1

01.06.2025

ANİZOTROPİK MALZEME TİPLERİ

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

2.

(Video 2.)

2

01.06.2025

2-Anizotropik Malzeme Tipleri

2.1 Anizotropik Malzeme Nedir?

• Özellikleri doğrultuya göre değişiklik gösteren malzemelere anizotropik malzemeler denir.
• Aniztropik malzemeler, Isıl veya mekanik yüklemelere karşı, doğrultuya göre farklı mekanik davranış (gerilme, şekil değiştirme vb.) gösterir.
• Kompozit malzemeler anizotropik malzemelerdir ve bunların daha özelleştirilmiş halleridir.
• Kompozitlerin mekaniği anlayabilmek için öncelikle daha genel olan anizotropik malzemelerin mekaniğini bilmek önemlidir.
• Aslında izotropik malzemeler, anizotropik malzemenin en özel halidir.

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

3

01.06.2025

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

2-Anizotropik Malzeme Tipleri

2.2 Bu Bölümde Amaçlarımız:

• En genelden başlayarak özele doğru anizotropik malzemelerin tiplerini açıklamak;
• Her bir tip için yüklemenin elastik olduğu bölgede gerilme-şekil değiştirme ilişkilerini (hooke bağıntılarını) ve
• Bu ilişkileri sağlayan malzeme sabitlerini çıkarmaktır.

1.11.6 maddesinde izotropik malzemeler için, elastik bölgede, 2 bağımsız malzeme sabiti (E ve ν) olduğu gösterilmiş ve gerilme –şekil değiştirme ilişkileri (Hooke bağıntılıarı) özetlenmişti.

4

01.06.2025

Rijitlik (Stiffness) matrisi: [C]

(9x9= 81 bağımsız malzeme sabiti içerir)

2.3 En Genel Anizotropik Malzeme için Elastik Malzeme Sabitleri

1nci İndis: düzlem normalini,

2nci indis: gerilmenin veya şekil değiştirmenin doğrultusunu göstermektedir.

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

2-Anizotropik Malzeme Tipleri / En Genel Anizotropik Malzeme için Elastik Malzeme Sabitleri

​

5

01.06.2025

Gevşeklik (Compliance) Matrisi: [S]

Rijitlik matrisinin tersidir.

[S]=[C]^-1

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

2-Anizotropik Malzeme Tipleri / En Genel Anizotropik Malzeme için Elastik Malzeme Sabitleri

​

6

01.06.2025

1-3 ve 2-3 düzlemleri içinde aynı analiz yapılırsa:

bulunur.

Aynı düzlemde kayma gerilmelerinden kaynaklanan şekil değiştirmeler için de indislerin yeri farketmeyecektir.

bulunur.

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

2-Anizotropik Malzeme Tipleri / En Genel Anizotropik Malzeme için Elastik Malzeme Sabitleri

​

Kısaltılmış Notasyonlar

7

01.06.2025

Bu durumda anizotropik bir malzemede rijitlik veya gevşeklik matrsilerindeki bağımsız elastik malzeme sabitleri 6x6=36 ya indirgenmiş olur.

Böylece, anizotropik bir cisim için kısaltılmış notasyonlar kullanılarak gerilme-gerinme veya gerinme-gerilme bağıntıları alttaki gibi 2 farklı matris formatında ifade edilebilir:

Veya indis notasyonu ile :

• (i , j , k , l = 1, 2, 3,…,6)

veya

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

2-Anizotropik Malzeme Tipleri / En Genel Anizotropik Malzeme için Elastik Malzeme Sabitleri

​

8

01.06.2025

Nonlineer elastik bir malzemede depolanan enerji yoğunluğu: dW ise,

Bu durumda benzer şekilde:

Gerilme-gerinme bağıntısı;

şeklinde de yazılabilir.

(I)

(II)

(I) ve (II) denklemleri birbirine eşit olduğundan;

Bu durumda C ve S rijitlik ve gevşeklik matrisleri diyagonale göre simetrik olmalıdır. Bu matrislerdeki bağımsız, elastik malzeme sabitleri 21’dir. Malzeme özellikleri bakımından simetri düzlemleri olmayan böyle bir anizotropik malzemeye Triklinik malzeme denir.

