนรู้
ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
บทที่ 1 ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
บทที่ 2 การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร� 2.1 การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยการใช้กราฟ� 2.2 การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยการแทนค่าตัวแปร
2.3 การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยการกำจัดตัวแปร
บทที่ 3 โจทย์ปัญหาระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร� 3.1 โจทย์ปัญหาทั่วไป� 3.2 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอัตราส่วนและร้อยละ
3.3 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับระยะทาง อัตราเร็ว และเวลา
สาระการเรียนรู้
หน่วยการเรียนรู้
ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
ระบบสมการเชิงเส้น�สองตัวแปร
ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร (system of linear equations in two variables)
ที่มีสองสมการ เขียนได้ในรูป
ax + by = e
cx + dy = f
เมื่อ x, y เป็นตัวแปร a, b, c, d, e และ f เป็นค่าคงตัว ซึ่ง a, b ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน และ c, d ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน
หน่วยการเรียนรู้
ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยการใช้กราฟ
x + y = 5 ------------
x - y = 1 ------------
1
2
x | 0 | 3 | 5 |
y | 5 | 2 | 0 |
x + y = 5
x - y = 1
x | 0 | 3 | 4 |
y | -1 | 2 | 3 |
กราฟของสมการทั้งสองมีจุดตัดกันที่ (3, 2)
ดังนั้น คำตอบของระบบสมการคือ (3, 2)
X
1
2
3
4
5
0
Y
-1
1
2
3
4
5
x + y = 5
x - y = 1
(3, 2)
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยการใช้กราฟ
ลักษณะคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรที่มี 2 สมการ
Y
X
Y
X
Y
X
มีคำตอบเป็นคู่อันดับเดียว
ตรงที่กราฟตัดกัน
ไม่มีคู่อันดับที่เป็นคำตอบ
กราฟขนานกัน
มีคำตอบเป็นคู่อันดับมากมาย
กราฟทับกัน
3
แทนค่า x = 3 ลงในสมการ
จะได้
ดังนั้น คำตอบของระบบสมการนี้คือ (3, 2)
y
=
5 - 3
y
=
2
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยการแทนค่าตัวแปร
x + y = 5 ------------
x - y = 1 ------------
1
2
จากสมการ
-----------
3
y
=
5-x
1
แทนค่า y จากสมการ
ลงในสมการ จะได้
2
3
เขียนตัวแปร y
ในรูปตัวแปร x
แทนค่า y ด้วย 5 - x
เพื่อกำจัดตัวแปร y
หาคำตอบของ x
แทนค่า x เพื่อหา
คำตอบของ y
x - (5 - x)
=
1
-5 + 2x
=
1
2x
=
6
x
=
3
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยการกำจัดตัวแปร
x + y = 5 ------------
x - y = 1 ------------
1
2
สังเกตว่า
y + (-y) = 0
แทนค่า x = 3 ลงในสมการ
จะได้
ดังนั้น คำตอบของระบบสมการนี้คือ (3, 2)
1
จะได้
1
2
+
หมายถึง
นำจำนวนที่อยู่ข้างเดียวกัน
ของเครื่องหมายเท่ากับของ
สมการ และสมการ
มาบวกกัน
1
2
+
1
2
(x + y) + (x - y)
=
5 + 1
2x
=
6
x
=
3
3 + y
=
5
y
=
2
หน่วยการเรียนรู้
ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
โจทย์ปัญหาระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
โจทย์ปัญหาระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
วิเคราะห์ว่าโจทย์กำหนดอะไรมาให้บ้าง และโจทย์ถามอะไร
1.
กำหนดตัวแปรแทนสิ่งที่โจทย์ถาม
2.
สร้างระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรจากเงื่อนไขของโจทย์
3.
แก้ระบบสมการเพื่อหาคำตอบ
4.
ตรวจสอบคำตอบที่ได้กับเงื่อนไขของโจทย์
5.
