Tema 5�Ecuaciones de primer y segundo grado

Estándares

Contenido

1. Ecuaciones
1. Solución de una ecuación
2. Ecuaciones equivalentes
2. Ecuaciones de primer grado
• Transposición de términos. Despejar.
• Regla de la suma y Regla del producto.
3. Ecuaciones de segundo grado
• Ecuaciones de segundo grado completas
• Ecuaciones de segundo grado incompletas
4. Resolución de problemas mediante ecuaciones

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1. Ecuaciones

• Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que sólo es cierta para algunos valores de las letras.

• Una identidad es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que siempre se cumple, sea cual sea el valor de las letras.

• Las soluciones de una ecuación son los valores numéricos de las incógnitas que hacen que la igualdad sea cierta.

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• Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

1.1. Soluciones de una ecuación

1.2. Ecuaciones equivalentes

La solución de todas

estas ecuaciones es x=-2,

por lo que son equivalentes

El valor x=2 es solución de la ecuación

porque hace cumplir la igualdad.

El valor x=-6 también es solución.

2. Ecuaciones de primer grado

ax+b=0

• Si un término está sumando en un miembro, pasa restando al otro; y si está restando, pasa sumando.

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• Si un término está multiplicando en un miembro, pasa al otro dividiendo; y si está dividendo, pasa restando.

2.1. Transposición de términos. Despejar.

Suma-> Resta

Multiplicación->División

3. Ecuaciones de segundo grado

3.1. Ecuaciones de segundo grado completas

x=2

x=-4

Empleamos la fórmula general:

3.2. Ecuaciones de segundo grado incompletas

Caso 1. Si b=0.

1. Se separan los término con x y los términos independientes.

2. Se despeja la x y se hace la raíz cuadrada, obteniendo dos valores positivo y otro negativo.

Caso 2. Si c=0.

x=0

5x+20=0;

5x=-20;

x=-20/5=-4

1. Se saca factor común de la x.

2. Se iguala lo de fuera del paréntesis a 0 y lo de dentro del paréntesis a 0.

3. Se obtienen dos soluciones de x, una de las cuales es 0.

Primer grado con paréntesis

Primer grado con denominadores

Segundo grado completa

Segundo grado incompleta falta b

Segundo grado incompleta falta c

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4. Problemas con ecuaciones

1. Identificamos la incógnita (lo que no sabemos).

2. Apuntamos los datos (lo que sí sabemos).

3. Planteamos la ecuación.

4. Resolvemos la ecuación.

5. Comprobamos e interpretamos el resultado.

4.1.Problemas de números

• La incógnita o incógnitas son números.
• Uno de ellos será x; los demás, si los hay, estarán relacionados de alguna forma con este primero.

Ejemplo

La suma de tres números es 12. Halla los números sabiendo que el segundo es el doble del primero y el tercero 2 unidades mayor que el segundo.

1. Incógnitas

2. Datos

3. Ecuación

4. Resolvemos

5. Interpretamos y comprobamos

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Ejemplo

La suma de tres números es 12. Halla los números sabiendo que el segundo es el doble del primero y el tercero 2 unidades mayor que el segundo.

1. Incógnitas

2. Datos

3. Ecuación

4. Resolvemos

5. Interpretamos y comprobamos

70. Halla dos números consecutivos sabiendo que su suma es 55.

72. Halla dos números consecutivos sabiendo que la diferencia entre la tercera parte del mayor y la quinta parte del menor es igual a la séptima parte del menor.

4.1.Problemas de geometría

• La incógnita suele ser el lado de un cuerpo geométrico (triángulos, cuadrados, rectángulos, circunferencias...)

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• El dato suele ser el valor del área, perímetro o alguna otra característica del cuerpo.

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• Es posible que tengamos que utilizar relaciones matemáticas geométricas como el Teorema de Pitágoras.

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Ejemplo

Halla el perímetro de una finca rectangular de 25000m2, sabiendo que su largo es igual al doble del ancho más 50m.

1. Incógnitas

2. Datos

3. Ecuación

4. Resolvemos

5. Interpretamos y comprobamos

25000m2

x

2x+50

50

Problema diapositivas 1�Halla el lado de un cuadrado cuya superficie mide 81m2.

Problema diapositivas 2�Halla el radio de una plaza circular de superficie 240m2.

