LUGARES GEOMÉTRICOS
DILATACIÓN
POTENCIA
INVERSIÓN
10 CASOS DE APOLONIO
ENLACES
TANGENCIAS
3
Interiores
Exteriores
Tangentes interiores
Secantes
Concéntricas
Tangentes exteriores
R
R1
R+R1
R
R1
R-R1
1 POSICIONES RELATIVAS:
1.1.- Entre recta y circunferencia
1.2.- Entre dos circunferencias
r
O
r
O
r
O
Exteriores
Secantes
Tangentes
2 PROPIEDADES DE LAS TANGENCIAS
Si dos circunferencias son tangentes, el punto de tangencia está en la recta O1O2
Si una recta es tangente a una circunferencia el punto de tangencia está en la perpendicular a r, trazada por O
Si una circunferencia pasa por dos puntos, el centro está en la mediatriz
Si una circunferencia es tangente a dos rectas el centro está en la bisectriz
Se llama recta normal a un arco o curva, a la recta perpendicular a la tangente a ese arco o curva en el punto de tangencia.
La bisectriz es el lugar geométrico de los puntos del plano que son centros de circunferencias tangentes a dos rectas.
En toda circunferencia las mediatrices de las cuerdas pasan por el centro.
se unen mediante rectas los extremos opuestos de ellos, el punto de corte de
las rectas coincide con el punto de tangencia.
CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR DOS PUNTOS
1. Con centro en M se traza un arco de radio R
2. Con centro en N se traza otro arco de radio R
3. O1 y O2 son los centros de las circunferencias
Dado el radio R:
Los centros se encuentra en la mediatriz
5
3 RECTAS TANGENTES A CIRCUNFERENCIAS
3.1.- Recta tangente a una circunferencia en un punto T .
3.2.- Rectas tangentes a la circunferencia
paralelas a una dirección d
3.3.- Rectas tangentes a la circunferencia
desde un punto exterior P.
3.4.- Trazado de la tangente a un arco de
circunferencia en un punto T, si no
conocemos el centro del arco.
t1
t2
T1
T2
d
O
O
P
M
t1
t2
T1
T2
90º
a
a
R=T2
O
T
1
2
90º
t
Rectas tangentes EXTERIORES a dos circunferencias
1. Con centro en O2 se traza la circunferencia de radio r2 – r1
2. Se trazan las rectas m y n tangentes a la circunferencia anterior
3. Se trazan las rectas O2B y O2C
4. Por O1 se trazan las paralelas a los radios anteriores
5. Las rectas r y s son las que unen los puntos de tangencia
Dilatar positivamente o negativamente una circunferencia es aumentar o disminuir su radio.
Rectas tangentes INTERIORES a dos circunferencias
1. Con centro en O2 se traza la circunferencia de radio r2 + r1
2. Se trazan las rectas m y n tangentes a la circunferencia anterior
3. Se trazan las rectas O2B y O2C
4. Por O1 se trazan las paralelas a los radios anteriores
5. Las rectas r y s son las que unen los puntos de tangencia
10
4 CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A RECTAS
5.1.- Circunferencias de radio R tangentes a
una recta r, por un punto T de ella.
5.3.- Circunferencias de radio R tangentes a
dos rectas p y q que se cortan
R
s
P
R
R
90º
O1
O2
T1
T2
R
p
q
O1
T1
T2
Med.
90º
R
O1
O2
r
T
R
R
90
Circunferencias de radio R que pasan por un punto y son tangentes a una recta
El punto está en la recta:
El punto es exterior a la recta:
Circunferencia que pasa por un punto P y es tangente a una recta r en un punto T de ella.
r
T
P
O
Med.
90º
Circunferencias tangentes a dos rectas r y s, conocido el punto T de tangencia en una de ellas
T
s
r
T2
T1
O2
O1
1
2
3
Circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan (Rrr)
1. Se trazan las rectas paralelas a r y s, a una distancia R
2. Los puntos O1, O2, O3 y O4 son los centros de las circunferencias
7
5 CIRCUNFERENCIAS TANGENTES ENTRE SÍ
4.1.- Circunferencias de radio R tangentes a
una circunferencia de centro O, por un punto
T de la misma.
