คณิตศาสตร์

แผนผังสาระการเรียนรู้

การวัดแนวโน้ม

เข้าสู่ส่วนกลาง

2. มัธยฐาน

1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

3. ฐานนิยม

4. ข้อสังเกตและหลักในการใช้

ค่ากลางของข้อมูลชนิดต่าง ๆ

5. เส้นโค้งความถี่

กับค่ากลางของข้อมูล

6. ความสัมพันธ์ระหว่างค่าเฉลี่ยเลขคณิต

มัธยฐาน และฐานนิยม

เมื่อนำมาเขียนเส้นโค้งความถี่

7. แผนภาพกล่อง

ตัวชี้วัด

เข้าใจและใช้ความรู้ทางสถิติในการนำเสนอข้อมูล และแปลความหมายของค่าสถิติ �เพื่อประกอบการตัดสินใจ (ค 3.1 ม.6/1)

หน่วยการเรียนรู้ที่ 4

การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง

1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

(arithmetic mean)

เรียกว่า ค่ากลางเลขคณิต หรือค่าเฉลี่ย (mean)

เป็นค่าที่ได้จากการเฉลี่ยข้อมูลทั้งหมด

เหมาะที่จะนํามาใช้เป็นค่ากลางของข้อมูล เมื่อข้อมูลนั้น ๆ

ไม่มีค่าใดค่าหนึ่งหรือหลาย ๆ ค่า สูงกว่าหรือตํ่ากว่าค่าอื่น ๆ

ที่เหลืออย่างผิดปกติ

หมายเหตุ

ข้อควรรู้

เนื่องจาก พารามิเตอร์ (parameter) คือ ค่าที่คำนวณได้จากประชากร

ดังนั้น μ จึงเป็นพารามิเตอร์ และ

μ เป็นค่าคงที่ของประชากร

หมายความว่า ในประชากรหนึ่ง ๆ จะก่อให้เกิดพารามิเตอร์ μ ได้เพียงค่าเดียวเท่านั้น

ตัวอย่างที่ 1

สุ่มตัวอย่างนักเรียนห้อง ม.6/1 จำนวน 10 คน เพื่อคำนวณความสูงโดยเฉลี่ย

ซึ่งข้อมูล ความสูง (เซนติเมตร) ของนักเรียนในกลุ่มตัวอย่างทั้ง 10 คน มีดังนี้

162 170 183 165 174 186 149 177 153 164

วิธีทำ

= 168.3

ดังนั้น นักเรียนห้อง ม.6/1 มีความสูงเฉลี่ย 168.3 เซนติเมตร

ตัวอย่างที่ 2

ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ซึ่งมีคะแนนเต็ม 30 คะแนน ได้สุ่มถามคะแนนของนักเรียน จำนวน 8 คน ได้คะแนนดังนี้ 6 12 19 8 23 17 20 24 คะแนน คะแนนเฉลี่ยในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ในครั้งนี้เป็นเท่าใด

วิธีทำ

= 16.125

ดังนั้น คะแนนเฉลี่ยในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนเท่ากับ

16.125 คะแนน

ตัวอย่างที่ 3

อัตราแลกเปลี่ยนเงินตราต่างประเทศ เงินดอลลาร์สหรัฐอเมริกา 1 ดอลลาร์ ต่อเงินบาทไทย ระหว่างวันที่ 16 ธันวาคม 2562 ถึงวันที่ 20 ธันวาคม 2562 ตามลำดับ ดังนี้

30.212 30.249 30.249 30.209 30.199

ให้นักเรียนหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอัตราแลกเปลี่ยนเงินตราต่างประเทศเงินบาทไทย

ต่อ 1 ดอลลาร์สหรัฐอเมริกา

วิธีทำ

≈ 30.224

ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอัตราแลกเปลี่ยนเงินบาทไทย ต่อ 1 ดอลลาร์สหรัฐอเมริกาประมาณ 30.224 บาท

ตัวอย่างที่ 4

ข้อมูลชุดหนึ่งมี 5 จำนวน และค่าเฉลี่ยเลขคณิตชุดนี้เท่ากับ 16 ถ้าข้อมูล

4 จำนวนแรก เป็น 19 14 18 และ 12 ข้อมูลอีกจำนวนหนึ่งเป็นเท่าใด

วิธีทำ

จะได้

80 = 63 + x

x = 80 – 63

= 17

ดังนั้น ข้อมูลอีกจำนวนหนึ่ง คือ 17

ตัวอย่างที่ 5

นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ห้องหนึ่ง จำนวน 30 คน มีนํ้าหนักเฉลี่ยทั้งห้องเท่ากับ 55 กิโลกรัม อยากทราบว่านักเรียนห้องนี้มีนํ้าหนักรวมกันเท่าไร

