Systèmes triphasés�Etude en régime équilibré
électrotechnique
Leçon 5
Préliminaire: Systèmes q-phasés
Ordre du système
Paramètre compris entre 0 et q-1
électrotechnique
Systèmes triphasés
Préliminaire: Systèmes q-phasés
⎟
⎠
⎝
⎛
⎠
⎝
⎛
⎠
⎝
q
eq = E
2π ⎞
(q −1).
2π ⎞
2π ⎞
2 cos⎜ωt + θ0 −
2 cos⎜ωt + θ0 − k. q ⎟
ek +1 = E
...
2 cos⎜ωt + θ0 − q ⎟
e1 = E 2 cos(ωt + θ0 )
⎛
e2 = E
...
électrotechnique
Systèmes triphasés
même valeur efficace
q
2π
-
E2
E3
E4
E1
Représentation de Fresnel : Systèmes q-phasés
électrotechnique
Q = 8
Systèmes triphasés
q=2 , système biphasé (différent de diphasé)
+
E1
E
2
e1 = E 2 cos(ωt )
m = 1
déphasage π
e2 = E 2 cos(ωt − π)
électrotechnique
Représentation de Fresnel : Systèmes biphasé
Systèmes triphasés
+
E1
E2
2π
3
e1 = E 2 cos(ωt )
m = 1 Déphasage 2π/3
⎠
⎝
⎛
2π ⎞
e2 = E 2 cos⎜ωt − 3 ⎟
⎠
⎜
⎝
3 ⎟
3
e = E 2 cos⎛ωt − 4π ⎞
E3
électrotechnique
Systèmes triphasés
Représentation de Fresnel : Systèmes biphasé
+
π/2
e1 = -e3
e2 = -e4
E4
E1
E2
E3
électrotechnique
Systèmes triphasés
Représentation de Fresnel : Systèmes tétraphasé (diphasé)
e
1
e
2
e1
e2
N
e1
e2
-e
1
-e2
e1 e3
e2 e4
e1 = -e3
e2 = -e4
N
E
1
E
2
2 transfos à point milieu
électrotechnique
Systèmes triphasés
Exemple de réalisation : Systèmes tétraphasé (diphasé)
m 2π
Paramètre m : Différents systèmes triphasés
3
Déphasage
m = 0 Déphasage nul
m = 1 Déphasage 2π/3
m = 2 Déphasage 4π/3
Système triph. homopolaire
Système triph. direct Système triph. inverse
électrotechnique
Systèmes triphasés
Exemple de réalisation : Systèmes tétraphasé (diphasé)
m = 0
1
2
3
Système Homopolaire
m = 1
3
1
2
Système Direct
m = 2
2
1
3
Système Inverse
électrotechnique
Systèmes triphasés
Paramètre m : Différents systèmes triphasés
Systèmes triphasés équilibrés
E1 = E2 = E3
(même valeur efficace)
et déphasages successifs de m2π/3 égaux
E1 + E2 + E3 = 0
électrotechnique
Systèmes triphasés
Systèmes triphasés équilibrés
3
2
1
m = 1
Système Direct
Sens de rotation du trièdre
Observateur fixe
Ordre de passage 1-2-3
électrotechnique
Systèmes triphasés
Systèmes triphasés directs
2
3
1
m = 1
Système Direct
Sens de rotation du trièdre
Observateur fixe
Ordre de passage 1-3-2
électrotechnique
Systèmes triphasés
Systèmes triphasés inverses
Exemple du système direct
m = 1
3
1
2
Système direct
Complexe
3
2π
3
− j 4π
E3 = E e
E2 = E e
E1 = E
Analytique (instantanée)
⎠
⎜
⎝
⎠
⎝
⎛
3 ⎟
3
2π ⎞
e = E 2 cos⎛ωt − 4π ⎞
e2 = E 2 cos⎜ωt − 3 ⎟
e1 = E 2 cos(ωt )
Vectorielle
électrotechnique
Systèmes triphasés
m = 1
3
1
2
Système direct
Complexe
2
1
4π
3
2π
3
E3 = E e
E = E e
E = E
Racines cubiques de l’unité
1
2
E3 = a E1
E = a2 E
E1 = E
électrotechnique
Systèmes triphasés
Exemple du système direct: notation complexe
a
a2
1
Oscillogrammes: Exemple du système direct
m = 1
3
1
2
