1 of 13

Підготовка до НМТ

з математики

Тема: «Конус»

Підготували:

Уварова К.В., Кузнецова Г.І.,

НВК № 32

2 of 13

Конус - тіло утворене обертанням прямокутного трикутника, навколо прямої, що містить один з його катетів

вершина конуса Р

висота конуса РO=H

твірна конуса РA=Ɩ

основа конуса (круг)

ОА = r - радіус конуса

3 of 13

Розгортка конуса – круговий сектор, що складає бічні поверхню, та коло, що є основою конуса.

С=2Пr

4 of 13

Перерізи конуса площинами

Осьовий�переріз

Переріз

паралельний основі�

∆АВР� АР=BP��

∆CDP�CP=DP

Круг �центр О₁, r = О₁A₁

Sперерізу =ℼ∙r²

Переріз через вершину і хорду

Sперерізу =r·H

5 of 13

Зрізаний конус – це тіло утворене обертанням прямокутної трапеції навколо меншої її бічної сторони

висота - OO

твірна - AA₁

коло з центрами O і O₁, r = AO, AO₁

осьовий переріз — рівнобедрена трапеція

AA₁B₁B — осьовий переріз

Sб = ℼ∙(R+r)·Ɩ

Sп = ℼ∙(R+r)·Ɩ+ℼ∙R²+ℼr²

V₁- об’єм конуса з висотою РО�V₂ - об’єм конуса з висотою РО₁

6 of 13

Комбінації тіл обертання�Куля і конус�

7 of 13

Комбінації тіл обертання�Конуса і циліндра

8 of 13

Знайдіть об’єм конуса, висота якого дорівнює 6 см, а кут між висотою і твірною конуса - 45° .

Дано: конус;

Н=SO=6см – висота;

∠BSO=45° .

Знайти: V

9 of 13

Висота конуса дорівнює 12 см, а площа основи – 25 π см². Знайдіть площу повної поверхні конуса.

Дано: конус;

Н=SO=12см – висота;

Sосн.= 25π см².

Знайти: Sп.п.

Розв’язання.

Sп.п.= πRL + πR² , де R=ОВ, L= SB.

Sосн.= πR² ,

πR² =25 π,

R² =25 ,

R =5 см,

∆SOВ (∠O=90° ) за теоремою Піфагора SB²= SO²+ОВ²

SB²= 12²+5²=144+25=169

SB=13см

Sп.п.= π · 5·13 + π · 5² =65π +25π =90π(см²).

Відповідь: 90π см²

10 of 13

Купа піску має форму конуса, довжина кола основи якого дорівнює 25,12м, а твірна – 5 м. Скільки автомобілів вантажопідйомністю 3т потрібно для її перевезення, якщо маса 1 м³ становить 2 т (π≈3,14).

Дано: конус;

L=SB=5 м – твірна; С= 25,12 м².

1 м³ піску - 2 т

1 авт. – 3т

Знайти: скільки потрібно автомобілів

11 of 13

Прямокутна трапеція з основами 6 см і 9 см та висотою 4 см обертається навколо прямої, яка містить її більшу основу. Знайдіть площу поверхні тіла обертання.

Дано: АВСD – прямокутна трапеція;

ВС=6см , АD=9см ;

СО=4см - висота ;

Знайти: Sтіла обертання.

Розв’язання.

Площа утвореного тіла обертання складається з однієї площі основи циліндра, площі бічної поверхні циліндра і площі бічної поверхні конуса: Sт.о.= Sосн.+ Sб.ц.+ Sб.к.= πRц.²+ 2πRц.Нц. + πRк.L, де Rц.= Rк.= ОС=4см , Нц.=ВС=6см, L=СD