AĞIRLIK MERKEZİ ve GEOMETRİK MERKEZ
STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor
1
7.
Video 6.a
STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor
2
7.1 Tanımlar ve Konunun Önemi: Şimdiye kadar çözdüğümüz problemlerde bir nesnenin W ağırlığını, merkezindeki G gibi bir noktadan etki ettiğini kabul ettik ve bu noktaya ağırlık merkezi ismini verdik. Ağırlık merkezi bir cismin tüm ağırlığının yoğunlaşabileceği ve aynı dış etkiye sahip olabileceği noktadır. Öyle ki bir cisim iple ağırlık merkezinden asılsa dengede kalır.
C: Geometrik merkez
G: Ağırlık Merkezi ,
Homojen çubuk
G,C
Dengede
Şekil 7.1
C
Heterojen çubuk
G
Dengede
Şekil 7.2
6 a. ALANLARIN AĞIRLIK MERKEZİ
Şekil 7.1 deki gibi yoğunluğu bölgeye göre değişmeyen (homojen) bir çubuk düşünürsek, ağırlık merkezi (G) çubuğun tam orta noktasıdır ki bu aynı zamanda geometrik merkez (C) ile çakışır. Aynı boyutlarda fakat yoğunluğu bölgeye göre farklı olan (heterojen) bir çubuk düşünsek (Şekil 7.2 ve 7.3 ), bu durumda geometrik merkez yine orta noktada kalmasına rağmen ağırlık merkezinin yeri değişecektir.
Geometrisi daha karmaşık olan cisimlerde bu merkezlerin yerlerinin belirlenmesi daha fazla işlem gerektirecektir. Serbest cisim diyagramlarının doğru çizebilmek için ağırlık kuvvetinin hangi noktaya yerleştirileceğinin bilmemiz şarttır. Bu ise ağırlık merkezi hesaplamalarının önemini ortaya koyar. Çizgisel, alansal ve hacimsel cisimlerin ağırlık merkezleri aynı yöntemle hesaplanabilmektedir. Alanların ağırlık merkezinin hesaplanması, bazı mukavemet hesaplarına bir hazırlık teşkil etmektedir.
7.2 Bu bölümde Amacımız: Biz bu bölümde incelenen cisimleri homojen kabul ederek, geometrik ve ağırlık merkezinin çakıştığını düşüneceğiz ve daha çok düzlemsel alanların ağırlık merkezinin hesaplamaları üzerinde duracağız.
C
G
Denge bozulur.
Şekil 7.3
Heterojen çubuk
STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor
3
7.3 Ağırlık Merkezinin Bulunması
Toplam Ağırlık:
6 a. ALANLARIN AĞIRLIK MERKEZİ
(7.3)
(7.4)
Şekil 7.4
O’ya göre Moment:
(7.1)
(7.2)
(7.5)
STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor
4
Eğer bir yapı sonsuz sayıda partikülden oluşuyorsa
(yani bir katı cisim ise) 7.6 denklemlerinde integral ifadesi kullanılır.
6 a. ALANLARIN AĞIRLIK MERKEZİ
(7.8)
diferansiyel ağırlık:
Şekil 7.5
7.3.1 Bir Katı Cismin Ağırlık Merkezi:
Parçacıklar sistemi için elde ettiğimiz son denklemleri genellersek:
(7.6a-c)
(7.7a-c)
STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor
5
7.4 Hacimsel Merkez: Homojen bir cisimde γ özgül ağırlığı bölgeye göre değişmez. Bu durumda 7.7 denklemlerini tekrar yazarsak:
7.9 denklemleri homojen bir cismin ağırlık merkezinin koordinatlarını; ayrıca cisim homojen olsun veya olmasın hacimsel merkezini (geometrik merkezini) bulmamızı sağlar.
6 a. ALANLARIN AĞIRLIK MERKEZİ
Şekil 7.6
Benzer şekilde:
(7.9.a)
(7.9.b)
(7.9.c)
STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor
6
7.5 Alansal merkez:
7.6 Çizgisel merkez:
6 a. ALANLARIN AĞIRLIK MERKEZİ
Şekil 7.7
Şekil 7.8
Benzer şekilde bir alanın veya çizginin geometrik merkezleri de sırasıyla alansal merkez veya çizgisel merkez olarak isimlendirilir. 7.9 denklemlerinde dV yerine dA ve dL kullanılarak bulunabilirler.
(7.10.a)
(7.10.b)
(7.10.c)
(7.11.a)
(7.11.b)
(7.11.c)
STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor
7
Örnek 7.1
y
x
h
b
6 a. ALANLARIN AĞIRLIK MERKEZİ
Video 6a –örnek 6a.1
Çözüm
1.Yol: Şerit metodu:
Bir kenarı diferansiyel uzunlukta olan dA diferansiyel şerit alanı alınır.