R
O
R
T
O1
O2
4.3.- Circunferencias de radio R, tangentes
a una circunferencia de centro O que pasan
por un punto exterior P
P
O
R
R
R+Ro
T1
T2
O1
O2
4.2.- Circunferencia tangente a otra, en un punto T
y que pasa por un punto exterior P
O
T
P
O1
R+Ro
(R-Ro)?
R
C
D
4.4.- Representar las circunferencias de radio
R tangentes exteriores a dos circunferencias
C y D
4.5.- Trazar las circunferencias de radio R tangentes interiores a dos circunferencias
C y D
O1
O2
T
T
T
T
R-RD
R-RC
R+RC
R
C
D
O1
O2
T1
T2
T3
T4
R+RD
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES
exteriores a otras dos
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES
interiores a otras dos
Suma de radios
Diferencia de radios
R
C
D
R+Rc
R-RD
O1
O2
T1
T3
T2
T4
Dibujar las circunferencias de radio R tangentes a dos circunferencias, exterior a una e interior a otra .
Suma y diferencia de radios
Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a una circunferencia
El punto está en la circunferencia:
1. Se unen los puntos O y M
2. Sobre la recta OM se traslada el radio R
3. O1 y O2 son los centros de las circunferencias
El punto es exterior a la circunferencia
1. Con centro en O se dibujan las circunferencias de radio R + R’ y R – R’
2. Con centro en M se dibuja la circunferencia de radio R
R
O
R
T
O1
O2
Circunferencias tangentes a dos circunferencias
Las circunferencias dadas son exteriores
1. Con centro en O’’ y radios R+R’’ y R-R’’ se trazan dos circunferencias
2. Con centro en O’ y radios R+R’ y R-R’ se trazan dos circunferencias
Las circunferencias dadas son secantes
2. Con centro en O’ y radios R’+R y R’-R se trazan dos circunferencias
6.1.- Representar las circunferencias de radio
R, tangentes comunes a la circunferencia O y
a la recta r.
6 CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA Y A UNA RECTA . RRC
6.2.- Dibujar las circunferencias tangentes
comunes a la circunferencia O y a la recta r,
con un punto de tangencia T sobre la recta.
DILATACIÓN
R + RO (R – RO)?
R + RO
T4
T3
T1
T2
R
O
r
T
RO
1
2
Med 1-O
O1
T1
Med 2-O
O2
O
r
O1
O2
Circunferencias tangentes a una recta y a una circunferencia (Rrc)
La circunferencia y la recta son exteriores
1. Con centro en O se trazan las circunferencias de radio R + R’ y R – R’
2. Se traza la paralela a r a una distancia R
La circunferencia y la recta son secantes
2. Se trazan las paralelas a r a una distancia R
6.3.- Trazar las circunferencias tangentes comunes a la circunferencia O y a la recta r, con un punto de tangencia T sobre la circunferencia
O
r
T
Tangente
Eje radical
1
2
3
M
O1
T1
T2
O2
POTENCIA
PT X PT=K
PT=√K PT es el segmento representativo de la potencia
Es el lugar geométrico de los puntos del plano con igual potencia respecto de dos circunferencias
p = MA x MB = MC x MD
El eje radical es siempre perpendicular a la línea de centros, únicamente pasarán por punto medio del segmento O1O2 cuando tengan igual radio.
Eje radical de dos circunferencias
LUGAR GEOMÉTRICO DE LOS PUNTOS DEL PLANO DE IGUAL POTENCIA
RESPECTO DEL HAZ DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EN UN PUNTO
Dos circunferencias son ortogonales si son secantes y sus tangentes respectivas son perpendiculares
Circunferencias coaxiales:
poseen el mismo eje radical
EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS SECANTES
Se determina uniendo los dos puntos A y B de intersección de ambas circunferencias, la potencia de los puntos es K = 0
Por dos puntos pasan infinitas circunferencias todas ellas secantes en A y B
Las circunferencias que pasan por A y B son coaxiales al tener el eje radical común
LUGAR GEOMÉTRICO DE LOS PUNTOS DEL PLANO DE IGUAL POTENCIA
RESPECTO DEL HAZ DE CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR DOS PUNTOS
EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES
Se determina trazando la recta tangente común a ambas circunferencias
DETERMINACIÓN DEL EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES
El eje radical es la perpendicular a la línea de centros por los puntos medios A y B de los segmentos T1T2 y T3T4
1. Se dibuja una circunferencia auxiliar secante con las anteriores, que no tenga su centro alineado con los de las circunferencias dadas.