Problema diapositivas 3�Halla las dimensiones de un triángulo rectángulo.

4x-2

X+3

3x-1

Problema diapositivas 4�Halla las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su diagonal mide7,21cm. Y que el lado menor es 2/3 del lado mayor.

4.3. Problemas de repartos

• Tomaremos como incógnita “x” el total a repartir, sea una distancia, producto…

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• Identificaremos cada parte en la que se divide el total, esté o no relacionada con la incógnita. Por ejemplo; dos tercios de un trayecto serán 2x/3.

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• La suma de todas las partes será igual al total, es decir, igual a “x”.

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�El primer día en una ruta de senderismo se recorrieron 1/4 del camino. El segundo día se recorrieron 3/8 más del total. El tercer día se recorrieron 50km. Cuántos kilómetros recorrieron cada día.

1. Incógnitas

2. Datos

3. Ecuación

4. Resolvemos

5. Interpretamos y comprobamos

Ejemplo

��Problema diapositivas 5�Una familia decide comprarse un coche nuevo y realizar un pago fraccionario. La entrada será de un quinto del total del coche. Las cinco séptimas partes de lo que quedaba, lo financiarán para abonarlo mensualmente. Con esto, les quedará una cuota final de 2550€.

��Problema diapositivas 6�Un chico se ha ido al centro comercial y ha realizado los siguientes gastos:

• Se gasta un quinto de su dinero en una camiseta.
• También ha comprado unos pantalones que costaban el doble que la camiseta.
• Del dinero que le quedaba al comprar la ropa, ha gastado la tercera parte en comer.
• Después de esto, le han sobrado 24€.
• ¿Con cuánto dinero fue al centro comercial?

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4.4. Problemas de edades

• Para resolver los problemas de edades, haremos uso de una tabla donde representemos las edades de los protagonistas del problema en el pasado, presente y/o futuro según corresponda.

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• Por ejemplo, imaginemos el siguiente problema: La edad de un padre es 20 años más que la de su hijo. Indica sus edades dentro de 5 años. (consejo-> llamar x al más pequeño de los valores)

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• Después estableceremos las condiciones que nos indique el enunciado y resolveremos.

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Ejemplo

La edad de un padre es 20 años mayor que la de su hijo. Halla las edades de ambos sabiendo que dentro de 5 años la edad del padre será tres veces la del hijo.

1. Incógnitas

2. Datos

Dentro de 5 años la edad del padre será el triple que la del hijo.

3. Ecuación

La del padre = Tres veces (la del hijo)

4. Resolvemos

5. Interpretamos y comprobamos

��Problema diapositivas 7

Dos hermanos se llevan 2 años. Hace cuatro años la edad del menor era tres cuartas partes la del mayor. ¿Qué edad tiene cada uno?

Problema diapositivas 8

Un padre tiene 42 años y su hijo 12. ¿Hace cuántos años la edad del padre era cuatro veces la del hijo? Dentro de cuántos años la edad del padre será el triple que la del hijo? Dentro de cuántos la del hijo será 2/5 de la del padre?

4.5. Problemas de movimiento

• La incógnita x, es el tiempo; la distancia recorrida por un móvil es velocidad por tiempo. Ejemplo:

La siguiente tabla representa la distancia recorrida por un coche en función del tiempo a una velocidad de 90km/h:

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• Si los móviles van en la misma dirección, sus distancias recorridas se restan; si van en distinta dirección (uno va al encuentro del otro) se suman. Igualamos esto a la distancia total.

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�Un coche sale de un punto A con dirección a B a una velocidad de 90km/h. Al mismo tiempo, otro coche sale de B con dirección A a una velocidad de 120km/h. Si la distancia entre los puntos A y B es de 420km. ¿Cuánto tardan en cruzarse?

Ejemplo

1. Incógnitas

X= tiempo que tardan en cruzarse

2. Datos

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Distancia coche 1= 90x

Distancia coche 2= 120x

Distancia total= 400km

3. Ecuación

4. Interpretamos y comprobamos

Se suman porque van en dirección contraria.

Se iguala a la distancia total.

Un coche sale de un punto A con dirección a B a una velocidad de 90km/h. Una hora más tarde, otro coche sale del mismo punto a una velocidad de 120km/h. ¿Cuánto tarda en alcanzarlo?