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Objetivo

  • Promover o entendimento de valores de probabilidade e desenvolver habilidades para estimar probabilidades

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Probabilidade - Christopher Freire Souza

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Conteúdo

  • Fundamentos
  • Contagem
  • Regra da adição
  • Regra da multiplicação
  • Probabilidade através de simulações

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Probabilidade - Christopher Freire Souza

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Para que?

  • Processos determinísticos
    • Satisfeitas algumas condições, comportamento conhecido
    • Ex: Ao colocar água pura para esquentar, qual a chance dela entrar em ebulição a 100oC?

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  • Processos estocásticos
    • Comportamento aleatório
    • Ex: Ao puxar uma peça de dominó, qual a chance de ser:
      • A bomba de sena?
      • Uma bomba?
      • Não-bomba?
      • Bomba de sena, caso se queira adivinhar a bomba que seu parceiro comentou ter puxado.

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Probabilidade

  • Técnica matemática aplicada para medir a chance de ocorrência de um evento

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Conteúdo

  • Breve revisão de Análise Combinatória
  • Espaço Amostral
  • Evento
  • Probabilidade de um evento (uma bomba)
  • Probabilidade para experimentos não-eqüiprováveis
  • Probabilidade do evento complementar (não-bomba)
  • Probabilidade de ocorrência de dois eventos simultâneos (bomba de sena)
  • Probabilidade de ocorrência de um evento dado que outro já ocorreu (bomba de sena dentre bombas)
  • Probabilidade de coincidências
  • Probabilidade para eventos correlacionados

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Análise combinatória

  • Contagem
  • Princípio multiplicativo
  • Fatorial
  • Arranjo simples
  • Permutação simples
  • Permutação com repetição
  • Combinação simples

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Contagem

  • Problema: Eric, Elane e Alison disputam uma eleição para representante discente. Quantos resultados diferentes pode ter esta eleição?
  1. Er, A, El
  2. Er, El, A
  3. A, Er, El
  4. A, El, Er
  5. El, A, Er
  6. El, Er, A

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Princípio multiplicativo�(Contagem sem descrição)

  • Problema: Eu tenho duas calças e quatro camisas e não sabia o que vestir para vir dar esta aula. De quantas formas eu poderia me vestir, considerando que eu não me importo se a calça e a blusa combinam?
  • Uma forma de resolver é multiplicar a quantidade de opções de calça pela de blusa.
  • Assim temos: 2x4=8

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Fatorial

  • É comum, nos problemas de contagem, calcular o produto cujos fatores são números naturais consecutivos de n a 1.
  • n!=n.(n-1).(n-2) .... .3.2.1,

sendo n natural e maior que 1.

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  • Observe que:
  • n!=n.(n-1)!

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  • Assim, 0!=1

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Permutação simples

  • Problema: No passatempo Sudoku, uma única linha de uma matriz 3 x 3 não foi preenchida. Sabe-se que restam apenas os números 3, 5 e 9 como opções. Não havendo uma dica de que número poderia estar em cada “casa”, de quantas formas pode ser preenchida a linha?

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7

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6

2

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?

?

?

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3

5

9

3

9

5

5

3

9

5

9

3

9

5

3

9

3

5

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3

2

1

Opções

P = 3.2.1 = 6

1

4

7

6

2

8

?

?

?

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3

5

9

3

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5

9

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3

5

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9

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Pn=A n,n

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Arranjo simples�(Contagem de formas de agrupar elementos sem repetição de elementos)

  • Quantos conjuntos de três letras (r =3) podem ser criados com as 26 letras do alfabeto (n=26)?
  • A ordem dos elementos importa

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26

25

24

A n,r = 26.25.24 = 15600

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Permutação com repetição

  • Anagrama extraído do Código da Vinci:
    • “O, Draconian devil! Oh, lame saint”
  • Decifrado para:
    • “Leonardo da Vinci – The Mona Lisa”
  • Problema: Quantos anagramas tem a palavra FERVOROSO?

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Combinação simples

  • Qual o número de maneiras nas quais cinco cartas podem ser selecionadas de uma baralho?
  • A ordem dos elementos não importa

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5

6

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C. r! = A

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Espaço amostral

  • Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório (processo estocástico).

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Evento

  • Qualquer subconjunto do espaço amostral.
  • Impossível: Peça com 13 pontos
  • Simples: Peça com zero pontos
  • Certo: Peça com menos que 13 pontos

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Evento

  • Complementar: Mais que zero pontos, é o evento complementar do evento zero pontos.
  • Intersecção e união, como na teoria de conjuntos
  • Disjunto (mutuamente excludente): intersecção é nula.

