Методы решения тригонометрических уравнений

Содержание

• Метод замены переменной
• Метод разложения на множители
• Однородные тригонометрические уравнения
• С помощью тригонометрических формул:
• Формул сложения
• Формул приведения
• Формул двойного аргумента

​

Метод замены переменной

С помощью замены t = sinx или t = cosx, где t ∈ [−1;1] решение исходного уравнения сводится к решению квадратного или другого алгебраического уравнения.

​

См. примеры 1 – 3

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Метод разложения на множители

Суть этого метода заключается в том, что произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а другие при этом не теряют смысл:

f(x) · g(x) · h(x) · … = 0 ⟺ f(x) = 0 или g(x) = 0 или h(x) = 0

и т.д. при условии существования каждого из сомножителей

​

См. примеры 4 – 5

Пример 4

Пример 5

Однородные тригонометрические уравнения

Уравнение вида a sin x + b cos x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени.

a sin x + b cos x = 0

Замечание.

Деление на cos x допустимо, поскольку решения уравнения cos x = 0 не являются решениями уравнения a sin x + b cos x = 0.

: cos x

a tg x + b = 0

Однородные тригонометрические уравнения

a sin²x + b sin x cos x + c cos²x = 0

Уравнение вида a sin²x + b sin x cos x + c cos²x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

: cos²x

a tg²x + b tg x + c = 0

Далее, вводим новую переменную tg x = t и решаем методом замены переменной.

Замечание. Если в данном уравнении а = 0 или с = 0 то, уравнение решается методом разложения

на множители.

Пример 6

Пример 7

Пример 8

Пример 9

Пример 10

Пример 11

С помощью тригонометрических формул

1. Формулы сложения:

​

​

sin (x + y) = sinx cosy + cosx siny

cos (x + y) = cosx cosy − sinx siny

sin (x − y) = sinx cosy + cosx siny

cos (x − y) = cosx cosy + sinx siny

Пример 12

Пример 13

С помощью тригонометрических формул

2. Формулы приведения:

​

​

​

Лошадиное правило

В старые добрые времена жил рассеянный математик, который при поиске ответа менять или не менять название функции (синус на косинус), смотрел на свою умную лошадь, а она кивала головой вдоль той оси координат, которой принадлежала точка, соответствующая первому слагаемому аргумента π/ 2 + α или π + α.

Если лошадь кивала головой вдоль оси ОУ, то математик считал, что получен ответ «да, менять», если вдоль оси ОХ, то «нет, не менять».

С помощью тригонометрических формул

3. Формулы двойного аргумента:

​

​

​

sin 2x = 2sinx cosx

cos 2x = cos²x – sin²x

cos 2x = 2cos²x – 1

cos 2x = 1 – 2sin²x

Пример 14

С помощью тригонометрических формул

4. Формулы понижения степени:

​

​

​

5. Формулы половинного угла:

​

​

С помощью тригонометрических формул

6. Формулы суммы и разности:

​

​

С помощью тригонометрических формул

7. Формулы произведения:

​

​

Мнемоническое правило�“Тригонометрия на ладони”

Очень часто требуется знать наизусть значения cos, sin, tg, ctg для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Но если вдруг какое-либо значение забудется, то можно воспользоваться правилом руки.

Правило: Если провести линии через мизинец и большой палец,

то они пересекутся в точке, называемой “лунный бугор”.

Образуется угол 90°. Линия мизинца образует угол 0°.

Проведя лучи из “лунного бугра” через безымянный, средний, указательный пальцы, получаем углы соответственно 30°, 45°, 60°.

Подставляя вместо n: 0, 1, 2, 3, 4, получаем значения sin, для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.

Для cos отсчет происходит в обратном порядке.

Не закончено!