二次元イジングモデルを用いた相転移の解析

中央大学物理学科　学部４年

香取研究室　長谷川陽菜

イジングモデルとは

イジングモデルとは、ミクロな磁石の集合体の物理モデル

モデルの単純さから、磁性体にとどまらず、社会系、情報系、生物系など様々な系に応用されている.

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図1 磁性体のイジングモデル図 (Jupyter上でイジングモデルのアニメーションより）

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マルコフ連鎖モンテカルロ法を用いたイジングモデル

イジングモデルの性質

・ある磁石の前後左右の磁石がすべて同じ向きなら、その磁石も上を向きたがる。

・磁石の温度が高くなればなるほど隣の磁石の向きにかかわらず、ランダムに反転しやすい性質をもつ

モンテカルロ法

　乱数を用いた数値計算法

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マルコフ連鎖

　時点に従って脈々と変化していく確率変数であるとき、1時点前の値だけで次の変数が決まること

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マルコフ連鎖でできる確率変数を利用して議事乱数を生成するモンテカルロ法のこと

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ステップ数と磁化の関係

ステップ数と磁化の関係

熱揺らぎ現象(平衡系にある系における、平均状態からのランダムなずれのこと)発生

磁化と温度のグラフ

温度を上げると急激に磁化が減少→　相転移現象の発生

相転移現象の例

・水分子の状態変化

・超電導

など

オリジナルモデル①地震のイジングモデル(パニックの伝播)

一定の確率でランダムに選ばれたスピンが反転することを考える。

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地震のタイミング: シミュレーションの途中で地震が発生するように設定。

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このシミュレーションでは、50ステップ目に地震を発生させるように設定し、その際に一定の確率でスピンを反転させている。

オリジナルモデル②マスクが輸入されなくなったときのイジングモデル

赤色: スピンが1の場合（買う）を表す。 青色: スピンが-1の場合（買わない）を表す。

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外部影響: hの値を変更することで「マスクが輸入されなくなる」影響を再現。

この場合、hの値を大きくしてマスクを買うことへの圧力を強めることにする。

時間変化: ある時点でhの値を大きく変化させることで、外部影響の劇的な変化（例えば、輸入が停止する瞬間）を再現。 このコードでは、50ステップ目にhの値をh_initialからh_finalに変更し、マスクの輸入が停止した影響をシミュレートする。

今後の展望

・現在用いている磁性体イジングモデルで解析を進め、再現度が高いプログラムを作りたい。

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・身近にある様々な現象について解析し、相転移現象に近いものがないか調べたい

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参考文献

• 「メトロポリス・ヘイスティング法（マルコフ連鎖モンテカルロ法における手法の一つ）を実装を交えて理解する」

https://qiita.com/Fumio-eisan/items/6e8bad9977e945ddb2fc

• 「Jupyter上でイジングモデルのアニメーション」

https://qiita.com/comware_tkonishi/items/ff505d064fa24aa02428

• 「社会物理学ーモデルでひもとく社会の構造とダイナミクスー」小田垣隆・佐野幸恵・山崎義弘・山本健　著

共立出版株式会社　2022年10月30日初版発行

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