วิธีทำ

จะได้

ดังนั้น นักเรียนห้องนี้มีนํ้าหนักรวมกัน 1,650 กิโลกรัม

ตัวอย่างที่ 6

ข้อมูลชุดหนึ่งมี 8 จำนวน หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้เท่ากับ 20 แต่บันทึกข้อมูลผิดไป 1 จำนวน คือ จาก 10 เป็น 15 ให้นักเรียนหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่ถูกต้องของข้อมูลชุดนี้

วิธีทำ

จะได้

จะได้ผลรวมของข้อมูล คือ 160

เนื่องจากบันทึกข้อมูลผิดไปจาก 10 เป็น 15

จะได้คะแนนรวมที่ถูกต้อง คือ 160 - 15 + 10 = 155

ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่ถูกต้องของข้อมูลชุดนี้

เท่ากับ 19.375

1.1 การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงนํ้าหนัก

ในกรณีที่ข้อมูลแต่ละค่ามีความสำคัญไม่เท่ากัน เมื่อนำมาหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ต้องใช้การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบถ่วงนํ้าหนัก

ตัวอย่างที่ 7

ข้อมูลในตาราง เป็นผลการสอบของนักเรียนคนหนึ่ง ให้นักเรียนหาคะแนนเฉลี่ย

ของนักเรียนคนนี้

= 77.8

ดังนั้น คะแนนเฉลี่ยของนักเรียนคนนี้เท่ากับ 77.8 คะแนน

วิธีทำ

ตัวอย่างที่ 8

ข้อมูลในตารางต่อไปนี้เป็นผลการเรียนของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 �คนหนึ่ง จํานวน 5 วิชา ประจำภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2562

ให้นักเรียนหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลการเรียน

ของนักเรียนคนนี้

ลักษณะของข้อมูล

มีความสำคัญไม่เท่ากัน

นั่นคือ จำนวนหน่วยกิต

ของแต่ละวิชาไม่เท่ากัน

≈ 3.09

วิธีทำ

1.2 การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม (combined arithmetic mean) ใช้เมื่อกำหนดข้อมูลหลาย ๆ ชุด และต้องการหาค่าเฉลี่ยรวมของข้อมูลทั้งหมด

ตัวอย่างที่ 9

ข้อมูลสองชุด แต่ละชุดมีจำนวนข้อมูล 30 และ 20 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 22 และ 32 ตามลำดับ ให้นักเรียนหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมของข้อมูลทั้งสองชุด

วิธีทำ

= 26

ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมของข้อมูลทั้งสองชุดเท่ากับ 26

ตัวอย่างที่ 10

นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ของโรงเรียนแห่งหนึ่งมี 3 ห้อง คือ ห้อง ม.6/1 ม.6/2 และ ม.6/3 แต่ละห้องมีจำนวนนักเรียน 25 คน 30 คน และ 35 คน ตามลำดับ

จากการสอบวิชาภาษาไทย ปรากฏว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตคะแนนสอบของห้อง ม.6/1

เป็น 75 คะแนน ม.6/2 เป็น 68 คะแนน และ ม.6/3 เป็น 80 คะแนน

ให้นักเรียนหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตคะแนนสอบวิชาภาษาไทยของนักเรียนทั้ง 3 ห้อง

วิธีทำ

เมื่อ n₁ = 25, n₂ = 30 และ n₃ = 35

≈ 74.61

1.3 การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่แจกแจงความถี่แบบไม่เป็นกลุ่ม

การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้วใช้สูตรทำนองเดียวกันกับการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบถ่วงนํ้าหนัก โดยที่นํ้าหนักในที่นี้ คือ ความถี่ของข้อมูลแต่ละค่า

กำหนดให้ x₁, x₂, x₃, …, x_k เป็นค่าของข้อมูล

และ f₁, f₂, f₃, ..., f_k เป็นความถี่ของข้อมูลแต่ละค่าตามลำดับ

ตัวอย่างที่ 11

ข้อมูลในตารางต่อไปนี้เป็นค่าขนมของนักเรียน 30 คน ให้นักเรียนหาค่าเฉลี่ย-เลขคณิตของค่าขนมของนักเรียนกลุ่มนี้

