"Текстові завдання з математики", 9 клас.
Дистанційний курс
Переклад з матеріалів методичної розробки Савчнко Е.М.
Джерело: https://en.ppt-online.org/91283
Завдання на рух зазвичай містять такі величини:
– час,
– швидкість,
– відстань.
Рівняння, що зв'язує ці три величини:
vt
S
=
v
S
t
=
t
S
v
=
v
S
t
21,6км/год
Усно.
Власна швидкість катера 216 км/год, а швидкість течії 47 км/год. Знайдіть швидкість катера за течією та проти течії.
21,6км/год
Проти течії
За течією
4,7км/год
vвл.
vвл.
vза теч= vвл+ vтеч
vпр теч= vвл – vтеч
vтеч.
За течією
Проти течії
У діафільмі "Дюймовочка" є такий кадр. Лист латаття поплив за течією і жаба ніяк не могла наздогнати Дюймовочку.
Пояснити фізичну неспроможність цієї ситуації.
vза теч= vвл+ vтеч
vтеч
Склади та розв'яжи рівняння самостійно
1. На шлях течією річки катер витратив 3ч, але в зворотний шлях 4,5ч. Яка швидкість течії річки, якщо швидкість катера щодо води 25 км/год?
vвл = 25км/год
vвл = 25км/год
3год.
vтеч
4,5год.
25–х
4,5(25–х)
За теч.
Пр. теч.
4,5
Нехай vтеч = x
25+х
v,
км/год
3
t,
год
3(25+х)
S,
км
1й спосіб
довідка
Щоб знайти швидкість за течією, треба до своєї швидкості додати швидкість течії
×
довідка
Щоб знайти відстань треба швидкість помножити на час
S = vt
×
довідка
Щоб знайти швидкість проти течії треба зі своєї швидкості відібрати швидкість течії
×
довідка
Щоб знайти відстань треба швидкість помножити на час
S = vt
×
=
Ця умова допоможе ввести x…
25+х
t, ч
v, км/ч
3
25–x
4,5
Розв'яжемо задачу за допомогою пропорції.
2й спосіб
3
4,5
25 –
25 +
=
x
x
При збільшенні швидкості руху
пропорційно зменшиться час, а це обернено пропорційна залежність.
×
Складемо пропорцію для обернено пропорційної залежності :
2. Моторний човен пройшов 18 км за течією і 14 км проти течії, витративши весь шлях 3 год 15 хв. Знайдіть швидкість течії, якщо власна швидкість човна 10 км/год.
vсоб = 10км/год
vвл = 10км/год
vтеч
10–х
За теч.
Пр. теч.
14
Нехай vтеч = x
10+х
v,
км/год
18
S,
км
довідка
Щоб знайти швидкість за течією, треба до своєї швидкості додати швидкість течії
×
довідка
Щоб знайти швидкість проти течії треба зі своєї швидкості відібрати швидкість течії
×
Щоб знайти час, треба відстань розділити на
швидкість
×
t =
S
v
18
10+х
t,
год
довідка
14
10–х
15
60
год
1
4
год
3
14 км
18 км
Склади та розв'яжи рівняння самостійно
Ця умова допоможе ввести x…
3. Катер пройшов 75 км за течією та стільки ж проти течії. На весь шлях він витратив у 2 рази більше часу, ніж йому знадобилося б, щоби пройти 80 км у стоячій воді. Яка швидкість катера у стоячій воді, якщо швидкість течії дорівнює 5 км/год?
х–5
За теч.
Пр. теч.
75
Пусть vсоб. = x
х+5
v,
км/год
75
S,
км
довідка
Щоб знайти швидкість за течією, треба до своєї швидкості додати швидкість течії
×
довідка
Щоб знайти час, треба відстань розділити нашвидкість
×
t =
S
v
75
х+5
t,
год
довідка
75
х–5
По
озеру
х
80
80
х
в 2 рази
>
Щоб знайти швидкість проти течії треба зі своєї швидкості відібрати швидкість течії
×
довідка
У стоячій воді немає течії, швидкість човна дорівнює vвл.