Système Direct
électrotechnique
Systèmes triphasés
Groupements: Tensions et courants équilibrées
E1
E2
E3
I1
I2
I3
Charge inductive
↑
e1
i1
Z
↑
e
2
i2
Z
↑
e3
i3
Z
nécessite 6 fils
les 3 courants forment un système équilibré
électrotechnique
Systèmes triphasés
Groupement étoile
V1 tension simple (entre phase et neutre)
e1
e2
e3
fil de ligne (ou de phase)
I1
courant de ligne
fil neutre
IN =I1 + I2 + I3
V1
U12
U12
tension composée (entre deux phases)
électrotechnique
Systèmes triphasés
Groupements : Relation tension simple-composée
U12
e1
e2
e
3
V1
V
1
V
2
V3
-V2
U12
U12 = V1 − V2
1 1
= V − V .e
2π
3
⎠
1 ⎝
= V ⎛⎜1− e− j 2π 3 ⎞⎟
électrotechnique
Systèmes triphasés
Groupements : Relation tension simple-composée
3
2
3 3
2
⎟ =
1 ⎞
3⎜
⎝ 2 2 ⎠
⎛
=
3 e j π 6
= 1− cos 2π + j sin 2π
3 3
V
1
V2
V3
-V
2
U12
électrotechnique
Systèmes triphasés
Groupements : Relation tension simple-composée
V1
V2
V3
U12
π/6
12 1
U = V 3 e j π 6
U = V 3
déphasage π
6
électrotechnique
Systèmes triphasés
Groupement étoile
ligne à 4 fils
e1
e2
e3
I1
iN =i1 + i2 + i3
en équilibré, iN = 0
ligne à 3 fils
1er intérêt du triphasé : moins de cuivre pour transporter la même puissance
électrotechnique
Systèmes triphasés
Groupement Triangle
V1 tension simple indisponible
U12 tension composée (entre deux phases)
I1 Courant de ligne
J12 Courant de Triangle
e1
e
3
U
12
I1
J12
e2
électrotechnique
Systèmes triphasés
Remarque: Groupement triangle (neutre artificiel)
V1 tension simple indisponible, mais, avec 3 résistances identiques en étoile on peut créer un neutre artificiel et la rendre disponible
e
1
e2
e3
V
1
N
Potentiel
du neutre
électrotechnique
Systèmes triphasés
Relation courants de ligne-triangle
J
12
J23
J31
-J31
I1
J12
I1
J31
I1 = J12 − J31
− j 4π
= J12 − J12 e 3
⎠
12 ⎝
= J ⎛⎜1− e− j 4π 3 ⎞⎟
électrotechnique
Systèmes triphasés
J
12
J
23
J31
-J31
I1
I1 = J12 − J31
12 12
= J − J .e
4 π
3
⎠
12 ⎝
= J ⎛⎜1− e− j 4π 3 ⎞⎟
3
3
=
⎜ 2 2 ⎟
⎝ ⎠
3 e− j π 6
3 = ⎜ 3 − j 1
2
3
= 3 − j
2
= 1 − cos 4π + j sin 4π
Relation courants de ligne-triangle
électrotechnique
Systèmes triphasés
Groupements: Relation courants de ligne-triangle, résumé
J
12
J23
J31
-J31
I1
I1 = J12 − J31
6
I1 = J12 3 e
I = J 3
déphasage − π
6
électrotechnique
Systèmes triphasés
Groupements: Résumé
On peut grouper des générateurs:
U
e
1
e2
e3
En étoile
ou Y ou
En triangle
ou D ou
Tension simple V Tension composée U
e1
e2
e3
V
L1
U
N
électrotechnique
Systèmes triphasés
On peut grouper des récepteurs
En triangle
Ou D Ou
En étoile
Ou Y Ou
U
L1
L2
U
L1
L2
V
Groupements: Résumé
électrotechnique
Systèmes triphasés
U
L1
L2
V
I
U
L1
L2
J
I
I = J 3 I retarde de π
6
sur J
U = V 3 U avance de π
6
sur V
électrotechnique
Systèmes triphasés
Relations étoile-triangle : Résumé
U
L1
L2
U
L1
L2
V
I
J
I