วิธีทำ

= 40.5

ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าขนมของนักเรียนกลุ่มนี้เท่ากับ 40.50 บาท

ตัวอย่างที่ 12

ในการสอบวิชาวิทยาศาสตร์มีนักเรียนได้คะแนน 12 คะแนน 5 คน ได้ 15 คะแนน 4 คน ได้ 9 คะแนน 2 คน ได้ 18 คะแนน 3 คน และได้ 16 คะแนน 6 คน

ให้นักเรียนหาคะแนนเฉลี่ยของคะแนนสอบครั้งนี้

วิธีทำ

= 14.4

ดังนั้น คะแนนเฉลี่ยของคะแนนสอบครั้งนี้เท่ากับ 14.4 คะแนน

1.4 การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่แจกแจงความถี่แบบกลุ่ม (แบบช่วงคะแนน)

ใช้จุดกึ่งกลาง (mid point) ของช่วงหรืออันตรภาคชั้น เป็นตัวแทนของชั้นนั้น

โดยใช้สูตรเช่นเดียวกับการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่แจกแจงความถี่แบบไม่เป็นกลุ่ม

เมื่อ

โดย x_i = จุดกึ่งกลางอันตรภาคชั้นที่ i

f_i = ความถี่ หรือจำนวนข้อมูลชั้นที่ i

n = จำนวนข้อมูลทั้งหมด

k = จำนวนอันตรภาคชั้น

ตัวอย่างที่ 13

จากตารางแจกแจงความถี่ต่อไปนี้ ให้นักเรียนหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต

วิธีทำ

= 47.125

1.5 การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตโดยวิธีทอนค่า

เป็นวิธีที่สามารถทอนค่าของข้อมูลให้มีค่าน้อยลง เพื่อง่ายต่อการคิดคำนวณและ

ไม่ทำให้เสียเวลา โดยเลือกจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นใดชั้นหนึ่ง อาจเป็นชั้นที่อยู่ตรงกลางหรือชั้นที่มีความถี่สูงสุดมาใช้ เพื่อลดทอนค่าตัวเลขในการคำนวณให้ง่ายขึ้น แล้วหาค่าเฉลี่ย-

เลขคณิตจากสูตรต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 14

จากตารางแจกแจงความถี่ต่อไปนี้ ให้นักเรียนหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต

วิธีทำ

= 47 + 0.125

= 47.125

ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 47.125

2. มัธยฐาน

เป็นค่ากลางอีกชนิดหนึ่ง ซึ่งหมายถึงค่าของข้อมูลที่มีตำแหน่งตรงกลาง

เมื่อเรียงข้อมูลจากน้อยไปหามาก หรือจากมากไปหาน้อย

มัธยฐาน

(median)

เหมาะที่จะใช้เป็นค่ากลางของข้อมูล เมื่อข้อมูลนั้น ๆ มีค่าใดค่าหนึ่ง

หรือหลาย ๆ ค่า สูงหรือต่ำกว่าค่าอื่น ๆ อย่างผิดปกติ เพราะไม่ได้นำค่าแต่ละค่ามาคำนวณแบบค่าเฉลี่ยเลขคณิตใช้เพียงการจัดลำดับเท่านั้น

ใช้สัญลักษณ์ “Med” แทนมัธยฐาน

ตัวอย่างที่ 1

ให้นักเรียนหามัธยฐานจากข้อมูล 19 15 18 23 22 27 20

วิธีทำ

เรียงข้อมูลจากน้อยไปหามากได้ ดังนี้

15 18 19 20 22 23 27

ดังนั้น มัธยฐาน คือ 20

ตัวอย่างที่ 2

จากการวัดส่วนสูงเป็นเซนติเมตรของนักเรียนชายชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 จำนวน 9 คน

มีความสูงเป็น 145 154 149 153 157 160 155 152 163

ให้นักเรียนหามัธยฐานของความสูงของนักเรียนกลุ่มนี้

วิธีทำ

เรียงความสูงเป็นเซนติเมตรจากน้อยไปหามากได้ ดังนี้

ดังนั้น มัธยฐานของความสูงของนักเรียนกลุ่มนี้เท่ากับ 154 เซนติเมตร

ตัวอย่างที่ 3

นักเรียน 10 คน ทำแบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ได้คะแนนดังนี้