2. Se halla el eje radical de las circunferencias de centro O y O1
3. Se halla el eje radical de las circunferencias de centro O y O2
4. Por el punto E se traza la perpendicular al segmento O1O2
DETERMINACIÓN DEL EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES
APLICANDO EL CENTRO RADICAL tercer método
El eje radical de dos circunferencias es perpendicular a la recta de centros por el centro radical
EJE RADICAL DE CIRCUNFERENCIA Y UN PUNTO
CONSIDERAMOS EL PUNTO COMO UNA CIRCUNFERENCIA DE RADIO 0
EJE RADICAL DE DOS PUNTOS:CIRCUNFERENCIAS DE RADIO 0
Perpendicular a la línea de centros por el punto medio del segmento tangente trazado desde el punto
MEDIATRIZ
MÉTODO 1
MÉTODO 2
1. Se halla el eje radical e de las circunferencias de centro O1 y O2
2. Se halla el eje radical e’ de las circunferencias de centro O2 y O3
3. El centro radical O se localiza en la intersección de los ejes radicales hallados
O
3
1
O
O
e'
O
2
e
CENTRO RADICAL DE TRES CIRCUNFERENCIAS
Punto medio del segmento
Delimitado por los puntos
De tangencia
Punto medio del segmento
Delimitado por los puntos
De tangencia
EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS INTERIORES APLICANDO EL CENTRO RADICAL
Los ejes radicales de una circunferencia auxiliar con las circunferencias dadas se cortan en el centro radical.
El eje radical de dos circunferencias es perpendicular a la recta de centros por el centro radical
EJE RADICAL DE UNA CIRCUNFERENCIA Y UNA RECTA
SECANTE
TANGENTE
EXTERIOR
EL EJE RADICAL ES LA PROPIA RECTA
RESOLUCIÓN DE TANGENCIAS POR POTENCIA
Se obtiene el centro radical de circunferencias dato y solución.
Mediante una circunferencia auxiliar determinamos el centro radical (CR) de datos y soluciones.
La circunferencia de centro el CR y radio √k determinará sobre los datos los puntos de tangencia de éstos sobre las soluciones.
HAZ DE CIRCUNFERENCIAS: circunferencias que comparten eje radical
10
CASOS DE
APOLONIO
Apolonio de Perga (c. 262-190 a. C.) fue un geómetra griego conocido por sus
estudios sobre cónicas y sobre casos de tangencia en su obra Las Tangencias o Los
Contactos, conocida gracias a Pappus de Alejandría. En esta obra resuelve los llamados “casos de tangencia de Apolonio”, cuyo objetivo es hallar las circunferencias que sean tangentes (o pasen por) a 3 elementos: Punto, Recta o Circunferencia.
Cada caso es llamado por las iniciales de los tres elementos.
Existen 10 posibles casos, las combinaciones de P, R y C tomadas de 3 en 3.
Exceptuando los dos casos más elementales, se pueden resolver todos por potencia, pero dejaremos los 4 más complicados para ser explicados por Inversión, transformación geométrica que se verá en el siguiente tema.
Los casos son: PPP, PPR, PPC, PRR, PRC, PCC, RRR, RRC, RCC y CCC.
PPP | solución por mediatrices | |
RRR | solución por bisectrices | |
PPR | solución por Potencia | |
PPC | solución por Potencia o por Inversión | |
RRP | solución por Potencia o por Homotecia reducción al caso 3 PPR | |
RRC | solución por Potencia o por Homotecia Reducción por DILATACION al caso 5 PRR | |
PRC | solución por Inversión o por potencia | |
CCP | solución por Inversión o por Potencia | |
CCR | solución por Inversión reducción por DILATACION al caso 7 PRC | |
CCC | solución por Inversión reducción por DILATACION a los casos PPC,CCP o PPP según sean los radios de las circunferencias |
1. PPP. CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR TRES PUNTOS.
Un punto se puede considerar como una circunferencia de radio 0 y una recta como una circunferencia de radio infinito.
mediatrices
por dilatación
2. RRR. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS
1. Se trazan las bisectrices interiores y exteriores de los tres ángulos
2. Las bisectrices interiores se cortan en el punto O1
3. Las bisectrices exteriores se cortan en los puntos O2, O3 y O4
3. PPR.
Circunferencia que pasa por dos puntos y es tangente a una recta
Los centros de las circunferencias que pasan por A y B están situados en la mediatriz.