2.5 Triklinik Malzeme

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

2-Anizotropik Malzeme Tipleri / Triklinik Malzeme

​

9

01.06.2025

Şekilde, (x-y) düzlemine göre simetrik olan monoklinik malzeme sembolize edilmiştir. (Herbir küçük kübün bu düzleme göre simetrik olduğuna dikkat ediniz.)

Potasyum Feldspar

(Doğada bulunan bir monoklinik malzeme örneğidir.)

• Triklinik malzeme özelliği göstermesinin yanı sıra, kristal veya daha büyük makro seviyede 1 tane simetri düzlemine de sahip olan malzemelere monoklinik malzeme denir.
• Fiziksel malzeme özelikleri bu düzleme göre simetriktir.
• Homojen yapılarda tüm noktalardaki bu simetri düzlemleri birbirlerine paraleldir.
• Bunlara örnek olarak seramik maddelerin hammadesi olan Feldspar gösterilebilir.
• Tabakalı kompozit malzemeler, kristal seviyesinden çok daha büyük ölçülerde (gözle görülebilecek makro seviyede), simetri düzlemine veya birbirlerine paralel simetri düzlemlerine sahip olabilirler.

2.6 Monoklinik Malzeme

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

2-Anizotropik Malzeme Tipleri / Monoklinik Malzeme

10

01.06.2025

Anizotropik, elastik ve monoklinik bir yapının bir noktasında 1-2 düzlemine göre malzeme simetrisi olduğunu düşünüyoruz.

Sadece

varken:

Sadece

bulunur.

Şimdi monoklinik malzemenin malzeme sabiti sayısını tespit edeceğiz;

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

2-Anizotropik Malzeme Tipleri / Monoklinik Malzeme

Sadece

Benzer şekilde; aşağıdaki durumlarda yine 1-3 ve 2-3 doğrultularında çarpılma olmaz.

11

01.06.2025

Bu durumda, monoklinik ve elastik bir malzeme için gevşeklik ve rijitlik matrislerinde bağımsız malzeme sabitleri 13’e indirgenmiş olur.

,

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

2-Anizotropik Malzeme Tipleri / Monoklinik Malzeme

12

01.06.2025

Aşağıda monoklinik malzeme için [S] gevşeklik matrisinin her bir teriminin açık ifadesi gösterilmiştir.

(2.4)

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

2-Anizotropik Malzeme Tipleri / Monoklinik Malzeme

13

01.06.2025

2.6.1. Monoklinik Malzeme için Hooke Bağıntıları –(3 Boyutlu Durumda)

(2.5)

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

(2.6.a-f)

(a)

(b)

(c)

(e)

(f)

(d)

Monoklinik davranış gösteren bir malzeme için gerilme-şekil değiştirme (Hooke) bağıntılarının 3 boyutlu durumda açık halleri:

2-Anizotropik Malzeme Tipleri / Monoklinik Malzeme

14

01.06.2025

2.7 Ortotropik Malzeme

• Bir başka ifadeyle ortotropik malzeme türünde Monoklinik malzemeye ek olarak 2 tane daha simetri düzlemi vardır.

• Ortotropik malzemenin her bir noktasında; 1-2, 2-3 ve 1-3 düzlemlerinin her üçüne göre simetriklik söz konusudur.

• Sürekli fiber takviyeli kompozit tabakalar Ortotropik özellik gösterirler.

• Triklinik malzeme özelliğe ilaveten kristal veya daha büyük makro seviyede 3 tane simetri düzlemine sahip olan malzemelere ortotropik malzeme denir.

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

2-Anizotropik Malzeme Tipleri / Ortotropik Malzeme

15

01.06.2025

bulunur.

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

2-Anizotropik Malzeme Tipleri / Ortotropik Malzeme

16

01.06.2025

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

2-Anizotropik Malzeme Tipleri / Ortotropik Malzeme

17

01.06.2025

Ortotropik malzeme için gevşeklik [S] matrisi :

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

2 Boyutlu Durumda:

3 Boyutlu Durumda

Sonuç olarak ; ortotropik bir malzeme için bağımsız malzeme sabitleri 9 tanedir:

(2.7a)

(2.7b)

2-Anizotropik Malzeme Tipleri / Ortotropik Malzeme

18

01.06.2025

Ortotropik malzeme için rijitlik [C] matrisi :

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

2 Boyutlu Durumda

3 Boyutlu Durumda

Dikkat: [C] matrisi ortotropik malzemeler için [Q] olarak sembolize edilmektedir.

