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TEMAS DE EXPOSICIÓN:

SERIES DE fOURIER

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  • Evaluación de coeficientes

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  • Aproximación mediante una serie finita de Fourier

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  • Convergencia

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  • Fourier de la forma compleja

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SERIES DE FOURIER

Una serie de fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos. La serie de fourier permite el análisis de funciones periódicas por medio de la suma infinita de funciones sinusoidales más simples que generalmente son senos y cosenos (o por partes).

Si f(t) : R → R es una función periódica con periodo T , la serie de Fourier de f(t) es :

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Donde :

La frecuencia angular fundamental es ω0 = 2π /T

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�����������������En donde si se reemplaza la frecuencia angular fundamental en la serie trigonométrica de Fourier se obtiene:�����

Donde:

Los términos ao, an, bn representan los coeficientes de la serie de Fourier.

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Evaluación de los coeficientes de la SERIE DE FOURIER

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Aproximación mediante una serie finita de Fourier

  • Como sabemos la teoría de Fourier establece que una función periódica f(t), puede ser expresada como una suma de funciones simples senoidales.
  • Se puede ver que la expresión de la descomposición de la serie de Fourier es una sumatoria que incluye un número ilimitado de elementos, el análisis se reduce a la ponderación de cada uno de ellos haciendo que el estudio se limite a un número limitado de componentes armónicas.

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De esta forma surge el concepto de Serie de Fourier Finita, SK(t), que es aquella descomposición armónica en la que se tienen en cuenta sólo los primeros K elementos de la Serie de Fourier, o sea:

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Si se aproxima la función f(t) mediante la serie finita de Fourier SK(t), se obtiene la expresión:

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Donde εK(t) es el error debido a la aproximación mediante la Serie de Fourier de K términos.

Para determinar la calidad de la aproximación es más adecuada una medida cuantitativa del error global por período, para ello se utiliza el error cuadrático medio:

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A medida que se van incluyendo términos de la Serie de Fourier en el sumatorio de SK(t) el valor del error cuadrático va disminuyendo, hasta que el límite obtenemos que:

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CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER�

 

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Si f(x), x elemento del dominio es una función continua a trozos la serie de Fourier converge a:

Para todo x elemento del dominio donde f(x) sea continua S.F= f(x)

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Ejemplo:

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SERIE COMPLEJA DE FOURIER:

Consideremos la serie de Fourier para una función periódica f(t), con periodo T = 2π/ω0.

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Es posible obtener una forma alternativa usando las fórmulas de Euler:

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Sustituyendo:

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Y usando el hecho de que 1/i = -i:

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Y definiendo:

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A la expresión obtenida:

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se le llama forma compleja de la serie de Fourier y sus coeficientes cn pueden obtenerse a partir de los coeficientes an, bn como ya se dijo, o bien:

Para n = 0, +-1, +-2, +-3, ...

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Entonces la serie compleja de Fourier queda:

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BIBLIOGRAFÍA: