Арифметична та геометрична прогресії�

ВЧИТЕЛЬ БОНДАР Л.М.

• Термін “Прогресія” був виведений римським філософом
• Боецієм

• У творі “Обчислення піщинок” Архімед вперше зіставляє арифметичну і геометричну прогресії, і вказує на зв’язок між ними

• Перші завдання на прогресії пов’язані із запитами господарського життя і суспільної практики, як, наприклад, розподіл продуктів, розподіл спадщини...

Папірус єгиптянина Ахмеса�“Наставлення до придбання знань всіх таємних речей”�(1700-2000рр до Різдва Христова)

• У клинописних табличках вавілонян, в єгипетських папірусах (IIст. до н. е.) зустрічаються приклади арифметичних прогресій

Задача з папірусу Ахмеса

• “ Нехай тобі сказано: поділи 10 мір ячменю між 10 чоловіками, щоб кожен що іде отримав на 1/8 заходів більше ніж попередній»

Ось формула, якою користувалися єгиптяни:

Задача з папірусу� Ахмеса

• У будинку було 7 кішок.
• Кожна кішка з’їдає 7 мишей.
• Кожна миша з’їдає 7 колосків.
• Кожин колос дає 7 рослин.
• На кожній рослині виростає 7 мір зерна.
• Скільки всіх разом?

Задача-легенда про шахову дошку

• Шахова гра була придумана в Індії. Коли цар Шерам познайомився з нею, він був захоплений її дотепністю і різноманітністю можливих у ній положень шахових фігур. Дізнавшись, що гра була винайдена одним з його підданих, цар закликав до себе її винахідника, вченого Сету, щоб гідно винагородити його. Він сказав, що досить багатий, щоб виконати будь-яке бажання вченого, Сету попросив царя видати за першу клітку шахівниці 1 пшеничне зерно, за другу – 2 зерна, за третю – 4, за четверту - 8,за п’яту – 16 і т. д.
• Чи зможе цар Шерам виконати бажання Сета?

18 квітильйонів 446 квадрильйонів 744 трильйона 73 мільяарда 709 мільйонів 551 тисяча 615 зерен

• Якби Шераму дуже вже захотілося виконати бажання Сети, то йому довелося б перетворити земні царства в орні поля, осушити моря й океани, розтопити льоди й сніги, що покривають далекі північні пустелі і засіяти весь цей простір пшеницею. Тоді, мабуть, років за 5 він зміг би розплатитися з Сетою.
• Якби Сета став рахувати зерна і рахував безперервно день і ніч, відраховуючи по 1 зерну в секунду, то в першу добу він відрахував би 86400 зерен, Навіть якщо б він усе життя відраховував зерна, все одно б зумів забрати лише малу частину своєї нагороди.

Дослідження прогресії математиками світу

• “Арифметика” Л. Ф. Магницького

Задача з “Арифметики” Л. Ф. Магніцького

• Хтось продав коня і просив за нього 156 руб. Купець сказав, що за коня запитана надто велика ціна.

​

​

• “Добре,- відповів продавець, візьми коня даром, а заплати тільки за цвяхи в його підковах. А цвяхів в кожній підкові по 6 штук. За перший цвях півкопійки, за другий цвях – дві копійки, за третій – чотири і т. д., за кожен цвях в два рази більше, ніж за попередній,
• Купець ж, думаючи, що заплатить не більше 10 руб., погодився. Чи проторгувався купець?

Розв’язання:�

• Правило для знаходження суми членів довільної арифметичної прогресії вперше зустрічається в творі “Книга абака” у1202р.
• Леонардо Пізанський

• У XVIII ст. В англійських підручниках з’явилася позначення арифметичної та геометричної прогресій:

Кирил Фрідріг Гаус

• Матиматичний талант Гаусса проявився ще в дитинстві.
• За легендою, шкільний вчитель математики, щоб зайняти дітей на довгий час, запропонував їм порахувати суму чисел від 1 до 100
• Юний Гаус миттєво отримав результат.
• А ви зможете?

Відповідь:

• Юний Гаус помітив, що попарні суми з протилежних кінців однакові: 1+100=101
• 2+99=101 і т.д., і миттєво отримав результат 50*101=5050

Прогресії у літературі

• Навіть у літературі ми зустрічаємося з математичними поняттями! Так згадаємо рядки з “Євгенія Онєгіна”.
• ...Не мог он ямба от хорея,
• Как мы не бились отличить…
• Ямб – це віршований розмір з наголосом на парних складах 2, 4, 6, 8... Номери ударних складів утворюють арифметичну прогресію з першим членом 2 і різницею прогресії 2. 2;4;6;8…
• Хорей – це віршований розмір з наголосом на непарних складах вірша. Номери ударних складів утворюють арифметичну прогресію 1, 3, 5, 7...

Приклади:

• Ямб
• “Мой дЯдя сАмий чЕстных прАвил…»
• Прогресія: 2, 4, 6, 8...
• Хорей
• «Я пропАл, как звЕрь в загОне»
• Прогресія:1, 3, 5, 7...

​

Прогресії в природі

• Чи думали ви коли-небудь, що представляв би собою наш світ, якщо всі живі істоти розмножувалися б безперешкодно.
• Легко показати, що закон геометричної прогресій розмноження привів би такий світ до самого сумного стану, яке тільки можна уявити!

• В Америку були ввезені горобці для боротьби з шкідливими комахами. Вони стали швидко розмножуватися. Незабаром кількість шкідливих комах по-меншало, і горобці взялися за рослин і стали спустошувати посіви.

​

• Кроликів привезли до Австралії в кінці 18 століття, а так як там не має хижаків, що харчуються кроликами, то незабаром полчище кроликів заполонили всю Австралію, завдаючи страшної шкоди сільському господарству.

• Якщо рахувати що муха відкладає по 200 я’єчок і протягом літа з’являється 7 поколінь, то за літо з’явилося більше ніж 800 000 000 000 000 мух.
• Потомство однієї пари мух за 2 роки мало б масу, що перевищує масу земної кулі

Дякую за увагу.