(2.7c)

(2.7d)

2-Anizotropik Malzeme Tipleri / Ortotropik Malzeme

19

01.06.2025

2.7.1 Ortotropik kompozitler için endüstriyel örnekler:

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

2-Anizotropik Malzeme Tipleri / Ortotropik Malzeme

a-) Tek yönlü sürekli fiber takviyeli kompozit tabakalar: Herbirisi tek bir tel olan (süreksizlik içermeyen) fiberlerin, tek yönlü olarak birbirlerine paralel olacak şekilde matris içerisine dizilmesiyle oluşturulan yapılardır.

(a)

(b)

Alttaki kompozit tipleri 3 düzleme göre de simetrik olduklarından ortotropik karekter gösterirler ve endüstride yaygın uygulamalara sahiptirler.

b-) Çift yön örgü yapılı kompozit tabakalar: Herbirisi tek bir tel olan (süreksizlik içermeyen) fiberlerin, çift yönlü , birbirlerine paralel ve dik olacak şekilde matris içerisine dizilmesiyle oluşturulan yapılardır.

c-) Sandviç Kompozitler: Bir çekirdek malzemenin, üst ve alt yüzeylerine daha dayanıklı 2 levha yapıştırılmasıyla elde edilen kompozit yapılardır.

(c)

20

01.06.2025

Örnek 2.1 : Tek yönlü takviyeli Graphite/ Epoxy Kompozitin bir noktasındaki düzlem gerilme durumu şekilde gösterilmiştir.

1. Gevşeklik matrisini, (Compliance matrix)

​

• Minor poisson oranını (Minor Poisson’s ratio)

​

• Rijitlik matrisini (Stiffness matrix)

​

• 1 ve 2 doğrultularındaki gerinme değerlerini bulunuz.

Tek Yönlü Bir Tabakanın Farklı Malzemeler İçin Mekanik Özellikleri

2-Anizotropik Malzeme Tipleri / Ortotropik Malzeme

Buna göre;

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

21

01.06.2025

a-)

Çözüm:

2-Anizotropik Malzeme Tipleri / Ortotropik Malzeme

Önceki sayfadaki tablodan grafit/ epoksi için malzeme özellikleri şu şekilde okunur:

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

22

01.06.2025

b-)

c-)

d-)

2-Anizotropik Malzeme Tipleri / Ortotropik Malzeme

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

23

01.06.2025

2.7.1 Ortotropik Malzeme için Hooke Bağıntıları –(3 Boyutlu Durumda)

(2.8)

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

(2.9.a-f)

(a)

(b)

(c)

(e)

(f)

(d)

Ortotropik davranış gösteren bir malzeme için 3 boyutlu durumda gerilme-şekil değiştirme (Hooke) bağıntıları.

(elastik yüklemede geçerlidir)

2-Anizotropik Malzeme Tipleri / Ortotropik Malzeme

24

01.06.2025

Eğer ortotropik malzemenin her noktasında, birbirlerine paralel olacak şekilde izotropi düzlemleri varsa, bu malzemelere enine izotropik (transversely isotropic) malzemeler denir.

Malzeme özellikleri o düzlemde her doğrultuda aynı olmasına rağmen düzleme dik doğrultuda farklılık gösterir.

2-3 düzleminde yaklaşık her doğrultuda özellikler aynıdır. 1 doğrultusundaki özellikler ise farklıdır.

2.8 Enine İzotropik (Transversely Isotropic) Malzeme

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

2-Anizotropik Malzeme Tipleri / Enine İzotropik Malzeme

Bir İzotropi düzlemi

Normali 1 doğrultusu olan ve 2-3 düzlemine paralel sonsuz tane simetri düzlemi vardır.

Fiberlerin birbirlerine paralel olacak şekilde matris içine, karışık şekilde yerleştirilmesiyle elde edilen yapılar enine izotropik karekter gösterirler.