Utilisation particulière : Soient les mêmes 3 résistances placées en étoile ou en triangle :
La puissance en étoile est 3 fois plus faible qu’en triangle (à même U)
D’où la possibilité d’avoir deux tensions d’alimentation pour le même appareil Exemple : démarrage étoile-triangle des moteurs synchrones (obsolète)
électrotechnique
Systèmes triphasés
Aspect puissances : puissance instantanée
↑
a
1
b1
Z
↑
a
2
b2
Z
↑
a3
b
3
Z
a1 = 2 A cos(ω t )
b1 = 2 B cos(ω t − ϕ )
Terme constant
Terme fluctuant
[ ( ω t − ϕ )]
p = a b
ϕ + cos 2
= AB cos
= 2 A B cos(ω t )cos(ω t − ϕ )
1 1 1
Pour une phase :
électrotechnique
Systèmes triphasés
↑
a
1
b1
charge
Une phase ou bien monophasé
puissance instantanée pour une phase
t
a(t)
P0 = A.B.cos(ϕ)
t
p(t) = a1(t) . b1(t)
T 2
T 2
b1 (t)
électrotechnique
Systèmes triphasés
puissance instantanée en triphasé équilibré
↑
a1
b1
Z
↑
a2
b2
Z
↑
a3
b3
Z
]
0
p = AB [ 3 cosϕ +
⎣
⎡
⎠⎦
⎝
⎛
⎣
⎡
⎠⎦
⎝
⎛
3
2
2π ⎞⎤
4π ⎞⎤
p = AB ⎢cosϕ + cos⎜ 2 ω t − ϕ − 3 ⎟⎥
p = AB ⎢cosϕ + cos⎜ 2 ω t − ϕ − 3 ⎟⎥
p1 = AB[cosϕ + cos(2 ω t − ϕ )]
Donc p(t) = P
électrotechnique
Systèmes triphasés
Puissance instantanée
en triphasé équilibré
↑
a1
b1
↑
a
2
b2
Ch
↑
a
3
b3
Ch
t
t
p1(t)
t
t
ptri(t) = p1(t) + p2(t) + p3(t) = 3.P0
t
p2(t)
p3(t)
P0
P0
P0
électrotechnique
Systèmes triphasés
Comparaison transport monophasé et triphasé
↑
v
i
charge
P
L
↑
i
1
P
↑
v2
↑
v3
i
3
charge
i
2
L
v1
électrotechnique
Systèmes triphasés
Aspect puissance : Puissance instantanée
Etoile
Triangle
U
L1
L2
V
I
A = V B = I
p = 3VI cosϕ
A = U B = J
p = 3UJ cosϕ
L2
I
L1
J
U
= 3 UI cosϕ
= 3 UI cosϕ
électrotechnique
Systèmes triphasés
p = 3UI cosϕ
ϕ est aussi toujours le déphasage de I sur V.
ϕ est l’argument de Z
Formule valable quelque soit le couplage
Aspect puissance : Puissance instantanée
électrotechnique
Systèmes triphasés
Aspect puissances : Les autres puissances
| Expression. | en monophasé. |
Active | P = 3UI cosϕ | P = VI cosϕ |
Réactive | Q = 3UI sinϕ | Q = VI sinϕ |
Apparente | S = 3UI | S = VI |
Facteur de puissance | k = P = cosϕ S | k = P = cosϕ S |
électrotechnique
Systèmes triphasés
Pfournie
Q
fournie
Idem monophasé et seulement
pour les régimes sinusoïdaux de même fréquence
Preçue Qreçue
égal
Amont | | Aval |
| ||
| ||
| ||
neutre |
Aspect puissance: Théorème de Boucherot
3 phases
électrotechnique
Systèmes triphasés
Mesure des puissances: Méthode à 3 wattmètres
L1 L2
L3
N
1N
P1
2N
P 2
3N
P 3
xy
P x
Courant pris en compte
Tension prise en compte
électrotechnique
Systèmes triphasés
Mesure des puissances : Méthode à 3 wattmètres
L1 L2
L3
N
1N
P1
2N
P 2
3N
P 3
P = P1
1N 2N
3N
+ P 2 + P 3
Puissance active
Puissance réactive
Q = Q1 + Q2 + Q3
i i i
Q = ( )
2
V I − P
1N
1
( )
2
quels que soient les déséquilibres tension et courant
en sinus uniquement
