В ΔАВС проведені висоти BD i AF, BD=AF. Довести, що ∠САВ = ∠СВА

Довести рівність прямокутних трикутників за катетом і висотою, проведеною до гіпотенузи

У прямокутному трикутнику ГІПОТЕНУЗА більша за КАТЕТ

У прямокутному трикутнику ГІПОТЕНУЗА більша за КАТЕТ

У прямокутному трикутнику катет, який лежить проти кута 30° дорівнює половині гіпотенузи

​

​

Сума гострих кутів прямокутного трикутника 90°​

У прямокутному трикутнику АВС катет АС=15 см, а ∠В=30°. Знайти гіпотенузу АВ

Розв'язання

АС= ½ АВ - за властивістю катета, що лежить проти кута, що дорівнює 30°.

​

Отже, АВ = 2АС = 2• 15 = 30 (см)

​

​

​

​

Відповідь: 30 см

Гострі кути прямокутного трикутника відносяться як 2:7. Знайти градусні міри цих кутів.

                                              Розв'язання

Нехай х - коефіцієнт пропорційності, тоді  ∠А=2х°,  а ∠В=7х°.

∠А + ∠В = 90 ° - за властивістю гострих кутів прямокутного трикутника. 

Маємо:

2х+7х=90;

9х=90;

х=10

Отже, ∠А=2х° = 2•10° = 20°,  а ∠В=7•10°= 70°.

​

Відповідь: 20°;     70°

Гострий кут прямокутного трикутника дорівнює 20°. Знайдіть кут між бісектрисою та висотою трикутника, які проведені з вершини прямого кута​

Розв'язання

​

Розглянемо ΔАВС (∠С=90°) : ∠А = 20°,

∠А + ∠В = 90° - за властивістю гострих кутів прямокутного трикутника → ∠В = 90° - ∠А = 90° - 20°= 70°.

За умовою CD - висота , СЕ - бісектриса ΔАВС → 

∠D = 90°, а ∠ЕСВ = ½ ∠С = ½ 90° = 45°

Із  ΔСDB (∠D=90°) : ∠DСВ + ∠СВD =  90°  - за властивістю гострих кутів прямокутного трикутника → ∠DСВ  = 90° - ∠СВD = 90° - 70° = 20°.

∠EСВ = ∠ECD+ ∠DСВ - за основною властивістю величини кута  → ∠ECD = ∠EСВ  - ∠DСВ  = 45°- 20° = 25°

Відповідь: 25°

Розв'язання

У ΔАВС (∠С=90°) : ∠А= 30°. ∠А + ∠В = 90° - за властивістю гострих кутів прямокутного трикутника, звідси ∠В  = 90°- ∠А = 90°- 30° = 60°.

ВМ - бісектриса  ΔАВС - за умовою, тоді ∠АВМ= ∠СВМ = 30°.  

Розглянемо   ΔАМВ : ∠А = 30° і ∠АВМ = 30°, отже ΔАМВ - рівнобедрений за ознакою і АМ = ВМ = 6 см

Розглянемо   ΔСМВ  (∠С = 90°): ∠СВМ = 30° і ВМ = 6 см, отже  СМ = ½ ВМ - за властивістю катета, що лежить проти кута  30°,  СМ = 3 см

АС = АМ + СМ - за основною властивістю  довжини відрізка

 АС = 6 + 3 = 9 (см)          

Відповідь: 9 см