Matemáticas

Ecuaciones cuadráticas de Segundo Grado

Presentadas por: Betsy Mendoza

Nivel: 12°E

E.N.J.D.A

¿Qué es una ecuación cuadrática?

• Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma: �f(x) = ax² + bx + c donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.
• Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola.
• Como ejemplo, ahí tienes la representación gráfica de dos funciones cuadráticas muy sencillas:��
• f(x) = x²�
• f(x) = -x²

​

FORMULA GENERAL DE LA ECUACION CUADRATICA

METODOS PARA DESARROLLAR LA ECUACION CUADRATICA DE SEGUNDO GRADO

FACTORIZACIÓN

• Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero.  Luego expresar el lado de la ecuación que no es cero como un producto de factores.  Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable.

​

• Ejemplos para discusión en clase:  Resuelve las siguientes ecuaciones por factorización:

• 1)  x² - 4x = 0
• 2)  x² - 4x = 12
• 3)  12x² - 17x + 6 = 0

• Nota:  No podemos resolver todas las ecuaciones cuadráticas por factorización porque este método está limitado a coeficientes enteros.  Por eso tenemos que conocer otros métodos.

​

​

RAIZ CUDRADA

• Este método requiere el uso de la propiedad que se menciona a continuación.

• Propiedad de la raíz cuadrada:  Para cualquier número real k, la ecuación x² = k es equivalente a :

​

​

​

• Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes 
• ecuaciones por el método de raíz cuadrada:

• 1)  x² - 9 = 0
• 2)  2x² - 1 = 0
• 3)  (x - 3)² = -8

​

FORMULA GENERAL

• La solución de una ecuación ax² + bx + c con a diferente de cero está dada por la fórmula cuadrática:

​

Complementado cuadrados

• En esta lección
• ● resolverás ecuaciones cuadráticas al completar el cuadrado
• ● reescribirás ecuaciones cuadráticas en forma de vértice completando
• el cuadrado
• ● trabajarás con una ecuación cuadrática que no tiene soluciones en
• números reales
• Puedes encontrar soluciones aproximadas de las ecuaciones cuadráticas usando
• gráficas y tablas de calculadora. Si eres capaz de escribir la ecuación en forma
• factorizada o en forma de vértice, puedes utilizar métodos simbólicos para hallar
• las soluciones exactas. En esta lección aprenderás un método simbólico llamado
• completar el cuadrado, que puedes usar para hallar soluciones exactas de
• cualquier ecuación cuadrática en forma general.

​

TRIGONOMETRIA

TEMA 2

TRIGONOMETRIA

• CONCEPTO:
• La trigonometría (que significa en griego medición de triángulos) es la parte de la matemática, o más específicamente de la geometría, que se ocupa del cálculo de triángulos, comprendiendo sus seis elementos, los tres lados y los tres ángulos. Se parte de al menos tres elementos del mismo, siendo indefectiblemente, uno de ellos, un lado del triángulo. Además tiene por objeto el cálculo en general de todas las figuras que puedan descomponerse en triángulos. Es un conocimiento antiquísimo que se remonta a egipcios y babilonios, desarrollada muy profundamente por los árabes. Tiene amplia aplicación en física, química, ingeniería y astronomía, para medir enormes distancias.

​

Desarrollo Histórico

Egipcios

• La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos.
• En el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea compiló una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Comenzando con un ángulo de 70° y yendo hasta 180 °C con incrementos de 70°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r.
• 300 años más tarde el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal (base 60) de los babilonios. Tolomeo incorporó en su gran libro de astronomía, el Almagesto, una tabla de cuerdas con incrementos °, desde 0° a 180°, con un error menor que 1/3.600 de unidad.

​

Babilónicos

• Los babilonios determinaron aproximaciones de medidas de ángulos o de longitudes de los lados de los triángulos rectángulos. Varias tablas grabadas sobre arcilla seca lo testimonian. Así, por ejemplo, una tablilla babilonia escrita en cuneiforme, denominada Plimpton 322(en torno al 1900 a. C.) muestra quince ternas pitagóricas y una columna de números que puede ser interpretada como una tabla de funciones trigonométricas; sin embargo, existen varios debates sobre si, en realidad, se trata de una tabla trigonométrica.
•  