Todas las circunferencias que pasan por A y B tienen el mismo eje radical
r es el eje radical de las circunferencias solución.
CR es el centro radical
Por potencia
4. PPC. Por potencia
PPC.exteriores
PPC.interiores
Mediatriz AB
C.Aux por AB y corte a C
Ejes radicales y centro radical
4. PPC. Por homotecia. Casos particulares
Un punto situado en la circunferencia
Q simétrico de P
P y Q situados a la misma distancia de c
Los centros de las circunferencias buscadas están en la mediatriz del segmento PQ.
LOS CENTROS DE LAS CIRCUNFERENCIAS BUSCADAS ENCUENTRAN AL TRAZAR LAS MEDIATRICES DE LOS SEGMENTOS PT1 y PT2
Los centros de las circunferencias solución, se encuentran
en la mediatriz del segmento PQ
4. PPC. Casos particulares
Editex L 32
GIRO:
M y O2 se relacionan
Mediante un giro de 60º
POR POTENCIA
4. PPC. Casos particulares
Editex L35
5. RRP por Potencia
Simétrico de P.
Se reduce al caso 3 PPR
5. RRP por Homotecia
1. Los centros de las circunferencias tangentes están situados en la bisectriz.
2. Circunferencia O´auxiliar (homotética a las circunferencias solución.
3. P´1 y P´2 homotéticos de P
5. RRP CASO PARTICULAR 1. Punto P situado en la bisectriz
El Eje radical de las soluciones es perpendicular a la bisectriz
5. RRP CASO PARTICULAR 2. Punto situado en una recta
6 . RRC. Circunferencias exteriores
Se reduce al caso 5 RRP,
por dilatación negativa de la circunferencia y dilatación de la recta
Por dilatación y potencia
6. RRC. Circunferencias interiores
Se reduce al caso 5 RRP,
por dilatación negativa de la circunferencia y dilatación de la recta
Por dilatación y potencia
7. PRC. Por Inversión
P centro de inversión
√k segmento PT
√k
T
c se transforma en c´
r se transforma en r´
t
t tangente común a c´ y r´
Los inversos Tc de Tc´y Tr de Tr´, junto con P determinan
la circunferencia solución a inversa de t
7. PRC. Por potencia
7. PRC. Por Inversión y potencia
7. PRC. CASOS PARTICULARES. Punto situado en la recta
por potencia
P es el centro radical de c, c´aux. y las circunferencias solución
por dilatación negativa
Por dilatación negativa
de la circunferencia y positiva
de la recta
por potencia
7.PRC. CASOS PARTICULARES. Punto situado en la circunferencia
7. PRC. CASOS PARTICULARES.
7. PRC. CASOS PARTICULARES. Por inversión
Centro de inversión P
T´ inverso de T
W en línea de centros y
en la perpendicular a r por T
8. CCP
Punto P como centro de inversión.
c1: circunferencia inversa de sí misma
c2: su inversa es c2´ homotéticas ambas.
Trazando las tangentes exteriores e interiores a c1´ y c2´ ( 4 soluciones)
Se ha trazado sólo una solución (t)
Encontraremos los puntos de tangencia de las circunferencias solución
t
T1 y T2 inversos de T1´ y T2´ junto con P determinan la circunferencia solución ( inversa de la tangente t)
8. CCP caso particular por potencia
Circunferencias exteriores
Se puede realizar por dilatación
8. CCP caso particular por potencia
Circunferencias interiores
8. CCP casos particulares
Editex L37
T1
T2
Mediatrices de TT1 y TT2
9. CCR. Por dilatación se reduce al caso 7 PCR
Si las dos circunferencias tuvieran el mismo radio se reduciría al caso PPR
10.CCC
Aplicando una dilatación negativa
Si las tres circunferencias tuvieran distinto radio se reduciría al caso CCP
Si dos de las tres circunferencias tuvieran el mismo radio se reduciría al caso PPC o CCP
Si tuvieran igual radio se reduciría al caso 1 PPP
Máximo 8 soluciones.