Şekil 7.9
Şekil 7.10
STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor
8
6 a. ALANLARIN AĞIRLIK MERKEZİ
2.Yol: Çift integral metodu.
dA elemanının herbir kenarı dif. uzunlukta alınarak çift integrasyon yapılır.
dx
dy
x
y
G
h
x
y
b
Şekil 7.11
STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor
9
Örnek 7.2
6 a. ALANLARIN AĞIRLIK MERKEZİ
Video 6a –örnek 6a.2
Çözüm:
Şekil 7.12
Şekil 7.13
STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor
10
Çeyrek daire
Üçgen
G, Kenar ortayların kesim noktasındadır.
Kare, dikdörtgen
Tam Daire
Yarım daire
6 a. ALANLARIN AĞIRLIK MERKEZİ
7.7 Homojen, Düzgün Geometrilerin Ağırlık merkezleri (aynı zamanda geometrik merkezleridir.)
Şekil 7.14
Şekil 7.15
Şekil 7.16
Şekil 7.17
Şekil 7.18
Şekil 7.19
, C
,C
STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor
11
7.8 Birleşik düzgün alanların geometrik merkezi:
Basit yapıların (temel geometrilerin) birleşmesinden oluşmuş karmaşık yapılara kompozit alanlar denir. Bunların geometrik merkezi bulunurken basit alanların geometrik merkez özelliklerinden yararlanılır.
Çözüm Yöntemi:
x-y düzlemindeki Birleşik Alanlar için
Geometrik merkez:
6 a. ALANLARIN AĞIRLIK MERKEZİ
(7.12a,b)
STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor
12
Şekildeki homojen alanın geometrik ve ağırlık merkezlerinin koordinatlarını hesaplayınız.
6 a. ALANLARIN AĞIRLIK MERKEZİ
Video 6a –örnek 6a.3
Örnek 7.3:
Çözüm:
x eksenine göre simetriklikten dolayı geometrik merkezin y koordinatı sıfır «0» olur.
üçgenin ağırlık merkezi negatif taraftadır.
Üçgen çıkarıldığı için alanın işareti negatif alınıyor.
y
x
90mm
-
Şekil 7.20
Şekil 7.21
Şekil 7.22
Şekil tam daireden üçgenin çıkarılmasıyla oluşturulmuş kompozit bir alandır.
Şekil 7.23
Homojen olması sebebiyle,
Ağrılık merkezi (G) ve geometrik merkezi ( C ) aynı noktalardır.
C,
G1
STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor
13
Örnek 7.4
Şekildeki homojen alanın ağırlık merkezinin koordinatlarını hesaplayınız. Hesapların düzenli görülmesi için tablo kullanınız.
Not:
4r/3π mesafesi
Daima daire merkezinden (O2) ağırlık merkezine (G2) olan yatay veya düşey mesafedir.
6 a. ALANLARIN AĞIRLIK MERKEZİ
Şekil 7.24
STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor
14
Şekildeki homojen alanın ağırlık merkezinin koordinatlarını tablo kullanarak bulunuz.
Örnek 7.5 (*):
Çözüm:
6 a. ALANLARIN AĞIRLIK MERKEZİ
2mm
1
2
3
4
5
| Ai (mm2) | xGi (mm) | Ai . xi | yi (mm) | Ai . yi |
| (bh)/2 = 4x12/2 =24 | -b/3 =-4/3 =-1.33 | 24.(-133) =-31.92 | 0 | 24x0 =0 |
| 8x(4) =32 | 8/2 =4 | 32x4 =128 | -4/2 =-2 | 32x(-2) =-64 |
| (π82)/4 =50.26 | 4x8/3π =3.39 | (50.26)(3.39) =170. 38 | 4x8/3π =3.39 | (50.26)(3.39) =170.38 |
| (-π22)/2 =-6.28 | 6 | -6.28x6 =-37.68 | -4x2/3π =-0.85 | (-6.28)(-0.85) =5.34 |
| 12x5/2 =30 | 12-4-12/3 =4 | 30x4 = 120 | -4-(5/3) =-5.67 | 30x(-5.67) =-170.1 |
| 129.98 |
| 348.78 |
| -58.38 |
Şekil 7.25
Şekil 7.26
STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor
15
Soru 7.1 (*)
6 a. ALANLARIN AĞIRLIK MERKEZİ
Şekil 7.27
STATİK Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor
16
Şekildeki alanın geometrik merkezinin koordinatlarını hesaplayınız.
Soru 7.2:
6 a. ALANLARIN AĞIRLIK MERKEZİ
Şekil 7.28