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Probabilidade de um evento

  • Problemas:
    • Qual a probabilidade de puxar uma bomba?
    • Qual a probabilidade de puxar uma sena?
    • A probabilidade de puxar uma bomba com menos que 3 pontos, é maior que a probabilidade de puxar uma bomba?
  • Conceito:
    • Razão do número de valores que caracterizam o evento pelo número de valores possíveis, considerando-se:
      • igualdade de chances de ocorrência de valores possíveis
      • excludência mútua entre valores.

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onde A representa um evento qualquer; P(A), a sua probabilidade de ocorrência; nS, os possíveis resultados de um experimento e; nA, aqueles que denotam o evento.

Axiomas fundamentais: 0≤P(A) ≤ 1

P(S)=1

p/ A C B, P(A) ≤ P(B)

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Probabilidade em experimentos não-eqüiprováveis

  • Problema: Como estimar a probabilidade de obter cara numa moeda viciada?
  • Nos casos em que não se conhece o conjunto de valores da população ou as chances de sair cada resultado são diferentes, aproxima-se o valor da probabilidade pela freqüência.

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  • Supondo que ao lançar uma moeda viciada 10000 vezes, obtém-se 7310 caras. Assim, a probabilidade de que saia cara ao lançar a mesma moeda é de 73,1%.

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Probabilidade do evento união

  • Problema: Qual a probabilidade de puxar uma sena ou uma quina?
  • n(AUB)=n(A)+n(B)-n(AB)
  • P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)
  • Se eventos forem mutuamente excludentes, P(AUB)=P(A)+P(B)

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Probabilidade do evento diferença

  • Problema: Qual a probabilidade de puxar uma sena sem ser uma bomba?
  • n(A-B)=n(A)-n(A&B)
  • P(A-B)=P(A)-P(A&B)
  • Se eventos forem mutuamente excludentes, P(A-B)=P(A)

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Probabilidade de um evento complementar (P(Ac))

  • Problema: Qual a probabilidade de, ao puxar uma peça, não ser bomba?

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  • P(A)+ P(Ac)=P(S)
  • P(A)+P(Ac)=1
  • P(Ac)=1-P(A)

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Probabilidade do tipo “um ou mais” ou “pelo menos um”

  • Qual a probabilidade de ao puxar uma peça ter pelo menos um ponto?

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  • A probabilidade do evento união de todos os resultados que atendem o critério de “pelo menos um” equivale à probabilidade do complementar da intersecção do evento nenhum.
      • P(pelo menos um) = 1 – P (nenhum)

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Probabilidade condicional

      • Problema: Num jogo de 6 peças, seu parceiro acusou ter puxado apenas uma bomba. Qual a probabilidade de ter sido a bomba de sena?

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  • PA(B)=P(A&B)/P(A)

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  • PA(B) = dado que ocorreu A, ocorrer B

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Probabilidade de eventos simultâneos

  • Problema: Qual a probabilidade de você puxar uma bomba e ela ser de sena?

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  • P(AB)=PA(B).P(A)
  • PA(B)=P(AB)/P(A)

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Probabilidade de eventos independentes (coincidência)

  • Qual a probabilidade de puxar uma sena e faltar água?

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  • Dado que: P(AB)=PA(B).P(A)
  • Se PA(B)=P(B), P(AB)=P(B).P(A)

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Probabilidade indireta de eventos (Teorema da probabilidade total)

  • Problema: Qual a probabilidade de não-atendimento de demanda por água de uma cidade (P(A)), se sabe-se que:
    • Existem dois reservatórios (R1=150m3 e R2=187,5 m3 ) que funcionam de forma complementar (B:R1 ativo, Bc:R2 ativo) e isolada (quando um é ativado o outro é desativado)
    • Probabilidades de ativar: P(B)=0,7; P(Bc)=0,3.
    • Probabilidade de superar capacidade: PA(B)=0,3; PA(Bc)=0,1
  • Dado que:

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Probabilidade de eventos correlacionados (Teorema de Bayes)

  • Problema: Supondo que, para o caso do problema anterior, a demanda não tenha sido atendida, como estimar a probabilidade de o reservatório 1 ter sido ativado.

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  • Ganho de acurácia na estimativa de probabilidade, onde de forma subjetiva se descreve relação entre eventos

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Probabilidade através de simulações

  • Conhecendo-se o processo (formulação conceitual) que descreve um fenômeno (e.g. a relação entre precipitação e vazão), como obter a probabilidade de ocorrência de um valor de vazão?

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  • Inserir repetidas vezes, dado de precipitação aleatoriamente definido dentro de uma faixa de valores possíveis, de maneira a obter um histograma
  • Aplicações:
    • Análise de sensibilidade de modelos
    • Análise de incerteza de estatísticas

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