10. CCC
Dadas las circunferencias de centros O, O´ y O´´ y de radios R, R´ y R´´
Hallamos dos de las soluciones
1. Se trazan con centro O´ y O´´ sendas circunferencias de radios R´-R y R``-R
2. Trazamos radios paralelos O´C y O´´D, y hallamos E
3. Se dibuja la circunferencia que pasa por A, B y O que corta a OE en F
6. Donde se cortan O´´J y O´´K con la mediatriz m de OF obtenemos los centros de la solución
E
F
O
2
A
B
K
J
G
1
O
O'
O''
O
C
C'
D
H
m
4. Trazamos una circunferencia que pasa por O, F y que corte a la de centro O´´, puntos B y G
5. Las rectas FO y BG se cortan en H, desde donde se hallan las tangencias en K y J
SELECTIVIDAD
Enlazar dos rectas mediante dos arcos
Rectas paralelas, arcos de igual radio, conociendo los puntos de tangencia M y N
1. Los centros de los arcos se hallan en las perpendiculares a las rectas por M y N
2. Hallar A punto medio del segmento MN
Rectas cualesquiera, conociendo uno de los radios y los puntos de tangencia M y N
s
r
A
1
O
2
O
N
M
3. Trazar mediatrices de AM y AN
4. Donde las mediatrices corten a las perpendiculares por M y N obtenemos los centros de los arcos O1 y O2
1. Los centros de los arcos se hallan en las perpendiculares a las rectas por M y N
2. Llevamos R sobre la perpendicular a r hacia el interior del ángulo (MO1=R) y sobre la perpendicular a s hacia el exterior (NA=R)
3. Trazar mediatriz de AO1 y donde corte a la prolongación de AN obtenemos O2
4. Los centros de los arcos son O1 y O2, siendo B el punto de tangencia
A
O
2
B
O
1
R
r
s
M
N
ENLACES
Enlazar puntos no alineados
Enlazar puntos no alineados con arcos de circunferencia conociendo uno de los radios
1. Trazamos mediatriz del segmento AB y un arco de centro el punto A y radio R.
Obtenemos O1 como intersección de las anteriores. Con centro O1 trazamos arco AB
2. Trazamos mediatriz de BC que corta a la recta O1B en el punto O2 y se traza arco BC
3. Trazamos mediatriz de CD que corta a la recta O2C en el punto O3 y se traza arco CD y así sucesivamente
A
2
O
B
R
O
1
E
C
D
O
3
O
4
O
5
F
R
r
s
7. ENLACES
7.1.- Enlazar dos rectas paralelas mediante
un arco de circunferencia
7.2.- Enlazar dos rectas secantes mediante un arco de radio R.
r
s
A
90
B
O
R
R
O
T
90
90
R
P
7.3.- Enlazar dos rectas perpendiculares
mediante un arco de circunferencia
R
T1
T2
O
P
Q
p
q
7.4.- Enlazar dos rectas paralelas p y q mediante
dos arcos de igual radio, conociendo los
puntos de tangencia P y Q.
M
01
O2
16
7.6.- Enlazar varios puntos A, B, C,... no alineados, mediante arcos de circunferencia,
conocido el radio R de uno de ellos.
A
B
C
D
E
O1
O2
O3
O4
R
0
t
7.5.- Enlazar una recta t y un arco de circunferencia de centro O y radio R, por medio de un arco de circunferencia de radio R1
O1
T1
T2
R+R1
R
R1
120
30
135-30
60
30
30
R135
120
o1
o2
8.- APLICACIONES
24+8
24+12
40-8
12
12
8
70
50
40
20
Resolver geométricamente todas las tangencias y dejar indicadas todas las construcciones auxiliares.
50-20
50
R37
10
20
27
28
55
20
28
37+20
37+10
50
55
27
50-10