34 65 78 42 67 39 89 63 33 47

ให้นักเรียนหามัธยฐานของคะแนนแบบทดสอบนี้

วิธีทำ

เรียงคะแนนจากน้อยไปหามากได้ ดังนี้

ดังนั้น มัธยฐานของคะแนนแบบทดสอบนี้เท่ากับ 55 คะแนน

33 34 39 42 47 63 65 67 78 89

= 55

ตัวอย่างที่ 4

ให้นักเรียนหามัธยฐานจากข้อมูล

95 87 108 119 89 123 149 110

วิธีทำ

เรียงข้อมูลจากน้อยไปหามากได้ ดังนี้

ดังนั้น มัธยฐานเท่ากับ 109

87 89 95 108 110 119 123 149

= 109

หมายเหตุ : ในกรณีที่จำนวนข้อมูลทั้งหมดเป็นจำนวนคู่

มัธยฐานจะเป็นค่าเฉลี่ยของข้อมูลสองค่า

ซึ่งอยู่ระหว่างกลางของข้อมูลทั้งหมด

การหามัธยฐานของข้อมูลที่มีการแจกแจงความถี่ (แบบช่วงคะแนน)

ตัวอย่างที่ 5

ตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ ดังนี้

ให้นักเรียนหามัธยฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์

วิธีทำ

= 20

มัธยฐาน คือ ข้อมูลตำแหน่งหรือลำดับที่ 20

ซึ่งข้อมูลนั้นอยู่ในอันตรภาคชั้น 71 – 75 เรียกชั้นที่มัธยฐานอยู่

= 70.5 + 1.5

= 72

ดังนั้น มัธยฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ คือ 72 คะแนน

ตัวอย่างที่ 6

ให้นักเรียนหามัธยฐานของคะแนนสอบของนักเรียน 30 คน จากตารางดังนี้

วิธีทำ

= 15

มัธยฐาน คือ ข้อมูลตำแหน่งหรือลำดับที่ 15

ซึ่งข้อมูลนั้นอยู่ในอันตรภาคชั้น 60 – 79 เรียกชั้นที่มัธยฐานอยู่

≈ 59.5 + 2.22

= 61.72

ดังนั้น มัธยฐานของคะแนนสอบของนักเรียนประมาณ 61.72 คะแนน

3. ฐานนิยม

เป็นค่าของข้อมูลที่มีความถี่สูงสุด หรือปรากฏบ่อยที่สุด

ฐานนิยม (mode)