25

01.06.2025

Fiber eksenine 1'e göre dönel simetriye sahip kompozit malzemelerde, 2-3 düzlemine paralel kesitlerde tüm yönlerde malzeme özellikleri aynı kabul edilebilir.

Böylece bağımsız malzeme sabiti 9 dan 5 e indirgenmiş olur:

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

(2.10.a-e)

(2.11)

2-3 düzlemi izotropik özellik gösterdiği için 2.11 denklemi bu düzlem için de geçerli olur.

2-Anizotropik Malzeme Tipleri / Enine İzotropik Malzeme

E₂ ve ν₂₃ belli iken G₂₃ izotropik malzemeler için geçerli 2.11 denkleminden hesaplanabilir:

26

01.06.2025

Yanlış

Doğru

Çekme numunesi enine boyutları yeterince büyük olmalı tüm yapıyı temsil edebilmelidir.

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

2-Anizotropik Malzeme Tipleri / Enine İzotropik Malzeme

Enine izotropik malzemeler için malzeme sabitleri matrisleri:

Test Numunesi

27

01.06.2025

2.8.1 Enine (Transversly) İzotropik Malzeme için Hooke Bağıntıları

(2.12)

(3 boyutlu durumda )

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

(2.13.a-f)

(a)

(b)

(c)

(e)

(f)

(d)

Enine (Transversly) İzotropik davranış gösteren bir malzeme için 3 boyutlu durumda gerilme-şekil değiştirme (Hooke) bağıntıları.

(elastik yüklemede geçerlidir)

2-Anizotropik Malzeme Tipleri / Enine İzotropik Malzeme

Aslından enine izotropik malzemeler ortotropik malzemelerin özel bir halidir ve ortotropik malzemeler için geçerli olan Hooke bağıntıları enine izotropik malzemeler için de aynen geçerlidir (Bknz 2.7.1 konusu).

28

01.06.2025

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

2-Anizotropik Malzeme Tipleri / Enine İzotropik Malzeme

a-) Betonarme Kolonlar: Daha çok çeki veya basıya maruz kalan betonarme kolonlar enine izotropik malzemelerdir. Demir çubuklar yükleme doğrultusu olan kolon eksenine paralel olacak şekilde beton matris içine karışık şekilde yerleştirilirler. Amaç ise çeki/bası yükü doğrultusunda matrisin güçlendirilmesidir.

2.8.2 Enine İzotropik kompozitler için doğal ve endüstriyel örnekler:

b-) Tortul Kayaçlar: Enine izotropi özelliği doğada uzun dalga boylarına sahip, katmanlı tortul kayaçlarda görülür. Her bir katman kendi düzleminde yaklaşık olarak aynı özelliklere sahiptir (herbir katman 2-3 düzlemine paraleldir). Fakat kalınlık boyunca (aşağıdan yukarı, 1 ekseni olarak) farklı özellik sözkonudur . Her katmanın düzlemi izotropi düzlemi ve dik eksen simetri eksenidir.

29

01.06.2025

2.9 İzotropik Malzeme

• Yapı içinde eksenlere paralel veya açılı sonsuz sayıda izotropi düzlemi varsa bu tip malzemelere izotropik malzemeler denir.
• Bir başka ifadeyle malzeme içerisinde eksenlere paralel veya açılı olan tüm doğrultularda özellikler aynıdır ki, sonsuz tane doğrultu vardır.
• Bu durumda elastik malzeme sabitleri 5’den 2’ye ( E,ν ) indirgenmiş olur:

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

2-Anizotropik Malzeme Tipleri / İzotropik Malzeme

• Çelik, Alüminyum, gibi tüm metalik malzemeler izotropiktir.
• Malzemeler içerisinden hangi yönde numune çıkarılırsa çıkarılsın çekme testi eğrisi ve E, ν değerleri değişmez.

30

01.06.2025

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

2.9.1 İzotropik Malzemeler için (Hooke) Bağıntıları – (3 Boyutlu durumda)

(2.14b)

2-Anizotropik Malzeme Tipleri / İzotropik Malzeme

İzotropik davranış gösteren bir malzeme için gerilme-şekil değiştirme (Hooke) bağıntıları.