×
75
х+5
75
х–5
80
х
+ =
2
Розв'яжи рівняння самостійно
Ця умова допоможе ввести x…
x + y = 15
4. Катер проплив 15 км вниз за течією річки за 1 год і повернувся на ту ж пристань, витративши на зворотний шлях 1,5 год. Знайти швидкість катера щодо води та швидкість течії води.
15
За теч.
Пр. теч.
1,5
Нехай vвл. = x
15
S
км
1
t,
год
Питання завдання допоможе
нам ввести х і у
v,
км/год
довідка
15
10
, vтеч. = y
Щоб знайти швидкість, треба відстань розділити на час
×
v =
S
t
Щоб знайти швидкість за течією, треба до своєї швидкості додати швидкість течії
×
x + y =
x – y =
Щоб знайти швидкість проти течії треба зі своєї швидкості відібрати швидкість течії
×
+
2x = 25
x = 12,5
y = 2,5
Відповідь: власна швидкість катера 125 км/год, швидкість течії 25 км/год.
15
10
x
y
b–a
a+b
=
b
b(x–y)
Розділимо обидві частини на y(b–a)
y
b–a
a+b
a(x+y)
Відстань, наприклад, розділимо на швидкість плотів (це швидкість течії )
a(x+y) = b(x–y)
ax+ay = bx–by
ay+by = bx–ax
y(a+b) x(b–a)
y(b–a)
y(b–a)
=
5. Катер витрачає на шлях від А до В за течією річки год, а на зворотний шлях годин. Скільки годин плитимуть від А до В плоти? Передбачається, що власна швидкість катера по всьому шляху від А до В і від В до А постійна.
x–y
За теч.
Пр. теч.
Нехай vвл. = x
, vтеч. = y
a
b
Розкриємо дужки
Перегрупуємо
Відповімо на запитання задачі
=
ax+ay
y
=
ax
y
ay
+
y
=
x
y
a
+ a
a( +1)
=
x
y
=
a(
= a ( )
b–a
a+b+b–a
b–a
= a ( )
b–a
2b
b–a
2ab
=
Розділимо кожний доданок на y
Винесемо за дужки a
x
y
+1)
Виконаємо заміну
Спростимо вираз у дужках
x+y
v,
км/год
a
t,
год
S,
км
a(x+y)
=
Щоб знайти відстань треба швидкість помножити на часS = vt
×
Шлях від А до В і зворотний шлях від В до А – це те саме відстань!
×
Щоб знайти час, треба відстань розділити на
швидкість
×
t =
S
v
довідка
*
6. Пловець пливе проти течії річки і зустрічає порожній човен, що пливе по течії річки. Продовжуючи плисти проти течії ще
хвилин після моменту зустрічі, він потім повертає назад і наздоганяє човен за Sметри від місця зустрічі. Знайти швидкість течії річки.
t
Переглянувши сюжет завдання, бачимо, що вигляд руху змінювався. Це був рух у протилежних напрямках, а на останньому етапі – навздогін. Тому необхідно розглянути кілька схем.
*
t
t
t
S
Нехай vтеч. = x
– це також і швидкість порожнього човна
vвл. = y
– це власна швидкість плавця
vпр. теч. = y–x
– це швидкість плавця проти течії
vпо. теч. = y+x
– це швидкість плавця за течією
*
6. Пловець пливе проти течії річки і зустрічає порожній човен, що пливе по течії річки. Продовжуючи плисти проти течії ще
хвилин після моменту зустрічі, він потім повертає назад і наздоганяє човен за Sметри від місця зустрічі. Знайти швидкість течії річки.
Знайдемо відстань, на яку втечуть човен і плавець за t хв
t
t
t
S
vтеч. = x
vсоб. = y
vпр. теч. = y–x
vпо. теч. = y+x
y–x
x
1) tx пропливе човен за t хв.
ty
2) t(y–x) проплве пловець за t хв.
y+x
4) (y+x) – x = y швидкість руху навздогін
5) ty : y = t відбудеться друга зустріч
6) tx пропливе човен до другої зустрічі
tx
tx
7) S=2tx,
S
2t
тогда x =
t(y–x)
3) t(y–x)+ tx = ty пропливуть разом за t хв.