เหมาะที่จะนำมาใช้เป็นค่ากลางของข้อมูลที่เป็นค่ามาตรฐาน

ฐานนิยมไม่ได้ใช้ข้อมูลทุกตัวในการคำนวณ ไม่เหมาะกับงานสถิติชั้นสูง

ควรใช้เมื่อต้องการหาค่ากลางอย่างคร่าว ๆ

หรือข้อมูลที่มีการจำแนกตามคุณภาพ

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนฐานนิยม คือ Mo

8 7 7 6 9 10 10 10 11 13 15

ตัวอย่างที่ 1

ให้นักเรียนหาฐานนิยมจากข้อมูลต่อไปนี้

ฐานนิยม คือ ข้อมูลที่มีความถี่สูงสุด หรือปรากฏบ่อยที่สุด

ข้อมูลชุดนี้มี 10 อยู่ 3 จำนวน ซึ่งมากที่สุด

วิธีทำ

ดังนั้น ฐานนิยมของข้อมูลชุดนี้ คือ 10

ข้อมูลที่มีฐานนิยม 1 ค่า

ตัวอย่างที่ 2

ให้นักเรียนหาฐานนิยมจากข้อมูลต่อไปนี้

ฐานนิยม คือ ข้อมูลที่มีความถี่สูงสุด หรือปรากฏบ่อยที่สุด

ข้อมูลชุดนี้มีความถี่เท่ากันหมด คือ แต่ละความถี่ปรากฏเพียงครั้งเดียว

วิธีทำ

ดังนั้น ข้อมูลชุดนี้ไม่มีฐานนิยม เพราะข้อมูลแต่ละค่ามีความถี่เท่ากันหมด

ข้อมูลที่ไม่มีฐานนิยม

7 8 9 10 11 12 13 14 15

7 6 8 10 10 10 11 7 8 8

ตัวอย่างที่ 3

ให้นักเรียนหาฐานนิยมจากข้อมูลต่อไปนี้

ฐานนิยม คือ ข้อมูลที่มีความถี่สูงสุด หรือปรากฏบ่อยที่สุด

ข้อมูลชุดนี้มีฐานนิยม คือ 8 และ 10 เนื่องจากทั้งสองค่านี้มีความถี่เท่ากัน คือ 3

วิธีทำ

ดังนั้น ฐานนิยมของข้อมูลชุดนี้ คือ 8 และ 10

ข้อมูลที่มีฐานนิยม 2 ค่า

ตัวอย่างที่ 4

ให้นักเรียนหาฐานนิยมจากข้อมูลต่อไปนี้

ฐานนิยม คือ ข้อมูลที่มีความถี่สูงสุด หรือปรากฏบ่อยที่สุด

ข้อมูลชุดนี้มีฐานนิยม คือ 5, 7 และ 8 เนื่องจากทั้งสามค่านี้

มีความถี่เท่ากัน คือ 3

วิธีทำ

ดังนั้น ข้อมูลชุดนี้ไม่มีฐานนิยม เพราะข้อมูลชุดใดมีฐานนิยม

มากกว่า 2 ค่า ถือว่าข้อมูลชุดนั้นไม่มีฐานนิยม

ข้อมูลที่ไม่มีฐานนิยม เนื่องจากมีฐานนิยมมากกว่า 2 ค่า

2 3 4 5 5 6 7 7 7 8 8 8 5

หมายเหตุ : ในกรณีที่ข้อมูลเป็นข้อมูลเชิงคุณภาพ จะสามารถหาค่ากลางได้

เฉพาะฐานนิยมเท่านั้น แต่ไม่สามารถหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตหรือมัธยฐานได้

การหาฐานนิยมจากตารางแบบช่วงคะแนน

กระบวนการหาฐานนิยมจากฮิสโทแกรม โดยสูตรที่ได้จากการเปรียบเทียบระหว่างผลต่างของความถี่ของชั้นฐานนิยมกับความถี่ที่ติดกับชั้นฐานนิยม โดยเป็นชั้นที่�มาก่อนและอยู่หลังชั้นฐานนิยม ตามลำดับ และมีสูตร ดังนี้

โดย L = ขอบเขตล่างชั้นฐานนิยม

d₁ = ผลต่างของความถี่ของชั้นที่มีฐานนิยมกับชั้นที่ถัดลงไป

d₂ = ผลต่างของความถี่ของชั้นที่มีฐานนิยมกับชั้นที่ถัดขึ้นไป

I = ความกว้างของอันตรภาคชั้น (ความกว้างของอันตรภาคชั้นเท่ากันทุกชั้น)

ตัวอย่างที่ 5

ให้นักเรียนหาฐานนิยมของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ ของนักเรียนจำนวน 40 คน ดังตารางต่อไปนี้

วิธีทำ

โดยที่ ฐานนิยมจะอยู่ในชั้นที่มีความถี่มากที่สุด

คือ ชั้นที่ 74 – 79 ซึ่งมีความถี่เท่ากับ 11

จะได้ L = 73.5, d₁ = 11 – 8 = 3, d₂ = 11 – 4 = 7

และ I = 6

= 73.5 + 1.8

= 75.3

ดังนั้น ฐานนิยมของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ คือ 75.3 คะแนน

4. ข้อสังเกตและหลักในการใช้ค่ากลางของข้อมูลชนิดต่าง ๆ

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นค่ากลางที่ได้จากการนำทุก ๆ ค่าของข้อมูลมาเฉลี่ย

2. ถ้าข้อมูลทั้งหมดมีข้อมูลบางค่าที่มีค่าสูงหรือตํ่ากว่าข้อมูลอื่น ๆ มาก

จะมีผลกระทบต่อค่าเฉลี่ยเลขคณิต อาจทำให้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่ได้มีค่าสูง

หรือตํ่ากว่าข้อมูลที่มีอยู่ส่วนใหญ่

3. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตใช้ได้เฉพาะข้อมูลที่เป็นข้อมูลเชิงปริมาณเท่านั้น

4. ข้อมูลที่มีลักษณะสมมาตร ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะเป็นค่ากลางที่ดีที่สุด