​

Los árabes

• A finales del siglo VIII los astrónomos árabes, que habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India, prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Varios matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, lo que produjo los valores modernos de las funciones trigonométricas.
• Los árabes calcularon tablas precisas en división sexagesimal; entre ellos destacó en particular Abu al-Wafa al - Buzadjami (940 - 997) por las divisiones en cuarto de grado, con cuatro posiciones sexagesimales.

hindúes

• Fueron los indios quienes dieron el nombre técnico a la semicuerda del arco doble. Este nombre se convirtió en nuestro seno a través de las traducciones al árabe, y luego del árabe al latín.
• Estos adquieren los conocimientos de la Trigonometría de los alejandrinos, pero fueron sus grandes trasformadores a la forma como se trabaja ahora. Mientras que la Trigonometría de Tolomeo está basada en la relación entre las cuerdas, arcos, ángulos centrales en una circunferencia que subtienden, los Matemáticos Hindúes transformaron esta relación y la convirtieron en el estudio de la correspondencia entre la mitad de la cuerda y la mitad del arco o ángulo central subtendido por la cuerda total. De esta forma se supone que nació el antepasado de la función trigonométrica Seno, la cual se convirtió en otro de los principales aportes, además del sistema de numeración decimal, con sus respectivos valores.

Europa medieval

•  Tanto el Algebra como la Trigonometría, llegaron a Europa por medio de los Árabes, puesto que los Romanos nunca se interesaron por la Trigonometría griega a pesar de lo elemental y lo relativamente útil que era en esa época. Roberto de Chester al traducir del árabe la palabra Jiba le asignó el nombre de Sinus que en latín significa bahía o ensenada.

​

Los griegos

• La trigonometría al igual que cualquier otra rama de las matemáticas no es el fruto la inteligencia de un solo hombre, ni aún de una sola civilización. En los elementos de Euclides no aparece la Trigonometría, en el sentido estricto del término. Pero se representan teoremas relativos a la razón entre los lados de un triangulo rectángulo y problemas concretos como el teorema del coseno para un triangulo obtusángulo. De esta forma todo el proceso que pudo adquirir la Trigonometría durante la civilización se produjo al lado del desarrollo de la Astronomía.
•  

​

Didáctica de las matemáticas

Tema 3:

Didáctica de las matemáticas

• Concepto:
• De acuerdo a Brousseau, Guy (1986), La didáctica de la matemática estudia las actividades didácticas, es decir las actividades que tienen por objeto la enseñanza, evidentemente en lo que ellas tienen de específico de la matemática. Los resultados, en este dominio, son cada vez más numerosos; tratan los comportamientos cognitivos de los alumnos, pero también los tipos de situaciones empleados para enseñarles y sobre todo los fenómenos que genera la comunicación del saber. La producción o el mejoramiento de los instrumentos de enseñanza encuentra aquí un apoyo teórico, explicaciones, medios de previsión y de análisis, sugerencias y aun dispositivos y métodos. �

Juegos didácticos para la enseñanza de la matemáticas

• …¿Se pueden utilizar los juegos matemáticos con provecho en la enseñanza? ¿De qué forma? ¿Qué juegos? ¿Qué objetivos pueden conseguirse a través de los juegos?
• Los juegos tienen un carácter fundamental de pasatiempo y diversión. Para eso se han hecho y ese es el cometido básico que desempeñan. Por eso es natural que haya mucho receloso de su empleo en la enseñanza. "El alumno, -piensa-, se queda con el pasatiempo que, eso sí, le puede comer el coco totalmente y se olvida de todo lo demás. Para lo que se pretende, es una miserable pérdida de tiempo".
• A mi parecer, en cambio, ese mismo elemento de pasatiempo y diversión que el juego tiene esencialmente, debería ser un motivo más para utilizarlo generosamente. ¿Por qué no paliar la mortal seriedad de muchas de nuestras clases con una sonrisa? Si cada día ofreciésemos a nuestros alumnos, junto con el rollo cotidiano, un elemento de diversión, incluso aunque no tuviese nada que ver con el contenido de nuestra enseñanza, el conjunto de nuestra clase y de nuestras mismas relaciones personales con nuestros alumnos variarían favorablemente.
• Pero es que además sucede que, por algunas de las razones apuntadas antes, relativas a la semejanza de estructura del juego mismo y de la matemática, avaladas por la historia misma de la matemática y de los juegos, y por otras razones que señalaré a continuación, el juego bien escogido y bien explotado puede ser un elemento auxiliar de gran eficacia para lograr algunos de los objetivos de nuestra enseñanza más eficazmente.

​