Semelhanças de triângulos

Recomposição de Aprendizagem

Definição:

Dois triângulos são semelhantes se:

Correspondência biunívoca entre seus vértices.

G

.

A

B

C

E

F

Ângulos iguais.

Lados proporcionais

Definição:

Dois triângulos são semelhantes se:

G

.

A

B

C

E

F

Correspondência biunívoca entre seus vértices.

Ângulos iguais.

Lados proporcionais

.

Definição:

Dois triângulos são semelhantes se:

G

.

A

B

C

E

F

Correspondência biunívoca entre seus vértices.

Ângulos iguais.

Lados proporcionais

.

Definição:

Dois triângulos são semelhantes se:

G

.

A

B

C

E

F

Correspondência biunívoca entre seus vértices.

Ângulos iguais.

Lados proporcionais

.

Definição:

Dois triângulos são semelhantes se:

G

.

A

B

C

E

F

Correspondência biunívoca entre seus vértices.

Ângulos iguais.

Lados proporcionais

Definição:

Dois triângulos são semelhantes se:

G

.

.

A

B

C

E

F

Correspondência biunívoca entre seus vértices.

Ângulos iguais.

Lados proporcionais

Definição:

Dois triângulos são semelhantes se:

Correspondência biunívoca entre seus vértices.

Ângulos iguais.

Lados proporcionais

G

.

.

A

B

C

E

F

Definição:

Dois triângulos são semelhantes se:

Correspondência biunívoca entre seus vértices.

Ângulos iguais.

Lados proporcionais

G

.

.

A

B

C

E

F

Definição:

Dois triângulos são semelhantes se:

Correspondência biunívoca entre seus vértices.

Ângulos iguais.

Lados proporcionais

G

.

.

A

B

C

E

F

Definição:

Dois triângulos são semelhantes se:

Correspondência biunívoca entre seus vértices.

Ângulos iguais.

Lados proporcionais

G

.

.

A

B

C

E

F

=

Definição:

Dois triângulos são semelhantes se:

Correspondência biunívoca entre seus vértices.

Ângulos iguais.

Lados proporcionais

G

F

.

.

A

B

C

E

=

=

=

Definição:

Dois triângulos são semelhantes se:

Correspondência biunívoca entre seus vértices.

Ângulos iguais.

Lados proporcionais

G

F

.

A

B

C

E

=

.

Definição:

Dois triângulos são semelhantes se:

Correspondência biunívoca entre seus vértices.

Ângulos iguais.

Lados proporcionais

G

.

.

A

B

C

E

F

=

G

.

.

A

B

C

E

F

=

Teorema

G

.

.

A

B

C

E

F

=

Teorema

Teorema

Se uma reta paralela a um dos lados de um triângulo, corta os outros dois lados, então elas os dividem na mesma razão.

G

.

.

A

B

C

E

F

=

Teorema

Teorema

Se uma reta paralela a um dos lados de um triângulo, corta os outros dois lados, então elas os dividem na mesma razão.

Isso significa que os ângulos correspondentes dos dois triângulos são congruentes e seus lados homólogos são proporcionais.

G

.

.

A

B

C

E

F

=

Teorema

Isso significa que os ângulos correspondentes dos dois triângulos são congruentes e seus lados homólogos são proporcionais.

Teorema

Se uma reta paralela a um dos lados de um triângulo, corta os outros dois lados, então elas os dividem na mesma razão.

Teorema

.

A

.

B

M

C

N

x

y

4

z

12

z

9

5

Imagine um triângulo retângulo, e dentro dele é inserido um quadrado. Sendo que seus vértices tocam os lados desse triângulo.

Imagine um triângulo retângulo, e dentro dele é inserido um quadrado. Sendo que seus vértices tocam os lados desse triângulo.

Agora, dois novos triângulos foram formados.

Imagine um triângulo retângulo, e dentro dele é inserido um quadrado. Sendo que seus vértices tocam os lados desse triângulo.

Agora, dois novos triângulos foram formados.

Observe os ângulos desses novos triângulos.

Imagine um triângulo retângulo, e dentro dele é inserido um quadrado. Sendo que seus vértices tocam os lados desse triângulo.

Agora, dois novos triângulos foram formados.

Observe os ângulos desses novos triângulos.

Imagine um triângulo retângulo, e dentro dele é inserido um quadrado. Sendo que seus vértices tocam os lados desse triângulo.

Agora, dois novos triângulos foram formados.

Observe os ângulos desses novos triângulos.

Esses triângulos são semelhantes.

Esses triângulos são semelhantes.

Então é possível descobrir o lado do quadrado. E para isso vamos supor que x seja o lado do quadrado e 6 a altura desse triângulo.

x

6

6-x

.

Considere:

A

C

B

D

a

b

c

m

n

h

h

h

b

c

m

n

.

.

Considere:

A

C

B

D

a

b

c

m

n

h

h

h

b

c

m

n

.

.

.

Considere:

A

C

B

D

a

b

c

m

n

h

h

h

b

c

m

n

.

.

.

Considere:

A

C

B

D

a

b

c

m

n

h

h

h

b

c

m

n

.

.

.

Considere:

A

C

B

D

a

b

c

m

n

h

h

c

m

.

h

b

n

.

.

A

C

B

D

a

b

c

m

n

h

h

c

m

.

h

b

n

.

Todos são semelhantes e temos, por exemplo:

Através disso, podemos encontrar as relações métricas no triângulo retângulo (que não é o foco dessa aula).

Esses triângulos possuem ângulos iguais e lados com comprimentos diferentes (porém, proporcionais). Por isso, são semelhantes.

.

A

C

B

D

a

b

c

m

n

h

h

c

m

.

h

b

n

.

Todos são semelhantes e temos, por exemplo:

Através disso, podemos encontrar as relações métricas no triângulo retângulo (que não é o foco dessa aula).

Esses triângulos possuem ângulos iguais e lados com comprimentos diferentes (porém, proporcionais). Por isso, são semelhantes.

Clube de Matemática – Crede 14

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Bolsista responsável:

Jonas Lima Cavalcante