Tutte queste figure hanno la stessa area?
Sì può notare che le figure sono formate da parti uguali
Questi due triangoli sono uguali e si sovrappongono perfettamente, cioè se i due triangoli dovessero essere messi uno sull’altro nella stessa posizione, essi combacerebbero perfettamente come se fossero un'unica figura
Figure che si sovrappongono perfettamente vengono dette congruenti
Prendiamo come esempio queste due figure: esse sono formate dalle stesse parti
Le figure che sono dello stesso colore (i triangoli rossi, i quadrati gialli…) sono congruenti
Le aree della villetta e dell’anatra sono date dalla somma delle aree delle parti che le compongono.
Visto che le parti tra loro sono congruenti e che figure congruenti hanno la stessa area anche la somma delle aree delle parti è congruente.
Perciò l’anatra e la villetta sono congruenti
Perciò tutte queste figure hanno la stessa area
Figure che sono formate da parti congruenti tra loro vengono dette equiscomponibili
ESPERIMENTO 1
Posizioniamo le figure e incolliamole sul foglio in questi due modi
Adesso prendiamo un righello e lo allineiamo lungo il lato obliquo al triangolo azzurro
Nel primo caso il righello va sopra ad un pezzo del triangolo arancione
Nel secondo caso, dopo aver allineato il righello al triangolo azzurro, si crea uno spazio tra il righello e il triangolo arancione
Così in entrambi i casi si dimostra che i lati obliqui dei due triangoli non formano un unico lato obliquo
Allora perché la seconda figura ha un quadratino in meno?
Il fatto che non siano due figure uguali spiega perché avanza un quadratino nella seconda figura
Infatti le due figure hanno gli angoli evidenziati in figura che formano angoli quasi di 180°. Questo spiega perché non lo abbiamo visto ad occhio nudo
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Aree diverse perché?
Le figure sono formate dalle stesse parti, ma hanno aree diverse.
Figura di sinistra:
Base=2+3+3+2=10
Altezza=5+8=13
Area=base × altezza:2=65
Figura di destra:
Base=3+3+2=8
Altezza=5+3=8
Area=base × altezza=64
La soluzione
Quindi la figura non è un triangolo, ma un poligono formato da 5 lati
Infatti i lati obliqui del triangolo arancione e di quello giallo della prima figura non formano un unico lato obliquo (lo si può notare usando un righello: infatti si crea un piccolo spazio dopo aver allineato il righello ad uno dei due triangoli)
Per questo motivo non si può calcolare l’area della prima figura come se fosse un triangolo
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La tavoletta di cioccolato infinita
Tagliamo la barretta (o il cartoncino) come mostrato e lo ricomponiamo
Perché avanza il quadratino?
Per prima cosa bisogna notare che la tavoletta si è leggermente abbassata
L’area persa abbassando la tavoletta è pari all’area del quadrato che avanza
Area persa (in rosso)= base × altezza=1×25=25
Area del quadrato= lato × lato=5×5=25
Altezza della parte persa=1 Altezza del quadrato=5 -›L’ altezza totale diminuisce di un quinto dell’altezza del quadrato tolto
Ma ci sono anche degli altri modi per scomporre la tavoletta
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