Далі вид руху змінюється.
Тепер цей рух навздогін.
t
З креслення можна виразити відстань S
×
Найдем расстояние, которое проплывет лодка до 2й встречи: швидкість x × час t
×
Щоб знайти час 2-ї зустрічі треба відстань ty поділити на швидкість навздогін y
×
Знайдемо швидкість навздогін:
з більшої швидкості віднімемо меншу …
×
Складемо відстані, які проплив плавець та човен.
×
Знайдемо відстань, яку проплив плавець швидкість плавця y-x × на час t
×
Знайдемо відстань, яку проплив човен: швидкість човна x × на час t
×
*
6. Пловець пливе проти течії річки і зустрічає порожній човен, що пливе по течії річки. Продовжуючи плисти проти течії ще
хвилин після моменту зустрічі, він потім повертає назад і наздоганяє човен за Sметри від місця зустрічі. Знайти швидкість течії річки.
7. От пристани по течению реки отправился плот. Через 5 ч 20 мин вслед за плотом той же пристани отправилась моторная лодка, которая догнала плот, пройдя 20 км. Какова скорость плота, если известно, что скорость моторной лодки больше скорости плота на 12 км/ч?
20 км
1
3
5 ч
х +12
х
v,
км/ч
S,
км
20
х
20
х+12
плот
Мот.
лодка
20
20
t,
ч
На
>
Это условие поможет ввести х …
На путь в 20 км плот затратил на
5ч 20мин больше времени, чем катер, т.к. отправился в путь раньше…
×
5ч 20 мин
5ч 20мин
Составьте и решите уравнение самостоятельно
Задачи для самостоятельной работы.
1.
Моторная лодка прошла путь от А до В по течению реки за 2,4 ч, а обратный путь за 4 ч. Найти скорость течения реки, если известно, что скорость лодки относительно воды 16 км/ч.
2.
Моторная лодка прошла по течению реки 36 км и возвратилась обратно, затратив на весь путь 5 ч. Найдите скорость моторной лодки в стоячей воде, зная, что скорость течения равна 3 км/ч.
3.
Моторная лодка и парусник, находясь на озере в 30 км друг от друга, движутся навстречу и встречаются через 1 ч. Если бы моторная лодка находилась в 20 км от парусника и догоняла его, то на это потребовалось бы
3 ч 20 мин. Определить скорости лодки и парусника, полагая, что они постоянны и неизменны в обоих случаях.
Форма для поверки ответов.
max 13
Задача 1.
Задача 2.
Задача 3.
Задача 7.
vплот
моторная лодка
Задача 1.
Задача 2.
Задача 3.
Уравнения
Задачи для самостоятельной работы
vтеч.=
vтеч.=
vсоб.=
vтеч.=
vсоб.=
парусник
км/ч
км/ч
км/ч
км/ч
км/ч
км/ч
км/ч
км/ч
Движение по ветру и против ветра. Над пунктом А вертолет был
в 8ч 30 мин. Пролетев по прямой км, вертолет оказался над пунктом В. Продержавшись 5 мин в воздухе над пунктом B, вертолет пошел обратным курсом по то же трассе. К пункту А он вернулся в 10 ч 35 мин. От А к В он летел по ветру, а обратно против ветра. Скорость ветра все время была постоянной. Найти скорость ветра, если собственная скорость вертолета также все время постоянна и при безветрии равна км/ч. При каком соотношении между заданными величинами задача имеет решение?
В
1
2
3
9
6
12
11
10
8
7
4
5
1
2
3
9
6
12
11
10
8
7
4
5
5 мин
S
10ч 35мин
vсоб.
vвет.
vсоб.
по ветру
против ветра
*
Решите задачу самостоятельно
8ч 30мин
А
S
v