(elastik yüklemede geçerlidir)

(a)

(b)

(c)

(e)

(f)

(d)

(2.15.a-f)

Görüldüğü gibi izotropik malzemelerde sadece 2 tane bağımsız elastik malzeme sabiti ( E, ν) vardır.

ve

(2.14a)

Rijitlik modülü

31

01.06.2025

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

Veya 2.14 b denkleminden gerilmeleri çekersek izotropik malzemeler için şu eşitliği elde ederiz:

2-Anizotropik Malzeme Tipleri / İzotropik Malzeme

(2.14.c)

32

01.06.2025

2.9.2) İzotropik Karekter Gösteren Kompozitler:

b-) Doğranmış Fiber (Whiskers) Takviyeli Kompozitler

c-) Çok Yönlü (Multidirectional) , Sürekli (continuous) Fiber Takviyeli Kompozitler

a-) Partikül takviyeli kompozitler ve nano kompozitler

• Bu tip kompozitler Makro seviyede izotropik özellik gösterirler.
• En az iki farklı malzemeden oluşan izotropik malzemeler olduklarından bunlara quasi-izotropik malzemeler de denir.
• Partiküllerin büyüklüğü nano seviyesinde ise bu tip kompozitlere nano-kompozitler denir.
• Elastiklik modülü (E ) ve poisson oranı (ν) olmak üzere 2 bağımsız malzeme sabiti vardır.
• Kayma modülü (G) değeri ise E ve ν ye bağlı olup 1.5 denkleminden hesaplanır.
• E ve ν değerleri teorik olarak bulunamazlar; sadece deneysel olarak elde edilebilirler.
• İzotropik oldukları için mukavemet dersinde gösterilen tüm hesaplamalar bu kompozitler için aynen geçerlidir.
• Dolayısıyla bu kompozitlere yönelik hesaplamalar için mukavemet konularının anlatıldığı kaynaklara bakılması gerekir.

2-Anizotropik Malzeme Tipleri / İzotropik Malzeme

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

33

01.06.2025

2.10 Düzlem Gerilme Durumunda Hooke Bağıntıları : (Ortotropik, Enine İzotropik ve İzotropik Malzemeler için)

(2.16b)

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

Sıcaklık etkisi*

(2.17)

Önemli Noktalar:

1. Sıcaklık etkisi 9ncu konuda daha detaylı anlatılacaktır. Buraya gerinmelere olan etkisi ilave edilmiştir.
2. Ortotrpik, Enine izotropik ve izotropik malzemeler için de bu formüller geçerlidir.
3. İzotropik malzemeler için; (E₁=E₂=E, ν₁₂=ν₂₁=ν, G₁₂ =G, α₁=α₂=α ) olarak alınır.

Ortotropik malzemeler için, düzlem gerilme durumunda Hooke bağıntılarını matris formatında şu şekilde yazabiliriz:

(a)

(b)

(c)

(2.16a)

2-Anizotropik Malzeme Tipleri

34

01.06.2025

Bundan sonraki konuları çalışırken alttaki noktaları unutmayın:

1-) 3. konudan itibaren anlatılan tüm hesaplamalar ve deneysel ölçüm yöntemleri ortotropik karekter gösteren kompozit tipleri için geçerlidir.

2- ) «Malzeme Özelliklerinin Teorik Hesaplamaları» ve «Mukavemet Sınırları» konuları tek yönlü-sürekli fiberlerle güçlendirilmiş kompozit yapılar için 3. ve 4. bölümlerde; çift yönlü örgü yapılı kompozitler ve sandviç kompozitler için ise 10. ve 11. bölümlerde anlatılmıştır.

3-) 5. den 9. bölüme kadar olan diğer konular tüm ortotropik kompozitler için geçerlidir.

4-) 10. ve 11.konuları anlayabilmek için önceki konuların çok iyi anlaşılması gereklidir.

Tablo 2.1 de ders notlarındaki anlatım sırasına uygun şekilde kompozitler sınıflandırılmıştır..>>

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

35

01.06.2025

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

Tablo 2.1 Güçlendirme Doğrultusu ve Malzemesine Göre Kompozitler ve Bu Notlarda Mekanik Hesaplamaların Anlatıldığı Bölümler