การแก้โจทย์ปัญหาระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
โจทย์ปัญหาทั่วไป
ตัวอย่างโจทย์ปัญหาทั่วไป
จำนวนสองจำนวนมีผลรวมของจำนวนมากกับสองเท่าของจำนวนน้อยเท่ากับ 75 และสี่เท่าของผลต่างของสองจำนวนนั้นเท่ากับ 60 จงหาจำนวนทั้งสองจำนวนนั้น
สี่เท่าของผลต่างของสองจำนวนนั้นมีค่าเท่ากับ 60
จะได้สมการ ----
วิธีทำ กำหนดให้ x แทนจำนวนมาก
y แทนจำนวนน้อย
ผลรวมของจำนวนมากกับสองเท่าของจำนวนน้อย เท่ากับ 75
จะได้สมการ ------
1
2
75
x + 2y
=
60 หรือ 4x - 4y = 60
4(x - y)
=
x 4 จะได้ ------
- จะได้
1
3
3
2
(4x + 8y) - (4x - 4y)
=
300 - 60
4x + 8y
=
300
y
=
20
แทนค่า y = 20 ในสมการ
จะได้
1
x + 2(20)
=
75
x
=
35
ดังนั้น จำนวนสองจำนวนนั้น คือ 35 และ 20
โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอัตราส่วนและร้อยละ
ตัวอย่างโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอัตราส่วนและร้อยละ
มานะซื้อส้มผลใหญ่และผลเล็กรวมกันได้ 1,000 ผล คิดเป็นต้นทุน 3,000 บาท จากนั้นนำไปขาย�โดยขายส้มผลใหญ่ ราคาผลละ 5 บาท และขายส้มผลเล็ก ราคาผลละ 3 บาท เมื่อขายหมดจะได้กำไร 12% จงหาว่ามานะซื้อส้มผลใหญ่และผลเล็กมาอย่างละกี่ผล
แทนค่า y = 820 ลงในสมการ
จะได้ x = 1000 - 820
x = 180
ดังนั้น มานะซื้อส้มผลใหญ่มา 180 ผล
และซื้อส้มผลเล็กมา 820 ผล
3
โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอัตราส่วนและร้อยละ
วิธีทำ กำหนดให้ มานะซื้อส้มผลใหญ่มา x ผล
มานะซื้อส้มผลเล็กมา y ผล
มานะซื้อส้มมาทั้งหมด 1,000 ผล
จะได้สมการ x + y = 1000 ------
1
ขายส้มผลใหญ่ราคาผลละ 5 บาท คิดเป็นเงิน 5x บาท
ขายส้มผลเล็กราคาผลละ 3 บาท คิดเป็นเงิน 3y บาท
จะได้ว่า ขายส้มได้เงินทั้งหมด 5x + 3y บาท
ต้นทุนของส้มทั้งหมด คือ 3,000 บาท
ได้กำไร 12% หมายความว่า ได้กำไร ของต้นทุน
กำไรคิดเป็นเงิน x 3000 = 360 บาท
12�100
12�100
จะได้ว่า ขายส้มได้เงินทั้งหมด 3000 + 360 = 3360 บาท
จะได้สมการ 5x + 3y = 3360 ------
จากสมการ x = 1000 - y ------
แทนค่า x จากสมการ ลงในสมการ
จะได้ 5(1000 - y) + 3y = 3360
y = 820
2
3
1
3
2
โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับระยะทาง อัตราเร็ว และเวลา
ตัวอย่างโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับระยะทาง อัตราเร็ว และเวลา
นุ่นและดาววิ่งอยู่บนถนนเดียวกัน โดยอยู่ห่างจากกัน 9 กิโลเมตร และกำลังวิ่งเข้าหากันด้วยอัตราเร็วคงที่ ทั้งสองพบกันหลังจากเวลาผ่านไป 0.5 ชั่วโมง ถ้านุ่นวิ่งได้ระยะทางมากกว่าดาวอยู่ 1 กิโลเมตร จงหาอัตราเร็วในการวิ่งของนุ่นและดาว
โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับระยะทาง อัตราเร็ว และเวลา
วิธีทำ กำหนดให้ นุ่นวิ่งด้วยอัตราเร็ว x กิโลเมตรต่อชั่วโมง
ดาววิ่งด้วยอัตราเร็ว y กิโลเมตรต่อชั่วโมง
9 กม.
0.5x กม.
0.5y กม.
ดาว
นุ่น
ดังนั้น นุ่นวิ่งด้วยอัตราเร็ว 10 กิโลเมตรต่อชั่วโมง
และดาววิ่งด้วยอัตราเร็ว 8 กิโลเมตรต่อชั่วโมง
+ จะได้
1
2
(0.5x + 0.5y) + (0.5x - 0.5y
=
9 + 1
x
=
10
แทนค่า x = 10 ลงในสมการ
จะได้
1
0.5(10) + 0.5y
=
9
y
=
8
วิ่งเข้าหากันและพบกันในเวลา 0.5 ชั่วโมง
จะได้สมการ ----------
นุ่นวิ่งได้ระยะทางมากกว่าดาวอยู่ 1 กิโลเมตร
จะได้สมการ ----------
1
2
0.5x + 0.5y = 9
0.5x - 0.5y = 1
จบหน่วยการเรียนรู้
ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
อย่าลืมทำแบบฝึกหัดทบทวนกันนะ