5. มีการใช้กันอย่างกว้างขวาง และสามารถนําค่าเฉลี่ยเลขคณิตไปใช้

ในการหาค่าสถิติอื่น ๆ เช่น การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

มัธยฐาน

1. มัธยฐานเป็นค่ากลางของข้อมูลที่ใช้ตําแหน่งที่ของชุดข้อมูล เมื่อเรียงลำดับข้อมูล

จากมากไปหาน้อย หรือจากน้อยไปหามาก

2. ถ้าข้อมูลทั้งหมดมีข้อมูลบางค่าที่มีค่าสูงหรือตํ่ากว่าข้อมูลอื่น ๆ มาก

จะไม่มีผลกระทบต่อมัธยฐาน

3. มัธยฐานใช้ได้เฉพาะข้อมูลที่เป็นข้อมูลเชิงปริมาณเท่านั้น

4. ถ้าข้อมูลมีจำนวนมาก การจัดเรียงข้อมูลจะทำได้ค่อนข้างลำบาก

5. นิยมใช้มัธยฐานกับข้อมูลที่มีลักษณะไม่สมมาตร

6. มัธยฐานนิยมใช้เมื่อต้องการทราบค่ากลางของข้อมูลทั้งหมดโดยประมาณ

และรวดเร็ว

ฐานนิยม

1. ฐานนิยมเป็นค่ากลางของข้อมูลที่ได้จากข้อมูลที่มีความถี่มากที่สุด

2. ฐานนิยมสามารถใช้ได้ทั้งข้อมูลเชิงปริมาณและข้อมูลเชิงคุณภาพ

แต่เหมาะกับการใช้เป็นค่ากลางของข้อมูลเชิงคุณภาพ

3. กรณีที่ข้อมูลชุดหนึ่งมีความถี่แต่ละค่าเท่ากัน ข้อมูลชุดนั้นจะไม่มีฐานนิยม

4. กรณีที่ข้อมูลชุดหนึ่งมีความถี่มากที่สุดเกิน 2 ค่า ข้อมูลชุดนั้นไม่มีฐานนิยม

5. กรณีที่ข้อมูลชุดหนึ่งมีความถี่มากที่สุดมากกว่า 1 ค่า แต่ไม่เกิน 2 ค่า

ให้ทั้งสองค่านั้นเป็นฐานนิยมของข้อมูลชุดนั้น

5. เส้นโค้งความถี่กับค่ากลางของข้อมูล

เส้นโค้งความถี่

เป็นกราฟชนิดหนึ่งที่ใช้แสดงแทน

การแจกแจงความถี่ของข้อมูล

เส้นโค้งความถี่

ที่มีลักษณะสมมาตร

เส้นโค้งความถี่

ที่มีลักษณะไม่สมมาตร

หรือที่เรียกว่า มีลักษณะเบ้

6. ความสัมพันธ์ระหว่างค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยมเมื่อนำมาเขียนเส้นโค้งความถี่

1. เส้นโค้งความถี่ที่มีลักษณะสมมาตร

ข้อมูลที่มีการกระจายอย่างสมมาตร คือเมื่อนำมาเขียนกราฟเป็นเส้นโค้งความถี่

แล้วจะได้กราฟเท่ากันทั้งสองข้าง

จากรูปจะเห็นว่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

มัธยฐาน และฐานนิยม จะเท่ากันหรืออยู่ใกล้เคียงกันมาก ซึ่งเส้นโค้งความถี่ที่มี

ลักษณะสมมาตรเช่นนี้ เรียกว่า เส้นโค้งปกติ

สรุปได้ว่า

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = มัธยฐาน = ฐานนิยม

นิยมเขียนในลักษณะนี้

2. เส้นโค้งความถี่ที่มีลักษณะไม่สมมาตร หรือที่เรียกว่า มีลักษณะเบ้

ลักษณะของเส้นโค้งจะเอนเอียงไปข้างใดข้างหนึ่งจนเห็นได้อย่างชัดเจน ซึ่งการเอนเอียงนี้ เรียกว่า ความเบ้ มี 2 ลักษณะ คือ เส้นโค้งเบ้ขวา เส้นโค้งเบ้ซ้าย

เส้นโค้งเบ้ขวา

ความลาดชันของเส้นโค้ง จะลาดไปทางขวา

จากรูป

นิยมเรียกเส้นโค้งชนิดนี้ว่า เส้นโค้งเบ้ขวา

ความสัมพันธ์ระหว่างค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยมของเส้นโค้งเบ้ขวา

