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ランダム行列・多重SLE・量子重力
かとり まこと
香取眞理（中央大，物理）
Summer School 数理物理 2022
題目：K. Itô meets M. Sato
ー確率論と可積分系の邂逅ー
東大数理（Zoom 開催）
2022年8月20日(土)～22日(月)
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講義内容予定��1日目： ベッセル過程からダイソン模型へ
（マルチンゲール，伊藤の公式，
確率微分方程式，２つの臨界次元）��2日目：シュラム・レヴナー発展 (SLE)と
その多重化
3日目：多重SLE・ガウス自由場結合
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ガウス確率変数
１次元ブラウン運動
ガウス型自由場 (GFF)
自由境界 GFF
ディリクレ境界 GFF
D 次元ベッセル過程
β ダイソン模型
κ シュラム・
レヴナー発展 (SLE)
Q 量子曲面
リウヴィル量子重力 (LQG)
χ 虚曲面
ダイソン模型で駆動される多重 SLE
多重 SLE/GFF 結合
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ランダム行列・多重SLE・量子重力
1日目：
ベッセル過程からダイソン模型へ
(マルチンゲール，伊藤の公式，
確率微分方程式，２つの臨界次元）
かとり まこと
香取眞理（中央大，物理）
Summer School 数理物理 2022
題目：K. Itô meets M. Sato
ー確率論と可積分系の邂逅ー
東大数理（Zoom 開催）
2022年8月20日(土)
マルチンゲール＝賭博必勝法（倍賭け法）
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①100万円賭ける
同額100万円を賭けた胴元との賭けに勝つ
＋200万円を得る
すぐに賭けをやめる
－100万円＋200万円＝100万円（手元に残る）
負ける
賭けを続ける
②倍の200万円を賭ける
同額200万円を賭けた胴元との賭けに勝つ
＋400万円を得る
ここで賭けをやめる
（－100－200)万円＋400万円＝100万円（手元に残る）
負ける
賭けを続ける
③さらに倍の400万円を賭ける
勝つまで倍賭け：勝ったところでやめる：いつも100万円残る
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1 dim standard Brownian motion (BM)
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1 dim standard Brownian motion (BM)： 1次元標準ブラウン運動
連続な経路 (道)
推移 (遷移) 確率密度
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二次変分 (二次変動)
全変動
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マルチンゲール
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伊藤項
伊藤解析 (確率解析)
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相互二次変動 (二次共変分)
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D-dim BM (D次元ブラン運動) and Bessel process (D次元ベッセル過程)
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3 dim Bessel process, BES3
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伊藤の公式
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ドリフト (移流) 項 (有界変動項)
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有界変動項 (ドリフト項)
マルチンゲール項
半マルチンゲール
確率微分方程式
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後退コルモゴロフ方程式
偏微分方程式
半マルチンゲール
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第 1 種変形ベッセル関数
ガンマ関数
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定理1.1
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定理1.1
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定理1.2
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Dyson’s BM model：ダイソンのブラウン運動模型 (ダイソン模型)
エルミート行列に値をとるブラウン運動
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固有値過程
ワイル領域
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伊藤の公式
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干渉ブラウン運動 (相互作用ブラウン運動系）
径数(パラメータ)β，粒子数 N のダイソン模型
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N =10 (given by S. Morimoto 森本早織)
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N =100 (given by S. Morimoto 森本早織)
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P.J.Forrester, `Log-Gases and Random Matrices’ (2010)より引用
Wigner の半円則
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Kobayashi-Izumi-K. : Phys. Rev. E 78 (2008) 051102
ブリッジ型（スイカ型）
星型（先ほどの動画はこの型）
原点に壁を置いて半直線上のプロセスにすることもできる
非衝突ランダム曲線 (directed polymers) のトポロジー� ⇔ ランダム行列の対称性の転移 (two-matrix models)
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非衝突ランダム曲線 (directed polymers) のトポロジー�⇔ ランダム行列の対称性の転移 (two-matrix models)�壁付き（吸収壁、反射壁）� ・・・ Bogoliubov-de Gennes class (Altland-Zirnbauer)
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非衝突過程・ランダム行列対応
Standard (Wigner-Dyson)
GUE Star configurations
GOE
GSE Banana configurations
Nonstandard (chiral random matrices) Particle Physics of QCD
chGUE
chGOE Realized by Noncolliding Systems of
chGSE 2D Bessel processes and Generalized Meanders
Nonstandard (Altland-Zirnbauer) Mesoscopic Physics with Superconductivity
class C
class CI Star config. with Absorbing Wall
class D
class DIII Banana config. With Reflection Wall
All of the 10 eigenvalue-distributions can be realized by the
Noncolliding Diffusion Particle Systems (Vicious Walks).
Katori and Tanemura, J.Math.Phys.(2004)
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空
間
時 間
ブリッジ bridge 型 （スイカ watermelon 型）: GUE
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一番外側の粒子の経路（soft edge）の揺らぎの分布に着目
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Tracy-Widom 分布
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赤曲線：Tracy-Widom 分布
黒曲線：平均と分散を一致させたガウス分布
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赤曲線：Tracy-Widom 分布
黒曲線：平均と分散を一致させたガウス分布
片対数プロットすると違いが良く見える．
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N =10 (given by S. Morimoto 森本早織)
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N =100 (given by S. Morimoto 森本早織)
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空間
時間
初期配置（と終配置）を変えると，いろいろなパターンが実現する．
Delvaux, Kuijlaars, Zhang: Commun. Pure Appl. Math. 64 (2011) 1305 より引用
tacnode
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ガウス確率変数
１次元ブラウン運動
ガウス型自由場 (GFF)
自由境界 GFF
ディリクレ境界 GFF
D 次元ベッセル過程
β ダイソン模型
κ シュラム・
レヴナー発展 (SLE)
Q 量子曲面
リウヴィル量子重力 (LQG)
χ 虚曲面
ダイソン模型で駆動される多重 SLE
多重 SLE/GFF 結合
今日
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ガウス確率変数
１次元ブラウン運動
ガウス型自由場 (GFF)
自由境界 GFF
ディリクレ境界 GFF
D 次元ベッセル過程
β ダイソン模型
κ シュラム・
レヴナー発展 (SLE)
Q 量子曲面
リウヴィル量子重力 (LQG)
χ 虚曲面
ダイソン模型で駆動される多重 SLE
多重 SLE/GFF 結合
明日