électrotechnique
Systèmes triphasés
Mesure des puissances : Méthode à 2 wattmètres
L1 L2
L3
N
1N
P1
2N
P 2
point commun aux 3 wattmètres
3N
P 3
P
P
′
=
= i v = i v + i v
=
3
3N ′ i3 v3N ′ = i3 v3N
2 NN ′
P2
2 N ′ 2 2 N ′ 2 2 N
1 NN ′
1
1N i1 v1N ′ = i1 v1N
P = P1 + P 2 + P 3 + v
1N 2N 3N
NN ′ 1
(
i + i2 + i3 )
Vrai en équilibré
ou en 3 fils quelconque
(quelque soit le potentiel N’)
N’
électrotechnique
Systèmes triphasés
Mesure des puissances : Méthode à 2 wattmètres
L1 L2
L3
N
1N
P1
2N
P 2
3N
P 3
1N
P = P1
2N 3N
+ P 2 + P 3
(quelque soit le potentiel N’)
Prenons N’ sur L3
2 watmètres suffisent
électrotechnique
Systèmes triphasés
L1 L2
L3
13
P1
23
P 2
33
P 3 indique toujours 0
N’ devient L3
P = P1 + P 2
13 23
Vrai quels que soient les déséquilibres sur ligne 3 fils
Mesure des puissances : Méthode à 2 wattmètres
électrotechnique
Systèmes triphasés
23 2
23 2
23
13 1
13 1
13
P2
P1
= U I cos(U , I )
= U I cos(U , I )
U13
U23
i1
i2
ϕ
ϕ −
π
6
L1 L2
L3
13
P1
23
P 2
v1
v2
v3
En équilibré
Mesure des puissances : Méthode à 2 wattmètres
électrotechnique
Systèmes triphasés
23 2 23 2
23
13
P2
P1
= U I cos(U , I )
⎟
6 ⎠
⎝
⎛
π ⎞
= UI cos⎜ϕ −
v1
v2
v3
U13
U23
i1
i2
ϕ
π
ϕ +
6
L1 L2
L3
13
P1
23
P 2
électrotechnique
Systèmes triphasés
Mesure des puissances : Méthode à 2 wattmètres
L1 L2
L3
13
P1
23
P 2
v1
v2
v3
U13
U23
i1
i2
ϕ
ϕ
ϕ + π
6
6
ϕ − π
⎟
⎝
π ⎞
⎟
⎝
⎛
⎛
π ⎞
6 ⎠
6 ⎠
23
13
= UI cos⎜ϕ +
P2
= UI cos⎜ϕ −
P1
= 3UI cos ϕ
Comme démontré précédemment en régime quelconque !
électrotechnique
Systèmes triphasés
Mesure des puissances : Méthode à 2 wattmètres
L1 L2
L3
13
P1
23
P 2
v1
v
2
v
3
U13
U23
i1
i
2
ϕ
ϕ
ϕ + π
6
6
ϕ − π
⎟
⎝
π ⎞
⎟
⎝
⎛
⎛
π ⎞
6 ⎠
6 ⎠
23
13
= UI cos⎜ϕ +
P2
= UI cos⎜ϕ −
P1
P = P1 + P 2
13 23
électrotechnique
Systèmes triphasés
Mesure des puissances : Méthode à 2 wattmètres
L1 L2
L3
13
P1
23
P 2
v1
v2
v3
U13
U23
i1
i2
⎟
⎠
⎜
⎝
⎛
π ⎞
⎟
⎝
⎛
π ⎞
6
6 ⎠
2
23
13
P = UI cos ϕ +
= UI cos⎜ϕ −
P1
= UI sin ϕ
Q = 3 P
13
1
23
2
(
)
Seulement si courants et tensions équilibrés
électrotechnique
Systèmes triphasés
Mesure des puissances : Méthode à 2 wattmètres
Mesure directe de Q
Sur ligne totalement équilibrée i et v
23 1
23 1
23
P1
= U I cos(U , I )
⎠
⎞
⎝
= UI sin ϕ
⎛ π
= UI cos⎜ − ϕ ⎟
2
v1
v
2
v
3
U23
π − ϕ
2
i1
i
2
ϕ
23
Q = 3 P1
L1
L3
23
P1
L2
électrotechnique
Systèmes triphasés
Mesure des puissances : Méthode directe de Q
v1
v2
v3
i
1
i2
i3
Charge inductive
électrotechnique
Systèmes triphasés
Conclusion: Systèmes triphasés
L1
L2
V
U
I
L1
U
L2
J
I
électrotechnique
Systèmes triphasés
Conclusion: Tensions et courants
Attention: ϕ est le déphasage de I sur V.
électrotechnique
Systèmes triphasés
Conclusion: Puissance en triphasé
13
P1
P 2
23
23
P1
1N
P1
2N
P 2
3N
P 3
électrotechnique
Systèmes triphasés
Conclusion: Puissance en triphasé