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต > มัธยฐาน > ฐานนิยม

จากกราฟ จะเห็นว่า

เส้นโค้งเบ้ซ้าย

ความลาดชันของเส้นโค้ง จะลาดไปทางซ้าย

จากรูป

นิยมเรียกเส้นโค้งชนิดนี้ว่า เส้นโค้งเบ้ซ้าย

ความสัมพันธ์ระหว่างค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยมของเส้นโค้งเบ้ซ้าย

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต < มัธยฐาน < ฐานนิยม

จากกราฟ จะเห็นว่า

เทคนิคในการจำ

จุดที่เส้นโค้งมีความถี่มากสุด คือ ฐานนิยม

ค่าที่อยู่ตรงกลางเสมอ คือ มัธยฐาน

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะอยู่คนละข้างกับฐานนิยม

7. แผนภาพกล่อง (box plot)

เป็นแผนภาพแสดงการกระจายข้อมูล โดยอิงค่ามัธยฐาน เพื่อหาว่าข้อมูลทั้งหมด ต่างหรือห่างจากค่ามัธยฐานมากหรือน้อยเพียงใด

แผนภาพกล่องเป็นแผนภาพเพื่อบอก ข้อมูลที่มีค่าตํ่าสุด Q₁ Q₂ Q₃ และข้อมูลที่มีค่าสูงสุด

โดยที่มีส่วนประกอบของแผนภาพกล่อง ดังนี้

1) มัธยฐาน หรือควอร์ไทล์ที่ 2 (Q₂) ควอร์ไทล์ที่ 1 (Q₁) และควอร์ไทล์ที่ 3 (Q₃)

จะประกอบกันเป็นกล่อง (box)

2) เส้นที่ลากจากกล่องไปยังข้อมูลที่มีค่าตํ่าสุด (X_min) และข้อมูลที่มีค่าสูงสุด (X_max)

เรียกว่า “whisker”

ส่วนประกอบของแผนภาพกล่อง (ต่อ)

3) ข้อมูลหรือค่าที่ผิดปกติ (outlier) คือ ข้อมูลที่แตกต่างจากข้อมูลอื่น ๆ

หรือค่าที่แตกต่างจากค่าอื่น ๆ มาก

4) ข้อมูลจะมีการแบ่งออกเป็น 25% เท่ากันหมด ไม่ได้ขึ้นอยู่กับความยาวของกล่อง

👉 ถ้ากล่องส่วนไหนแคบแสดงว่ามีข้อมูลแออัดกันอยู่มาก

👉 ถ้ากล่องยาวแสดงว่าข้อมูลมีการอยู่แบบกระจัดกระจายกัน

การใช้แผนภาพกล่องในการวิเคราะห์ความเบ้ของโค้งความถี่

1. แผนภาพกล่องวิเคราะห์ความเบ้กับโค้งความถี่แบบโค้งปกติ

ซึ่งควอร์ไทล์ที่ 2 ของแผนภาพกล่องอยู่ตรงกึ่งกลางของกล่อง

2. แผนภาพกล่องวิเคราะห์ความเบ้กับโค้งความถี่แบบโค้งเบ้ขวา ซึ่งควอร์ไทล์ที่ 2

จะเข้ามาชิดควอร์ไทล์ที่ 1 มากกว่า ควอร์ไทล์ที่ 3

3. แผนภาพกล่องวิเคราะห์ความเบ้กับโค้งความถี่แบบโค้งเบ้ซ้าย ซึ่งควอร์ไทล์ที่ 2

จะเข้ามาชิดควอร์ไทล์ที่ 3 มากกว่า ควอร์ไทล์ที่ 1

เทคโนโลยีเพื่อการเรียนรู้

การสร้างแผนภาพกล่องโดยใช้โปรแกรม Microsoft Office Excel จะต้องเป็นรุ่น 2016 ขึ้นไป

1. กรอกข้อมูลที่ต้องการสร้างแผนภาพกล่องในคอลัมน์

2. เลือกข้อมูลทั้งหมด และเลือกตามขั้นตอนตามลำดับ ดังนี้

จะได้แผนภาพกล่องและได้ค่าต่าง ๆ เป็นส่วนประกอบของแผนภาพกล่อง