Биссектрисы параллелограмма

Автор Колобова Надежда

ученица 8 класса

Чернцкой МСОШ

Руководитель

Никитина Г. И.

учитель математики

Цель работы:�

Рассмотрение свойств биссектрис параллелограмма

Задачи:

• Сформулировать и доказать свойства биссектрис углов параллелограмма
• Составить задачи на применение свойств биссектрис параллелограмма
• Решение задач по данной теме на экзамене по геометрии в 9 классе и ЕГЭ
• Составление тестовой работы по теме

Биссектриса угла параллелограмма отсекает �от параллелограмма равнобедренный треугольник

Доказательство:

Т.к. АМ – биссектриса угла А, то <1 = < 2.

Т.к. АВСD – параллелограмм, то АД‌ //‌ ‌‌ВС , значит <2 = <3 как внутренние накрест лежащие углы для секущей АМ.

Значит, < 1 = < 3, тогда ∆ АВМ – Равнобедренный.

​

Дано:

АВСD - параллелограмм

АМ – биссектриса <А

​

Доказать:

∆ АВМ – равнобедренный.

​

А

В

С

D

1

2

3

М

Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом

Доказательство:

Рассмотрим ∆ АОD: < 1 = < 2 = ½ < А, < 3 = < 4 = ½ < D (по свойству биссектрис)

< А + < D = 180˚ (сумма соседних углов).

< 2 + < 3 = ½ < А + ½ < D = ½ (< А + < D) = ½ * 180˚ = 90˚

Значит, <АОD - прямой .

​

Дано:

АВСD – параллелограмм

АК и DЕ – биссектрисы

Доказать:

<АОD - прямой

​

А

В

С

D

О

Е

К

1

2

3

4

Биссектрисы соседних углов пересекаются на большей стороне параллелограмма, если она в 2 раза больше смежной стороны

Доказательство:

Рассмотрим ∆АВО. Он равнобедренный (по свойству биссектрисы параллелограмма): АВ = ВО.

Рассмотрим ∆СDО. Он равнобедренный (по свойству биссектрисы параллелограмма): CD = CO.

Т.к. СD = АВ (противоположные стороны параллелограмма), то ВО = СО. Т.к. АВ = ВО, а ВО = СО, значит АВ = ½ ВС, т.е. ВС в 2 раза больше АВ.

Дано:

АВСD – параллелограмм

АО и DО – биссектрисы

О є ВС

Доказать:

ВС в 2 раза больше АВ.

А

В

О

D

С

Из предыдущего доказательства можно сделать ещё два вывода:

Биссектрисы параллелограмма пересекутся внутри параллелограмма, если меньшая сторона больше половины соседней стороны (рис. 1)

Биссектрисы соседних углов в параллелограмме пересекутся вне параллелограмма, если меньшая сторона меньше половины соседней стороны (рис. 2)

А

В

С

D

О

А

В

С

D

О

Рис. 1

Рис. 2

Биссектрисы соседних углов параллелограмма могут пересекать противоположную сторону �или её продолжение

a

b

M

K

M

K

a

b

a>b

a>b/2, a<b

Способ построения биссектрисы параллелограмма без транспортира.

Мы узнали, что биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник. Циркулем измеряем сторону АВ и откладываем это расстояние из точки В на прямой ВС, делаем засечку, обозначаем точку буквой К. Таким образом АВ = ВК. Проводим биссектрису <А – АК.

А

В

К

С

D

Биссектрисы противоположных углов равны и параллельны

Доказательство:

Рассмотрим прямые АК и СМ:

< 2 = < 6 (соответственные)→ АК // СМ

Так как АМ // КС (по свойству противоположных сторон параллелограмма), а АК // СМ, то АКСМ – параллелограмм. Из этого следует, что АК = СМ (по свойству противоположных сторон параллелограмма).

Дано:

АВСD – параллелограмм

АК и СМ – биссектрисы

АВ = ВК = СD = DМ

Доказать:

АК = СМ; АК // СМ

А

В

К

С

D

М

1

2

3

4

5

6

Все биссектрисы, пересекаясь, образуют прямоугольник

По теореме «биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом» АК и DО, пересекаясь, образуют прямой угол; АК и ВF, пересекаясь, образуют прямой угол; ВF и CF, пересекаясь, образуют прямой угол; ОD и СЕ, пересекаясь, образуют прямой угол. Значит, образовался четырёхугольник, у которого, все углы прямые. Значит, это прямоугольник.

Дано:

АВСD – параллелограмм

АК, ВF, CE, DО – биссектрисы

Доказать:

Образовался прямоугольник

А

В

О

К

С

D

F

E

Теперь я предлагаю решить несколько мною составленных задач на основе этих свойств

ЗАДАЧА № 1

ЗАДАЧА № 2

Дано:

АВСD – параллелограмм

АК – биссектриса

АВ = 5 см.

Найти: ВК =?

Дано:

АВСD – параллелограмм

АК и DЕ – биссектрисы

АD = 8 см, ОD = 4 см.

Найти: <АОD и < ОDА.

​

А

В

К

С

D

А

В

Е

К

С

D

О

ЗАДАЧА № 3

ЗАДАЧА № 4

• В параллелограмме АВСD провели биссектрисы АМ и DN. АВ = 5 см, ВС = 10 см. Где пересекутся биссектрисы АМ и DN?
• В параллелограмме АВСD провели биссектрисы АМ и DN. АВ = 16 см, ВС = 30 см. Где пересекутся биссектрисы АМ и DN?
• В параллелограмме АВСD провели биссектрисы АМ и DN. АВ = 8 см, ВС = 18 см. Где пересекутся биссектрисы АМ и DN?

​

АВСD – параллелограмм. АК и СМ – биссектрисы. Найди и точно дай названия ещё трём фигурам на рисунке (используйте 6 свойство биссектрис параллелограмма).

А

В

К

С

D

М

В параллелограмме со сторонами a и b и углом α проведены биссектрисы углов. Найдите площадь четырёхугольника, ограниченного биссектрисами.

Для определения сторон MN и MQ находим

последовательно BQ (из ∆ BCQ по теореме синусов),

BM и AM (из ∆ BMA), AN (из ∆ NAD), и, наконец,

MN = |AN – AM|, MQ = |BQ – BM|

Итак <BAM = α/2, <ABM = ½ <ABC = ½(180˚ - α),

<QMN = <AMB = 180˚ - <BAM - <ABM = 180˚ - α/2 – ½(180˚ - α) = 90˚, т.е.

MNPQ – прямоугольник. Далее (BC = a, AB = b) BQ = a sin α/2, BM = b sin α/2,

MQ = |BQ – BM| = |a – b| sin α/2 и т.д. Ответ получается следующий: S = ½(a - b)² sin α

​

​

Решение:

MNPQ – параллелограмм, поскольку

биссектрисы противоположных углов

параллелограмма параллельны.

Найдём стороны MN и MQ и угол QMN.

В

А

С

D

Q

M

N

P