GEOMETRÍA EN ESPACIOS DE BANACH Y HILBERT

Aprendiz: Soto Jeremías

Mentor: José Luis Dávila Albarrán

Edición 2026 de Pares Ordenados

Motivación

• ¿Por qué estudiar estos espacios?

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• ¿Qué ocurre cuando trabajamos con espacios de dimensión infinita?
• Podemos extender conceptos de geometría como distancia, longitud, ángulo y ortogonalidad a espacios mas generales.

El recorrido hacia Hilbert

Espacio topológico

• Idea central: estudiar la cercanía y el orden de los puntos sin usar una regla o una medida de distancia exacta.
• Nos introduce conceptos como conjuntos abiertos, continuidad, convergencia y homeomorfismo.

Espacio métrico

• Idea central: tomar un conjunto cualquiera de objetos o puntos y agregarle una métrica o distancia que permita medir que tan separados o cercanos están dos elementos entre si.
• Nos introduce conceptos como bolas abiertas, topologías inducidas por una métrica, espacios de Hausdorff, sucesión de Cauchy y espacios métricos completos

Espacio normado

• Idea central: a un espacio vectorial agregarle una norma que nos dice el "tamaño", "longitud" o "magnitud" para sus vectores.
• Nos introduce a los espacios de Banach.

Caso particular: espacio de Banach

• Espacio vectorial normado y completo.
• Completo: toda Sucesión de Cauchy converge en un elemento del mismo espacio.
• Permite que procesos de aproximación infinita no se salgan del espacio.

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Herramientas del análisis funcional

• Operadores lineales continuos: la transformación no amplifica el tamaño o la norma de los vectores de forma caótica. En espacios normados, ser continuo equivale a ser un operador acotado.

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• Espacios duales: crea un segundo espacio formado por todas las funciones lineales que evalúan a los vectores del espacio original convirtiéndolos en escalares.

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• Teorema de Hahn-Banach: cualquier función lineal (o funcional) definida en una parte pequeña de un espacio vectorial se puede extender a todo un espacio grande. Esta extensión se hace sin perder las propiedades de linealidad.
• También de forma geométrica del teorema: trata sobre la separación de conjuntos convexos en un espacio vectorial. Afirmando que si dos conjuntos convexos y disjuntos no se intersecan (y al menos uno es abierto), existe un hiperplano cerrado que los separa.

Espacio de Hilbert

• Espacio vectorial con producto interno y es completo.

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• Producto interno: nos traslada de la geometría del plano (longitudes, distancias y ángulos) a espacios vectoriales de dimensión infinita.

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• Ortogonalidad: extiende la noción de perpendicularidad.

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• Entonces, los espacios de Hilbert nos permiten generalizar la geometría euclidiana a espacios que pueden ser de dimensión infinita.

Aplicaciones

Futuros proyectos

• Teoría espectral

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• Espacios de Sobolev

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• Teorema de la representación de Riesz

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• Operadores compactos

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Fin��Muchas gracias